«Устный счет». Художника Богданова-Бельского вдохновил учитель математики

Многим знакома картина художника-передвижника Н.П.Богданова-Бельского «Устный счет», хранящаяся в Третьяковской галерее. На ней изображены учитель и крестьянские дети, решающие трудную задачу. Напряженные взгляды большинства детей устремлены на школьную доску… Но мало кому известно, что художник еще в детстве узнал эту задачу от своего великого учителя – С.А.Рачинского.

Сергей Александрович Рачинский – профессор ботаники Московского университета, живший во второй половине XIX века. Университетской кафедре он предпочел должность простого сельского учителя. Половину своей жизни С.А.Рачинский учительствовал в родовом поместье Татево Смоленской губернии. Огромный опыт, накопленный в процессе преподавания математики, он выразил в книге «1001 задача для умственных вычислений». Первое издание задачника арифметики увидело свет в 1891 г. в Санкт-Петербурге. (Подробнее об этом читайте в книге И.И.Баврина «Сельский учитель С.А.Рачинский и его задачи для умственных вычислений». М.: Физматлит, 2003 г.)

Что же за задачу решают крестьянские дети на упомянутой выше картине? Как сказал бы современный учитель математики, они пытаются найти значение выражения

102 + 112 + 122 + 132 + 142/365.

Если в данном выражении выполнять все действия по общепринятому правилу, то сначала надо найти квадрат каждого числа в числителе дроби, потом сложить полученные квадраты и наконец сумму из числителя поделить на 365. В результате получим 2. Однако в результате таких вычислений мы затратим немало времени. Скорее всего задача эта нестандартная и, следовательно, требует более короткого решения. Действительно, можно заметить, что сумма квадратов первых трех слагаемых равна сумме квадратов последних двух и равна 365. Тогда сумма квадратов чисел числителя равна 2 х 365, и значение данного выражения равно 2. Мы получили тот же самый ответ, только значительно быстрее.

Однажды на уроке арифметики Сергей Александрович спросил учеников: «Сколько будет 84 х 84?» Ответ не заставил себя долго ждать. Один из учеников быстро назвал результат умножения: 7056. Как мы сказали бы сегодня, он нашел квадрат числа 84. Удивленный учитель спросил мальчика: «Как ты получил такой результат?» Ответ был короток: «Да ведь это квадратная сажень!» Ученик знал, что в сажени содержится 7 футов, а в каждом футе – 12 дюймов. Поэтому его решение было таким: 84 х 84 = (7 х 12) х (7 х 12) = 49 х 144 = 50 х 144 – 144 = 7200 – 144 = 7056.

Оно было красивым и быстрым. А главное, произведено в уме.

Подобные приемы известны и сейчас. Они описаны в методической литературе. Так, например, для возведения в квадрат двузначного натурального числа пользуются следующим алгоритмом. ( В качестве иллюстрации этого алгоритма возьмем квадрат числа 37).

Для того чтобы возвести в квадрат произвольное двузначное число, у которого больше 5 единиц, надо:

1) возвести в квадрат число единиц и цифру единиц этого произведения записать в младший разряд окончательного результата: (7 х 7; 37 х 37 = …9);

2) число десятков, увеличенное на единицу, умножить на младший разряд удвоенного числа единиц основания (если число единиц равно 6, то к результату вычислений прибавим еще 1 единицу). Это произведение дает десятки окончательного результата. Если оно двузначное, число десятков запоминаем:

7 х 2 = 14

(3 + 1) х 4 = 16

37 х 37 = …69

3) найти произведение числа десятков на число десятков, увеличенное на единицу. Это произведение (с учетом запомненного числа десятков предыдущего шага вычислений) даст сотни окончательного результата:

3 х 4 = 12

12 + 1 = 13

37 х 37 = 1369

Это же действие в книге С.А.Рачинского описывается иначе (короче и доступнее). «Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25 (большинство учеников их помнят), то легко найти и квадрат любого двузначного числа, превышающего 25. Рачинский указывает для этого следующий способ: «Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50».

Если найти квадрат числа 37 по методу С.А. Рачинского, то получится следующее: 372 = 12 х 100 + 132 = 1200 + 169 = 1369.

Далее в книге «1001 задача для умственных вычислений» приводится общее правило и его вывод, по которому можно найти квадрат любого двузначного числа. Вот он.

Пусть М – двузначное число. М = 10m + n.

(М – 25) х 100 + (50 – М)2 = 100M – 2500 + 2500 – 100M + M2 = M2.

А вот как С.А.Рачинский объясняет умножение двузначных чисел, сумма единиц которых равна 10. Этот замечательный прием очень полезен для устного счета.

«Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма единиц равна 10.

М = 10m + n, K = 10a + 10 – n. Составим произведение.

M x K = (10m+n)x(10a+10-n)= 100am+100m – 100mn + 10an + 10n – n2 = mx(a+1)x100+nx(10a+10-n)-10mn=(10m)x(10x(a+1)+nx(K-10m)».

Полученный вывод применим к нахождению произведения двух чисел, у которых сумма единиц равна 10. Например, 54х26=60х20+6х34=1200+204=1404

Интересно, что этот удобный способ умножения придумал один из учеников Сергея Александровича. «Этот прием – измышление 12-летнего мальчика, усердствовавшего в моей школе по части умственного счета и удивившего меня мгновенным умножением 43 на 87. От него научился я в таких случаях множить 40 на 90 и прикладывать 3 на 47», – писал С.А. Рачинский. Вот так целенаправленно и постоянно дети, увлеченные математикой, придумывали свои оригинальные вычислительные приемы. Учитель заражал их не только математикой. В каждом из них он пытался раскрыть способности, интересы и таланты. Его виртуозная методика и педагогическая чуткость способствовали не только развитию вычислительных навыков учеников, но и помогали приобрести им уверенность в своих силах. Поэтому среди его воспитанников так много талантливых и ярких личностей. И один из них – прекрасный художник, бывший ученик Сергея Александровича – Коля Богданов. Он всегда был благодарен учителю за то, что тот заметил в нем художника и помог преодолеть немало трудностей, чтобы стать известным живописцем. Поэтому на картине «Устный счет» мы видим мудрого учителя, который в едином порыве со своими учениками увлеченно решает трудную задачу.