Математика

Прямая пересадка теорем

“Звездные уроки” Владимира Ильина

В чем секрет Владимира Ильина? Почему его уроки захватывают и не отпускают? Попытаюсь объяснить. Нам много раз говорили и говорят (и будут говорить): есть великое СРЕДСТВО, позволяющее учить с огромной скоростью и с невероятной глубиной усвоения. Мы знаем и всегда знали – такого средства нет. Но есть предмет, его содержание, с которым учитель идет к детям. Чем больше, глубже ЛИЧНОСТЬ учителя, чем сильнее его увлеченность, самоотдача, тем свободнее действует на ученика естественная красота предмета и тем меньше важны все средства, все подпорки и приемы.

Ильин – это учитель, который идет к детям сам как человек, как математик, влюбленный в эту науку. Он “просто” заражает своей математикой, своей индивидуальностью. Он демонстрирует ученикам свое математическое мышление, и эта демонстрация и есть его главный козырь. Ильин – “открытый мозг”, в котором шевелятся теоремы. Не нужно никаких “приемов” наглядности, когда в непосредственном общении куски математической реальности просто пересаживаются из одной головы в другую.

Но, конечно, все совсем не просто. Это – не хирургия ведь, это “магия” учебного диалога и порой такого запретного монолога. Запретного для тех, кому нечего сказать, кроме буквы программы. И это неповторимо. К сожалению, нет “технологии” Ильина, которую можно освоить, чтобы твои ученики так же интересовались предметом. Ильин 27 лет проработал в школе (теперь это Математический лицей), которую сам же и закончил. К таким вершинам идут годами, да что там – десятилетиями…

Есть лишь некоторые принципы, но их применение учителем, не настолько свободно владеющим предметом и даже просто не столь глубоко понимающим, что “математика – это красота” (что было основной мыслью “победного” урока), вряд ли приведет к тем же результатам.

Например, особое отношение Ильина к так называемому “повторению”. Ведь чем больше нового стандартно-программного материала проходят в школе, тем больше нужно повторять. Таким образом объем повторяемого материала растет из класса в класс. И в старших классах, естественно, роль повторения должна стать чуть ли не ведущей. При этом последовательное накопление материала в дедуктивном порядке, так как он расположен в “идеальном” математическом тексте, должно неизбежно смениться каким-то другим принципом, связанным с “поддержкой” всего построенного раньше математического здания. У Ильина такая поддержка осуществляется через “комплексы” задач, теорем, рассуждений, поисков, маленьких открытий, когда, разбирая одну сквозную тему, можно привлечь (и повторить!) множество иных тем.

Например, в центре одного из двух уроков, показанных Ильиным на учительском конкурсе, стала теорема Вариньона: если соединить середины сторон произвольного четырехугольника, то получится параллелограмм. В доказательстве используется средняя линия треугольника (то есть нужно вспомнить ее определение и свойства). Ильин ставит сначала “мотивирующую” физическую задачу: “Какой минимальной высоты должно быть зеркало, чтобы вы увидели себя в нем от головы до пят?” (Ответ: зеркало должно быть “средней линией” треугольника со стороной в виде отражающегося в нем человека, а потому – в два раза меньше его роста). Значит, нужен небольшой экскурс в оптику! Дальше доказательство (без лишних записей) теоремы Вариньона и – серия задач, фактически складывающаяся в небольшое исследование. Вот некоторые из них.

Есть два четырехугольника: “внутренний” и “объемлющий”. Пусть один из них принадлежит к какому-то классу (будет ромбом, трапецией, четырехугольником с пересекающимися под прямым углом диагоналями и т.д.) – каким будет другой четырехугольник?

Затем – обобщение Вариньона: оказывается, теорема действует не только для выпуклых четырехугольников. И даже не только для плоских (у “не плоских” – вершины не лежат в одной плоскости). Это уже стереометрия – работа на близкое будущее. Доказательство остается прежним, но, чтобы убедиться в этом, нужно еще раз его просмотреть (а там и теорему о средней линии).

Затем – новый шаг: свойство треугольной пирамиды, линии, соединяющие середины противоположных ее ребер, пересекаются в одной точке! Отсюда – всего миллиметр до известной уже теоремы о медианах треугольника. Выяснилось, что хваленые наши московские деточки эту теорему напрочь забыли! Итак, она достается из подвалов памяти и заново доказывается, теперь уже для этого потребовалось всего несколько слов – на доске уже была “подстроена” подсказка (помните наш невыпуклый четырехугольник? Ильин его специально “забыл” стереть. Туда нужно “палочку добавить”, и – теорема доказана).

А где теорема о медианах, там и центр тяжести – “комплекс” поддерживаемых знаний стремительно разворачивается. Центр тяжести всегда существует – значит три медианы пересекаются в одной точке.

– А вот Архимед доказывал эту же теорему иначе! – говорит Ильин. – Надо разрезать треугольник на тонкие полосочки…

В конце урока дело доходит до сложных олимпиадных задач.

Я сидел на задней парте. Я не был учеником. Но я стал им, так захватил меня разворачивающийся “сюжет” исследования. И в голову мне полезли (как бывало раньше) разные математические мысли…

На уроке Ильина произошла настоящая “закрутка” – почему? В чем секрет? В его искренности, в его самоотдаче, в созданном им “творческом вакууме”, который так сильно притягивает музу открытий.

А вот второй урок, финальный. Напомним, в финале уроки проходили на сцене перед полным залом, перед жюри, а учениками были коллеги-соперники, дружно помогавшие финалистам.

Тема урока: “Что такое математика”. В руках у учеников – длинные полоски бумаги. Ильин предлагает завязать бумажный узел. Если такой узел расправить и прижать к плоскости стола, то получится пятиугольник (кажется, похожий на правильный). Конечно, сказать “кажется” – не то что сказать “есть на самом деле”. Поэтому Ильин просит доказать к следующему уроку, что получился действительно правильный многоугольник. “Наметим ход доказательства. Сначала нужно доказать, что если у многоугольника любая диагональ отсекает трапецию, то этот многоугольник – правильный. Продолжите сами”, – говорит Ильин. (Значит, узел как-то связан с пятиугольником? А цветы, у которых, как правило, пять лепестков, – это как-нибудь связано с узлами? – мысли, которые появляются у учеников).

Теперь найдем внутренний угол правильного пятиугольника АВСDE.

Действуем по известной формуле: 3х1800=5400 и полученное разделить на 5. Результат 1080. АВС – равнобедренный. А = С. Какова величина одного такого угла? (1800 – 1080)/2 = 360. Выясняется, что DAC = 1080 – 2×360=360= EAD

Знакомо ли вам это число? Это – знаменитое “золотое сечение”. Оно часто встречается в искусстве, например, в архитектуре, в скульптуре. Каждый из вас

носит его с собой “в руках” – посмотрите, отношение фаланг пальцев – тоже “золотое сечение”! (Обязательно проверьте это дома с помощью линейки).

А сейчас – еще одно свойство пятиугольника. Существует только один равнобедренный треугольник (с точностью до подобия), у которого биссектриса делит боковую сторону в отношении золотого сечения, – это треугольник ADC.

Также мы видим, что “внутри” нашего пятиугольника образовался пятиугольник меньшего размера, внутри него – еще меньшего и так до бесконечности. На этом чертеже можно провести ломаную, состоящую из бесконечного числа уменьшающихся отрезков. Длина этой ломаной будет суммой бесконечной геометрической последовательности (если не считать BC и CF) х2+х3+х4+…= х2/(1-х) = 1.

А сейчас внимание! Раз уж мы заговорили о бесконечных последовательностях, я вам сейчас математически объясню, как Бог создал Землю из ничего. Рассмотрим последовательность 1-1+1-1+… Если сгруппировать так (1-1) + (1-1) + …, то получится 0+0+0…=0. А если сгруппировать иначе 1-(1-1)-(1-1)-…= 1-0-0… = 1. То есть 1=0, нечто равно ничему. Что же удивляться, что Бог создал Землю из ничего?

Вернемся к пятиугольнику. Более трех тысяч лет существует этот символ и называется он ПЕНТОГРАММА. Она была опознавательным знаком братства пифагорейцев, последователей Пифагора, которого вы знаете в первую очередь по известной теореме. Однако в истории человеческой мысли он выдвинул основополагающие принципы. Например, он говорил: “Все есть число”, то есть законы мира могут быть выражены числами. Пифагор уделял особое внимание отношениям чисел. Он и его последователи использовали музыку для объяснения законов гармонии. Так, отношение 1/2 они назвали октавой, 2/3 – квинтой, а 3/4 – квартой. Затем Ильин демонстрирует получающиеся аккорды на гитаре. Музыка и числа оказываются связаны.

Итак, продолжает Ильин, я хотел бы сформулировать свой ответ на вопрос темы урока. Что такое математика? По-моему, математика – это красота. В самом широком смысле. Мы сегодня сами убедились в том, что с законами геометрических фигур неразрывно связаны внутренние числовые соотношения, проявляющиеся как в природной красоте, так и в искусстве: в архитектуре, музыке и так далее. Не значит ли это, что суть математики – красота?

Этот урок принес Ильину победу. Убежден, это уникальный, выдающийся учитель, им мы должны гордиться. Его мы должны беречь.

На конкурсе “Учитель года-98” я хотел встретить новые педагогические теоретические концепции. Но понял, что есть во всяком случае одна область, где концепции ничего не стоят без личности, претворяющей их в жизнь, – педагогика. И этому научил меня учитель года-98 Владимир Леонидович Ильин. (Ему не потребовалось никаких дополнительных уроков, чтобы научить меня этому).

Евгений БЕЛЯКОВ