search
Топ 10

Осторожно, западня! Математические софизмы

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям “очевидности”. Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.
Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает необходимые в жизни навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает повторение ее в дальнейшем в других математических рассуждениях. Когда ребенок раз притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается этого не делать. Он будет много осторожнее. Так и изучающий математику впоследствии проявит больше осторожности, чтобы не повторить осознанную ошибку.
Далее, что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Когда изучающий математику разбирает софизм, он знает, что может попасть в западню, а поэтому старается обезвредить ее. Чтобы не попасть в ловушку, приходится очень внимательно продвигаться вперед и каждый шаг делать с большой осторожностью. Вопрос стоит так: кто кого подчинит себе, софизм ли разбирающего его, или наоборот. Значит, математические софизмы заставляют внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Все это нужно и полезно.
Наконец, разбор софизмов увлекателен. Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в ее правах. И чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет разбор его.
Если софизм “не поддается”, то надо обязательно обратиться за разъяснениями к учителю. Очень важно добиться отчетливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны и, может быть, даже вредны.
1. 4 руб. = 40000 коп. Возьмем верное равенство 2 руб. = 200 коп. и возведем его по частям в квадрат. Получится 4 руб. = 40000 коп. В чем ошибка?
2. 5 = 6. Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. 5(7 + 2 – 9) = 6(7 + 2 – 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель. Получим 5 = 6. В чем ошибка?
3. 2 . 2 = 5. Найди ошибку в следующих рассуждениях. Имеем числовое тождество: 4 : 4 = 5 : 5. Вынесем за скобки в каждой части этого тождества общий множитель. Получим 4(1 : 1) = 5(1 : 1). Числа в скобках равны. Поэтому 4 = 5, или 2 . 2 = 5.
4. 2 = 3. Найди ошибку в следующем “доказательстве”. Разности 4 – 10 и 9 – 15 равны. К каждой из них прибавим одно и то же число 25/4, тогда получим равные числа, значит, 4 – 10 + 25/4 = 9 – 15 + 25/4. Это тождество можно переписать в таком виде: (2 – 5/2)2 = (3 – 5/2)2. Отсюда: 2 – 5/2 = 3 – 5/2, или 2 = 3.
5. 5 = 1. Желая доказать, что 5 = 1, будем рассуждать так. Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3. Получим числа 2 и -2. При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Где ошибка?
6. 4 = 8. Возьмем систему уравнений:
2х + у = 8; х = 2 – у/2.
Решим эту систему способом подстановки. Получим: 4 – у + у = 8, т.е. 4 = 8. В чем здесь дело?
7. Все числа равны между собой. Попытаемся доказать, что все числа равны между собой. Пусть mn. Возьмем тождество: m2 – 2mn + n2 = n2 – 2nm + m2. Имеем (m – n)2 = (n – m)2. Отсюда m – n = n – m, или 2n = 2m, а значит, n = m. В чем ошибка?
8. Любое отличное от нуля число равно противоположному ему числу. Какая ошибка допущена в следующих рассуждениях? Возьмем произвольное, отличное от 0 число а. Обозначим его буквой х, х = а. Обе части этого равенства умножим на -4а. Получим -4ах = -4а2, или -4ах + 4а2 = 0. К обеим частям этого равенства прибавим х2. Получим х2 – 4ах + 4а2 = х2, или (х – 2а)2 = х2. Значит, х – 2а = х, но х = а, поэтому а – 2а = а, или
-а = а.
9. Любое число равно половине его. Возьмем два равных числа а и b, а = b. Обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из них по b2. Получим а2 – b2 = аb – b2, или (а + b) (а – b) = b(а – b). Отсюда а + b = b, или а + а = а, так как b = а. Значит, 2а = а, или а = а/2. Какая ошибка допущена в этих рассуждениях?
10. Отрицательное число больше положительного. Возьмем два положительных числа а и b. Сравним два отношения: а/-b и -а/b. Они равны, так как каждое из них равно -а/b. Можем составить пропорцию: а/-b = -а/b. Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то и предыдущий член второго отношения больше своего последующего. В нашем случае а > -b, следовательно, должно быть -а > b, т.е. отрицательное число больше положительного. В чем ошибка?
11. Любое число равно числу, в два раза большему его. Пусть а – какое угодно число. Возьмем тождество: а2 – а2 = а2 – а2. В левой части его вынесем а за скобки, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов. Тогда получим: (а – а)а = (а – а) (а + а). Упростив это тождество, получим а = 2а. В чем здесь ошибка?
12. Любое число равно нулю. Найди ошибку в таком рассуждении. Каково бы ни было число а, справедливы равенства: (+а)2 = а2 и (-а)2 = а2. Следовательно, (+а)2 = (-а)2, а значит, +а = -а, или а + а = 0, но тогда 2а = 0 и поэтому а = 0.
Из книги Ф. Нагибина “Математическая шкатулка”.

Оценить:
Читайте также
Комментарии

Реклама на сайте