Математика

К вопросу о решении тригонометрических уравнений

B чем причина затруднений при решении школьниками тригонометрических уравнений? До десятого класса порядок действий многих упражнений, ведущий к цели, как правило, однозначно определен. Например, линейные и квадратные уравнения и неравенства, дробные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, и т.п. Не разбирая подробно принцип решения каждого из упомянутых примеров, отметим то общее, что необходимо для их успешного решения.

В большинстве случаев надо установить, к какому типу относится задача, вспомнить последовательность действий, ведущих к цели, и выполнить эти действия. Очевидно, что успех или неуспех ученика в овладении приемами решения уравнений и неравенств зависит главным образом от того, насколько он сумеет правильно определить тип уравнения или неравенства и вспомнить последовательность всех этапов его решения. Разумеется, при этом предполагается, что ученик владеет навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений.

Совершенно иная ситуация получается, когда школьник встречается с тригонометрическими уравнениями. При этом установить факт, что уравнение является тригонометрическим, нетрудно. Сложности возникают при нахождении порядка действий, которые бы привели к положительному результату. И здесь перед учеником встают две проблемы. По внешнему виду уравнения трудно определить тип. А не зная типа, почти невозможно выбрать нужную формулу из нескольких десятков, имеющихся в распоряжении.

Чтобы помочь ученикам найти верную дорогу в сложном лабиринте тригонометрических уравнений, их сначала знакомят с уравнениями, которые после введения новой переменной приводятся к квадратным. Затем решают однородные уравнения и приводимые к ним. Все заканчивается, как правило, уравнениями, для решения которых надо разложить на множители левую часть, приравняв затем каждый из множителей к нулю.

Понимая, что разобранных на уроках полутора десятков уравнений явно недостаточно, чтобы пустить ученика в самостоятельное плавание по тригонометрическому “морю”, учитель добавляет от себя еще несколько рекомендаций.

Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:

– сделать у функций, входящих в уравнение, “одинаковые углы”;

– привести уравнение к “одинаковым функциям”;

– разложить левую часть уравнения на множители и т.п.

Но, несмотря на знание основных типов тригонометрических уравнений и нескольких принципов поиска их решения, многие ученики по-прежнему оказываются в тупике перед каждым уравнением, незначительно отличающимся от тех, что решались раньше. Остается неясным, к чему следует стремиться, имея то или иное уравнение, почему в одном случае надо применять формулы двойного угла, в другом – половинного, а в третьем – формулы сложения и т.д.

Несостоятельной следует также признать попытку классифицировать уравнения по группам применяемых при решении формул (формулы удвоения угла, формулы деления угла пополам, формулы сложения тригонометрических функций и т.п.). Чаще всего встречаются уравнения, для решения которых необходимо применять несколько формул из разных групп.

Мы успешно применяем в своей работе алгоритм решения тригонометрических уравнений, оформленный в виде блок-схемы (рис.1). Обучение учеников навыкам решения уравнений с применением алгоритма мы начинаем с разъяснения терминов, входящих в него. Это необходимо, чтобы за каждой краткой фразой алгоритма ученики представляли конкретное содержание.

Определение 1. Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком тригонометрических функций.

Определение 2. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые углы, если все тригонометрические функции, входящие в него, имеют равные аргументы. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые функции, если оно содержит только одну из тригонометрических функций.

Определение 3. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней, входящих в него переменных.

Определение 4. Степенью одночлена, содержащего тригонометрические функции, называется сумма показателей степеней тригонометрических функций, входящих в него.

Определение 5. Уравнение называется однородным, если все одночлены, входящие в него, имеют одну и ту же степень. Эта степень называется порядком уравнения.

Определение 6. Тригонометрическое уравнение, содержащее только функции sin и cos, называется однородным, если все одночлены относительно тригонометрических функций имеют одинаковую степень, а сами тригонометрические функции имеют равные углы и число одночленов на 1 больше порядка уравнения.

Определение 7. Тригонометрическое уравнение называется почти однородным, если один одночлен является числом, а степени остальных одночленов равны.

После рассмотрения этих определений и содержания каждого блока алгоритма обращаем внимание учеников на то, что блоки, требующие выполнения каких-либо действий, имеют номера, и записываем формулы, соответствующие этим блокам. При наличии в школе множительной техники эта работа значительно упрощается.

Блок # 1. Формулы приведения тригонометрических функций к одинаковым углам:

1. sin2a = 2sina . cosa

2. cos2a = cos2a – sin2a

3. 2sin2a/2 = 1 – cosa

4. 2cos2a/2 = 1 + cosa

Блок # 2. Формулы приведения тригонометрических уравнений к одинаковым функциям:

1. cos2a = 1 – sin2a

2. sin2a = 1 – cos2a

3. ctga = 1/tga

4. Формулы приведения

Блок # 3. Формулы приведения тригонометрических уравнений к функциям синус и косинус:

1. tga = sina/cosa

2. ctga = cosa/sina

Блок # 4. Формулы изменения углов в тригонометрических уравнениях:

1. cos2a = cos2a – sin2a

2. sin2a = 2sina · cosa

3. cos2a/2 = 1 + cosa/2

4. sin2a/2 = 1 – cosa/2

Блок # 5. Формулы и приемы разложения левой части тригонометрического уравнения на множители:

1. Вынесение за скобку.

2. Способ группировки.

3. sina+sinb = 2sin(a+b)/2 · cos(a -+ b)/2

4. cosa+cosb=2cos(a+b)/2 · cos(a-b)/2

5. cosa – cosb = -2sin(a-b)/2 · sin(a+b)/2

6. а2 – b2 = (a – b)(a + b)

7. a3 + b3 = (a + b)(a2 -+ ab + b2)

8. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

После ознакомления с формулами, входящими в блоки, необходимо решить несколько уравнений, подобранных таким образом, чтобы в процессе решения были использованы практически все блоки алгоритма.

Рассмотрим процесс применения алгоритма на конкретном примере.

Решить уравнение

sin2x + 2cos2x = 1.

Движение по блок-схеме начинается в левом верхнем углу. Для данного уравнения движение осуществляется сначала сверху вниз, т.к. в нем одинаковые углы, разные функции и привести его к одинаковым функциям нет возможности (блок # 2 таких формул не содержит). Далее мы устанавливаем, что данное уравнение содержит функции синус и косинус, не является однородным, но является почти однородным уравнением первого порядка. Последний факт ставит перед нами задачу: изменить углы.

В блоке # 4 наиболее пригодными являются формулы sin2a = 2sina cosa и cos2a = cos2a – sin2a. Выделить их из четырех имеющихся по силам даже испытывающему трудности в изучении математики ученику. Дальнейшее “движение” по блок-схеме очевидно.

Для лучшего усвоения приемов решения уравнения с применением блок-схемы полезно на уроке решить под руководством учителя еще такие уравнения: 2-3sinx – cos2x = 0; sinx = 2sin2x; sin3x + sin5x = 0.

Практика показывает, что разбора 4 – 5 уравнений под руководством учителя достаточно для того, чтобы школьники с помощью блок-схемы смогли самостоятельно решить любое тригонометрическое уравнение из стабильного учебника по алгебре и началам анализа под редакцией А.Н.Колмогорова. Поэтому для совершенствования навыков решения тригонометрических уравнений им можно предложить индивидуальные задания для самостоятельной работы разной степени трудности. В каждое такое задание мы включаем 20 уравнений и даем на его выполнение одну неделю.

На последующих уроках учитель оказывает индивидуальную помощь тем ученикам, которые испытывают затруднения при решении отдельных уравнений.

Многолетний опыт применения предлагаемой методики позволяет утверждать, что блок-схема помогает настолько быстро овладеть приемами поиска пути решения тригонометрических уравнений, что на заключительном этапе выполнения индивидуальных заданий ученики перестают ею пользоваться.

Вариант 1-й

Решить уравнения:

1. 3cos2x + 10cosx + 3 = 0.

2. 2 + cos2x = 2sinx.

3. 5sin2x + 4sin(p/2 +x ) = 4.

4. cos2x + 5cosx = 2sin2x.

5. cos22x + 5cos2x = 2sin22x.

6. sinx -cosx = 0.

7. 6sinx cosx = 5cos2x.

8. sin2x = sinx.

9. 2cos25x – 1 = sin5x.

10. cos7x + cosx = 0.

11. sin2x + 14sinx · cosx = 15cos2x.

12. 3sinx + 4sin(p/2+ x) = 0.

13. tgx + 3ctgx = 4.

14. sin2x + sin2x = 1.

15. cos2x – sin2x = 2cos22x.

16. cos2x – 7sin2x = 3sin2x.

17. 3 + 5sin3x = cos6x.

18. 2sin22x + 3cos22x – 2,5sin4x.

19. sin3x – sinx + 2cos2x = 1.

20. sin22x + sin24x = 1.

Вариант 2-й

Решить уравнения:

1. 2sin2x + 5sinx + 2 = 0.

2. 3 – 3cosx = 2sin2x.

3. 6cos2x + 5cos(p/2 – x) = 7.

4. sin2x – 5sinx = 2cos2x.

5. sin23x – 5sin3x = 2cos23x.

6. sinx + cosx = 0.

7. 7sin2x + 4sin2x = 7cos2x.

8. sin2x = cosx.

9. 3sin(x/4) + 3 = 2cos2(x/4).

10. sin7x = sinx.

11. cos2x – 12sinx cosx = 13sin2x.

12. cos(3p/2 + x) – 5cosx = 0.

13. tgx – 4ctgx = 3.

14. cos2x – sin2x = 1.

15. sin2x – cos2x = sin4x.

16. sin2x + 9cos2x = 5sin2x.

17. cos2x + 2cos4x = 1.

18. 3sin22x – 0,5sin4x = 4cos22x.

19. cos3x + cosx + 2sin2x = 1.

20. cos2x + cos23x = 1.

Вариант 3-й

Решить уравнения.

1. 1 + cosx + cos2x = 0.

2. 6sin2x + 5cosx – 7 = 0.

3. cos2x + 3sinx = 0

4. 2cos2x + 4cosx = 3sin2x.

5. sinx – cosx = 0.

6. 2sin2x + 3cosx = 3.

7. 2sin24x + 3cos4x = 3.

8. sin2x = cosx.

9. cos23x + 5cos3x = 2sin23x.

10. sin6x – sin2x = 0.

11. cos2x – 3cosx sinx + 1 = 0.

12. sin4x – cos(p/2 – 3x) = 0.

13. ctgx + 3tgx = 4.

14. 2cos2x – 3sin2x + 2 = 0.

15. cos2x – sin2x = sin4x.

16. cos2x + 3 = 2sin2x.

17. 1 – cos6x = sin3x.

18. 2sin23x + 3cos23x = 2.

19. cosx + cos5x + 2cos2x = 1.

20. sin24x + sin28x = 1.

Вариант 4-й

Решить уравнения:

1. cos2x + 3sinx = 2.

2. 2cos2x + 4cosx = 3sin2x.

3. cos3x + cos5x = 0.

4. sinx + sin2x + sin3x = 0.

5. sin3x + sinx = sin2x.

6. cos4x + 2cos2x = 0.

7. cos2x – 3sinx cosx = sin(3/2).

8. 1 – sin2x = cosx – sinx.

9. sin4(x/2) – cos4(x/2) = 1/2.

10. sin2x + sin22x + sin23x = 3/2.

11. sinx + cosx = 1.

12. 1 + cosx – 2cos(x/2) = 0.

13. tgx – tg2x = 0.

14. sin5x cos3x – sin8x cos6x = 0.

15. sin(x + 450)sin(x – 150) = 1/2.

16. tg3x + tg2x – 3tgx – 3 = 0.

17. ctgx + sinx/(1+cosx) = 2.

18. sinx/2 + cosx/2 = sin1,5x.

19. cos4x = 6cos2x – 5.

20. cos2x = sin3x + cos3x.

Дополнительное задание

1. 2/(tgx-ctgx) = tg2x + ctg2x -2.

2. ctgx – 2sin2x = 1.

3. sin2x tgx + cos2x ctgx + 2sinx cosx = = 4/3.

4. cosx cos2x cos4x = 1.

5. sinx – 4cosx + tgx = 4.

6. (1 – 2cos2x)/(sinx cosx) + 2tg2x + ctg34x = 3.

7. 5(1 – sin2x) – 16(sinx – cosx) +3 = 0.

8. sin6x + cos6x = 7/16.

9. 2(1 +sin2x) = tg(p/4 + x).

10. cos2x + cos(3x/4) = 2.

Александр КАЛИНКИН,

учитель математики

средней школы # 1

Дудинка