Шанс – он выпадает только раз? Программа элективного курса «Элементы стохастики» в основной школе

Для успешного систематического изучения в старших классах вопросов стохастики желательна подготовительная работа еще в основной школе, которую поможет организовать данный элективный курс, цель которого – формирование у школьников умения понимать и интерпретировать статистические результаты, представляемые, например, в средствах массовой информации. Еще одна цель данного курса: ознакомление учащихся с элементами теории множеств и математической логики, на которые опирается теория вероятностей.

Пояснительная запискаПолноценное существование гражданина в современном обществе непосредственно связано с правом на получение информации, с ее доступностью и достоверностью, с правом на осознанный выбор, который невозможно осуществить без умения делать выводы и прогнозы на основе анализа и обработки зачастую неполной и противоречивой информации.Необходимо научить детей жить в вероятностной ситуации, т. е. извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. В связи с этим возросла роль статистики в школьном курсе математики. Это обусловлено тем, что статистические представления – важнейшая составляющая интеллектуального богатства современного человека. Они нужны и для повседневной жизни, и для продолжения образования по таким специальностям, как «социология», «экономика», «право», «медицина», «демография». Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий «вероятность» и «достоверность», проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех – все это находится в сфере реальных интересов подростка. Подготовку к решению таких проблем и должен взять на себя данный элективный курс. В программу курса включены следующие вопросы:- «Элементы теории множеств и математической логики»;- «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»;- «Элементы математической статистики».Основная цель изучения комбинаторики – получение средств решения вероятностных задач. Комбинаторика призвана сформировать так называемое комбинаторное мышление, позволяющее учащемуся разумно организовать перебор ограниченного числа данных, подсчитать всевозможные комбинации элементов, составленные по определенному правилу. Она включена в данный курс в той мере, в которой необходима для расчетов простейших вероятностей. На такой отбор содержания повлияла необходимость учета возрастных возможностей учащихся.Необходимо целенаправленное развитие идеи о том, что в природе наличествуют статистические закономерности. Выполнение этой задачи нельзя сводить к изучению соответствующего математического аппарата. Более важно помочь учащимся правильно осознать реальную действительность, показать, что в мире случайностей можно не только хорошо ориентироваться, но и действовать. Это можно сделать с помощью стохастических игр, экспериментов со случайными исходами, статистических исследований, мысленных статистических экспериментов и моделирования (имитации). Конечная цель – научить ребят представлять статистическую информацию в виде таблиц, графиков, использовать их для представления результатов опытов в наиболее выразительном виде, научить читать таблицы и диаграммы, т. е. анализировать данные.При решении задач учащимся придется выполнять довольно много математических расчетов. Актуальным становится умение находить отношение величин, выражать их в процентах, проводить процентные расчеты. Таким образом, изучение этого раздела даст серьезный импульс для совершенствования вычислительных навыков учащихся, развития алгоритмического мышления.Тематическое планирование1. Элементы теории множеств – 2 часа.2. Элементы математической логики – 3 часа.3. Элементы комбинаторики – 6 часов.4. Элементы теории вероятностей – 7 часов.5. Элементы математической статистики – 6 часов.Всего – 24 часа.Тема 1. «Элементы теории множеств»Теория – 1 час. Практика – 1 час.Основные понятия. Понятие числового множества; равные множества; пустое множество; конечные и бесконечные множества; характеристическое свойство множества; определение подмножества. Пересечение, объединение, разность множеств; универсальное множество. Диаграммы Эйлера – Венна. Алгебра множеств. Кортежи; декартово произведение множеств. Отображение множеств. Принцип Дирихле. Образ элемента, прообраз элемента, полный прообраз элемента; обратные и взаимно однозначные отображения.Знания и умения учащихся. Учащиеся должны уметь проводить операции над множествами; решать задачи с помощью диаграмм Эйлера – Венна.Тема 2. «Элементы математической логики»Теория – 2 часа. Практика – 1 час.Основные понятия: 1. Возникновение формальной и математической логики. Аристотелевское учение о суждениях и силлогизмах. Виды категорических суждений (4 вида); термины силлогизмов (3 термина); фигуры силлогизмов; модусы; закон силлогизма; силлогизмы Barbara и Darii.2. Высказывания. Простые и сложные высказывания; логическая связка; матрица (таблица) истинности. Определение основных логических связок: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Высказывания и булевы функции.3. Алгебра логики. Логическое следование (следствие), переключательные схемы.4. Предикаты и кванторы. Одноместные и многоместные предикаты; кванторы всеобщности и существования; связанные и свободные переменные; правила де Моргана для кванторов.5. Высказывательные формы. Определение высказывательной (пропозиционной) формы; множество (область) истинности высказывательной формы; многоместные высказывательные формы.6. Строение математической теоремы.Знания и умения учащихся. Учащиеся должны уметь проводить несложные доказательства; получать простейшие следствия из известных им ранее сведений, полученных утверждений; оценивать логическую правильность рассуждений; использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для подтверждения утверждений.Тема 3. «Элементы комбинаторики»Теория – 2 часа. Практика – 4 часа.Основные понятия:1. Введение. Основные законы комбинаторики. Правило суммы, формула перекрытий (включений и исключений); правило произведения.2. Основные формулы комбинаторики. Простые комбинации: перестановки, сочетания, размещения. Соединения с повторениями: перестановки с повторениями, сочетания с повторениями, размещения с повторениями. Схема рассуждений для определения вида комбинаций. Формула бинома Ньютона, свойство биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. Знания и умения учащихся. Учащиеся должны знать основные законы комбинаторики, формулы комбинаций с повторениями и без; уметь решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, с использованием правил умножения и сложения, основных формул комбинаторики.Тема 4. «Элементы теории вероятностей»Теория – 3 часа. Практика – 4 часа.Основные понятия: 1. Предмет теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Случайные события, исход, равновозможные исходы, единственно возможные исходы, достоверные, невозможные, противоположные события.2. Статистические закономерности. Частотное определение вероятности. Относительная частота случайного события; устойчивость относительных частот; частотное определение вероятности случайного события.3. Геометрическая вероятность. Примеры.4. Вероятностная модель опыта с конечным числом исходов. Пространство элементарных событий; определение вероятностной модели опыта с конечным числом исходов. Определение вероятности случайного события с конечным числом исходов. 5. Алгебра случайных событий. Объединение, пересечение, разность случайных событий; дополнение случайного события; 8 правил; 4 закона (коммуникативный, ассоциативный, дистрибутивный, закон Аугуста Моргана).6. Основные понятия теории вероятностей. Достоверные, невозможные, несовместные и совместные, противоположные, элементарные и сложные, независимые и зависимые случайные события, полная группа событий.7. Основные теоремы теории вероятностей. Теорема сложения вероятностей; условная вероятность; теорема умножения вероятностей и следствия из нее; формула полной вероятности (формула Байеса).8. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Треугольник Паскаля в форме Колмогорова; наивероятнейшее число появления случайного события в серии из «n» испытаний; закон больших чисел.9. Теоремы Лапласа. Локальная теорема Лапласа; функция (х) (таблица значений, свойства, график). Интегральная теорема Лапласа; функция Лапласа (Ф(z), ее таблица значений, свойства, график.Знания и умения учащихся. Знать основные определения теории вероятностей; основные теоремы; уметь применять их к нахождению вероятности случайного события; знать классическое, частотное и геометрическое определения вероятности; уметь находить частоту случайного события; применять формулы комбинаторики для расчета простейших вероятностей; уметь применять формулу Бернулли и теорему Лапласа для расчетов появления случайного события в серии испытаний. Тема 5. «Элементы математической статистики»Теория – 2 часа. Практика – 4 часа.Основные понятия: 1. Методы математической статистики. 2. Этапы статистического исследования.3. Генеральная совокупность и выборка. Репрезентативность выборки, объем выборки; вариационный ряд; варианта; частота; относительная частота; размах ряда; виды статистических графиков (столбчатая и круговая диаграммы; гистограмма; картография).4. Средние показатели (числовые характеристики выборки).5. Показатели вариации: дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Правило трех сигм. Нормальное распределение.6. Статистическая обработка данных. Примеры.Знания и умения учащихся. Уметь извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах и графиках, составлять (строить их); уметь вычислять средние показатели измерений; проводить элементарные статистические исследования и обработку данных этих исследований.Итоговое занятиеПредставление и защита проведенных учащимися статистических исследований. Елена СЕМЕНОВА, учитель математики средней школы №12 им. Героя России А.Ю.Ширяева города Пскова, учитель года Псковской области-2012