Математика

Точность и гуманизация растут по спирали

Существенных изменений содержания математического образования в этом учебном году не предвидится. Перемены лишь готовятся. Главный специалист по математике Управления общего среднего образования Министерства образования Г.КУЗНЕЦОВА сообщила нам, что “министерство предложило Институту общего среднего образования РАО к концу этого года рассмотреть проект нового содержания математического образования. Программа будет переработана, может быть, сместятся акценты, произойдет перераспределение по классам, появятся новые содержательные линии”.

Эти планы касаются будущего. Но ученые пытаются помочь школьным учителям математики уже сегодня, разрабатывая новые подходы к преподаванию и новые учебники. В первую очередь это касается обеспечения среднего звена – 5-9-е классы. Почему необходимы такие перемены, замена традиционных, привычных пособий и программ?

КАКОЙ ДОЛЖНА БЫТЬ МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ?

Заведующий отделом математического образования Института общего среднего образования РАО, профессор Г.ДОРОФЕЕВ считает, что за последние 10 лет изменилась парадигма преподавания предмета: “Математика служит потребностям ученика, а не наоборот, не потому ее изучают, что математика существует две тысячи лет. Мы перешли от концепции “вся математика для всех” сначала к “математике для всех”, а сейчас – к “математике для каждого”, когда человек может выбрать из предмета то, что ему интересно. Из трех главных функций образования: обучающей, развивающей и воспитательной мы провозгласили приоритет развивающей функции. То есть общество получит свои научно-технические кадры не в меньшем обьеме, чем получало, но остальные не будут по окончании школы ненавидеть математику”. Профессор имеет прежде всего в виду стандарты образования, которые разрабатываются в том числе и для математических дисциплин: “Мы даем массовому ученику развить интеллект, мышление – математическое, логическое, общее – и одновременно даем базу, достаточную для тех, кто уйдет в углубленное изучение, станет профессионалом в будущем”. Такой подход спасает школы от полного забвения математики в классах для гуманитариев или просто “слабых” учеников. Это, увы, уже не редкость. С другой стороны, новый взгляд на эту школьную дисциплину не означает ее упрощения. Наоборот, нужно понять важность предмета для личностного роста ребенка. “Математика является одним из самых важных средств интеллектуального развития человека, которыми располагает человечество. Математика является также важнейшим средством оценивания уровня интеллектуального развития человека. Геометрия, впрочем, как и алгебра, является носителем собственного метода познания мира. Овладение этим методом – важнейшая цель образования”. Это мнение другого ученого, ведущего научного сотрудника Института общего среднего образования РАО России И.ШАРЫГИНА. Дорофеева и Шарыгина можно назвать идеологами математического образования в Институте общего среднего образования РАО. Они же – авторы известных школьных учебников нового поколения. В этом учебном году школы получат “свежий” учебник И.Шарыгина “Геометрия 7-9”, заявленный в федеральном комплекте 1997 года, и “Алгебру” Г.Дорофеева и др. для 7 кл. – пока пробным изданием. “Алгебра” скорее всего войдет в федеральный комплект-98.

ГЕОМЕТРИЯ

В последние годы в школах появилось несколько новых учебников по геометрии. Учителя могут выбирать: или “обкатанная” “Геометрия” А.В.Погорелова, или новый учебник авторского коллектива под руководством Л.Атанасяна, есть книга А.Александрова и А.Вернера. И вот – принципиально новое слово. Комплект учебников для 7-9-х классов, выпущенный в издательстве “Дрофа” в этом году.

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 кл.

Шарыгин И.Ф. и др. Геометрия. 7 кл. Рабочая тетрадь.

Шарыгин И.Ф. и др. Геометрия. 8 кл. Рабочая тетрадь.

Шарыгин И.Ф. и др. Геометрия. 9 кл. Рабочая тетрадь.

Концепция школьной геометрии И.Шарыгина – не что-то принципиально новое. Многие учителя увидят, что учебник соответствует их представлениям, как нужно преподавать геометрию. Другие обрадуются или, наоборот, огорчатся, что новая “Геометрия” не похожа на погореловскую. То, что учебник Погорелова грешит логическими ошибками, неудобоваримыми определениями и другими недостатками, известно всем. И.Шарыгин: “Вот вам пример. Читаем: “Для каждого треугольника найдется треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой”. Это не по-русски сказано. Что здесь утверждается? Что для каждого треугольника можно построить треугольник, ему равный, где угодно. Но сказано так, что перестало быть понятно. Такое изложение заставляет людей зазубривать. Пустые сочетания слов выдаются за умозаключения. Я считаю безнравственным заставлять ребенка доказывать очевидные вещи. Доказательство надо мотивировать. В итоге совершается методическое преступление, потому что уже в начале седьмого класса, когда начинается геометрия, такой учебник отбивает интерес к предмету. Пока есть интерес – его надо использовать. А тут в течение года человек не получает никакой новой информации. Он учит свойства параллелепипеда или шара. Но ничего нового для себя не выносит, разве что само слово “параллелепипед”, но это проблема языковая, а не геометрическая. Или шар – ребенок уже знает его свойства с детства, в футбол-то мальчишки не кирпичами играют”.

Чем же заменить этот вредный, с точки зрения оппонентов, подход? Микрозадачи трех классов в рамках курса И.Шарыгина можно выразить в трех словах: заинтересовать, научить, повторить. Особенности этого учебника преподаватели смогут увидеть, познакомившись с книгой. Скоро выйдет методика для 7-го класса, написанная, кстати, методистом по учебнику А.Погорелова – А.Минченко. Пока несколько слов об основных принципах нового учебника. Слово автору:

“Принцип историзма. Я называю свой курс ретро-модернистским. Это совершенно новый курс, но вместе с тем весь модернизм – это восстановление старого и поиски возможностей в самой геометрии, которые были упущены. Я отказываюсь даже от некоторых современных формальных научных подходов, например от аксиоматического подхода. Очень опасно аксиоматизировать свойства, известные нам на основании нашего опыта, знаний, интуиции.

Элементы фузионизма, то есть смешения разных направлений. Есть пространство и плоскость. Изучая теорию, удобнее идти в такой последовательности: точка, прямая, плоскость, пространство. Но ребенок приходит в школу с хорошим пространственным мышлением, и эта способность в нем подавляется. Мы приходим к стереометрии в старшем звене, когда уже поздно. Я против полного фузионизма, то есть смешения в одном курсе планиметрии и стереометрии. Предлагаю такой выход. Начинаем с пространства. Потом работаем в плоскости, но пространство остается интерьером, в котором происходит действие. Я использую обьекты пространства для изучения формул планиметрии, чтобы человек поддерживал в напряжении свое пространственное мышление.

Две основные фигуры геометрии – треугольник и окружность. Не нужно заниматься мелочами, надо выделить главные вещи и их изучить досконально, они за собой остальные потащат. Треугольник – клетка геометрии. Окружность – душа геометрии, большим недостатком Погорелова является еще и то, что у него исчезла линия окружности. Треугольник и окружность как бы ограничивают учебное пространство. Между ними расположены всевозможные многоугольники, исчерпывая тем самым все изучаемые в школе фигуры.

Система задач. Она должна быть полноценным компонентом курса геометрии. Сегодня произошел отрыв: курс геометрии отдельно – задачи отдельно. За века существования геометрии накопился запас красивых задач. Без знакомства с этими задачами геометрическое знание не может быть полным. Ведь задача – это не только умения, это еще и элемент знаний. Полноценный геометрический курс – это обьединение теории и соответствующей системы задач.

Предлагаемый мною курс геометрии – наглядно-эмпирический. Я против формул. Я хочу, чтобы на страничке была картинка, а не сложные формулы. Горжусь, что привлек к работе художника Вадима Иванюка, он сделал блестящие иллюстрации”.

АЛГЕБРА

Чего ждут от учебника математики учителя? Преподаватель 35-й кировской школы М.ПРОКАШЕВА: “В 5-7-х классах мы используем обычные программы, но стараемся делать упор на арифметику. Стараемся не переходить на решение задач с помощью уравнений. Работаем по учебникам Г.Дорофеева, ждем в новом учебном году очередной – для 7-го класса”. По нашей информации, к сентябрю издательство “Дрофа” выпустит этот учебник в свет, но пока как пробный. Вам решать, войдет ли он в федеральный комплект 1997-1998 года. На следующий год ожидается появление пробного издания учебника для 8-го и, возможно, 9-го класса. А в будущем создатели этой серии надеются обеспечить книгами и 10-11-е общеобразовательные классы. Г.Дорофеев: “У нас очень много умных людей занимаются изучением математики, физико-математическим профилем, а меня и мою лабораторию привлекает массовый ученик. Эта работа приоритетна для нас”.

Теперь давайте посмотрим, насколько заложенные в учебник идеи совпадают с требованиями учителей, о которых сказала кировский педагог? И что еще характерно для учебного комплекта, созданного этим авторским коллективом, для конкретного нового учебника “Алгебра-7”? Предоставляем слово авторам.

С.СУВОРОВА, ведущий научный сотрудник отдела математического образования ИОСО РАО:

“Мы, – пожалуй, единственный авторский коллектив, который честно говорит, что существующий курс для большинства детей, где-то для 70%, недоступен. Математика не соответствует возрастным возможностям детей в силу излишней теоретизации, абстракции. Предмет чрезмерно алгебраизирован: уже с 1-го класса дети решают задачи с помощью уравнений. Это не безобидно. Несоответствие возрастным возможностям не позволяет развиваться. Нужно чуть-чуть “стоять на цыпочках”, тогда происходит интеллектуальный рост. То, что мы сделали в 5-6-м классе, – это курс арифметико-геометрический. Сейчас в школе практически не осталось арифметики в классическом смысле слова. Мы восстановили в правах арифметику, учим детей считать. Арифметика в традиционном курсе заканчивается в 6-м классе, у нас арифметика продолжается и в седьмом. Натуральными числами, наверное, они могут заниматься с 1-го по 11-й классы. Мы немножко отодвинули алгебру и насытили 5-6-й класс геометрией. Плюс – появилась линия анализа данных – вероятностно-статистический материал, комбинаторные задачи, работа с таблицами, диаграммами”.

Г.до╡офеев:

“Мы сознательно снижаем уровень вычислительных навыков. Мы учим складывать дроби, мы их не выбрасываем, для нас главное не то, что ребенок умеет складывать дроби, а способы, которые он применяет, как он думает над примером. Умение складывать дроби – это приятное последствие. Процесс обучения математической деятельности имеет приоритетное значение по сравнению с конкретными достижениями. Например, вряд ли кто-нибудь после школы будет решать квадратные уравнения. Но процесс обучения квадратным уравнениям богат интеллектуальными возможностями – людям приходится думать, формулы запоминать. Он просто полезен для интеллектуального развития”.

с.суво╡ова:

“Наше математическое образование уже во многом строится на основе стандарта, хотя он еще не принят. Идея уровневой дифференциации – основная педагогическая идея, которая заложена в этих учебниках. По каждой теме у нас есть рубрика – “Задания для самопроверки”. Это и есть обязательные результаты, они явно выделены, это тот уровень, ниже которого опускаться нельзя, это сухой остаток. Нельзя получить “три”, если ты этого не умеешь делать. Но содержание учебника гораздо богаче. Каждый учитель, работая по комплекту, может использовать его для преподавания в “слабом” классе (расчет на 5 часов), в “сильном” классе (6 или даже 7 часов). Он строит обучение в зависимости от своих возможностей и от возможностей класса. Внешне учебник имеет два уровня, но на самом деле их больше. Все упражнения разбиты на группы А и Б. А – попроще, Б – посложнее. Кроме того, в дидактических материалах для 5-6-х классов есть дополнительные работы. Для 7-го класса эти материалы включены в учебник, располагаются по разделам. Это вопросы, расширяющие представления о предмете для тех, кто интересуется, из разряда необязательных. И получается, что четко выделен только минимальный, а вот выше – у каждого класса и у каждого ученика получается свой уровень. Диапазон сложности – это такая особенность, которой не было раньше. Но при этом мы считаем, что трудные задачи надо решать со всеми. Кто-то решит сам, другой просто послушает и сможет повторить на доске решение, третий решит аналогичную. Каждый возьмет свое”.

г. до╡офеев:

“Мы хотим напомнить, что математика – не мертвая наука. Математическое мышление – часть общечеловеческого мышления. Отсюда – человеческий язык изложения материала в книге и гуманитарный, исторический фон учебника”.

с. суво╡ова:

“Наши дидактические принципы. Во-первых, мы стараемся излагать теорию на уровне, доступном детям. Мы отказались от массы исключений, оговорок, потому что мы хотим сказать о них тогда, когда это становится нужным. Теория стала проще. Многое показываем, что называется, на пальцах. Дифференциация, усложнение идет не за счет теории, а за счет задач. У нас масса сложных задач, но их решают не “сильные” дети, потому что учитель, который преподает по нашей программе, говорит детям – решайте, пробуйте, эспериментируйте, не бойтесь, что вам поставят “два”. Задачу можно не решить, ее важно решать. Поскольку мы надеемся, что в старшем звене ребята будут изучать разные курсы математики, то есть смогут в старших классах “добрать”, мы кое-что отодвигаем дальше, и у нас более медленное продвижение по курсу. У нас меньше специальных умений, но более широкий круг вопросов. Мы строим курс по спирали. Ко всем принципиальным вещам мы возвращаемся на более высоком уровне. Например, проценты проходят четыре раза. Иногда мы строим так: первый “проход” на интуитивном уровне – это игра, второй – появляются некоторые термины, третий – вводятся правила, как вербальное обобщение, выражение того, что уже интуитивно понятно. Не от правила к примеру, а правило ложится на опыт. Детям должно быть интересно. Ведь в 5-6-м классе рано говорить о профильной дифференциации, а потому надо втягивать, заманивать, чтобы можно было себя испытать, чтобы получилось. И – возник новый интерес. Интересно то, что получается”.

ЗАГЛЯНЕМ В ФЕДЕРАЛЬНЫЙ КОМПЛЕКТ-98

В этом учебном году в издательстве “Мнемозина” выходит учебник профессора А.Г.Мартковича “Алгебра” для 7-го и 8-го классов, пока не вошедший в федеральный комплект. Учебник написан под авторскую концепцию, которая отличается от типовой программы Министерства образования. Может быть, он займет полноправное место в федеральном комплекте будущего года. Более вероятные претенденты занять место в этом списке под рубрикой “новое”:

Дорофеев Г.В. и др. Математика. Арифметика, алгебра, анализ данных. 7 кл. Изд-во “Дрофа”.

Дорофеев Г.В. и др. Математика. Дидактические материалы. 7 кл. Изд-во “Дрофа”.

Кузнецова Л.В. и др. Сборник задач для проведения школьного экзамена по алгебре и началам анализа за курс средней школы (по трехчасовой программе). Изд-во “Дрофа”.