На чтение: ≈ 32 мин.В школьном курсе математики встречаются следующие методы доказательства (решения): аналитический, синтетический, графический, метод от противного, метод математической индукции. Подавляющее большинство задач решается аналитическим методом. Поэтому многие учащиеся полагают, что задачу можно свести к определенной схеме решения, то есть каждый тип задач решается по стандартному алгоритму. Но это ошибочное мнение. Иногда аналитическое решение приводит к громоздким выкладкам, и возникает необходимость использовать другой метод решения, наиболее рациональный для данной задачи. Например, графический метод.
Изучение методической литературы, школьных учебников и различных пособий по математике показало, что графическому методу решения задач не уделяется должного внимания. Решение задач с помощью построения графиков требует определенного уровня подготовки. По мере изучения новых функций увеличивается база знаний учащихся. Зная свойства функций, учащиеся могут строить более сложные графики, а следовательно, имеют возможность решать более сложные задачи. Такие задачи – важное средство развития геометрической интуиции и графической культуры учащихся. Они помогают более глубокому усвоению основных понятий и теорем и применению их на практике, способствуют преодолению формализма в знаниях. Графические образы – наглядная опора, позволяющая упростить аналитическое решение.Разработанная система упражнений может быть использована учителем на уроках математики, на дополнительных занятиях.1. Графическая культура как одна из составляющих математической культурыВ методике преподавания математики выделяют ряд качеств, характеризующих высокий уровень культуры мышления.Вот основные из них: самостоятельность мышления, то есть умение ставить вопрос и находить соответствующее решение и ответ; критичность и самокритичность мышления – умение давать объективную оценку явлениям, собственным действиям и мыслям; целенаправленность – умение осуществлять разумный выбор действий при решении какой-либо проблемы; широта ума – умение конкретно и всесторонне подходить к рассмотрению того или иного вопроса; глубина ума – умение доходить во всяком вопросе до сути дела, не успокаиваясь на первом, поверхностном объяснении; гибкость ума – умение свободно распоряжаться исходным материалом и видеть его в развитии; открытость ума – умение находить в известном неизвестное; дисциплинированность ума – определенность, непротиворечивость, последовательность, обоснованность; организованность памяти, ясность, точность, лаконичность речи и записи.Специфика математического языка, отличающая его от языков других наук, состоит в том, что он включает в себя по крайней мере два подъязыка: символический язык математических формул и язык геометрических фигур, графиков, диаграмм. Второй подъязык хотя и содержит в себе символы, однако обладает образной природой, дает возможность материализовать идеи с помощью тех или иных геометрических образов.Культура принадлежит к числу наиболее сложных, многогранных и многоликих социальных явлений. Графическая культура тесно переплетается со многими другими компонентами феномена «культура» – культурой мышления, речи, визуальной культурой и т. д.Графическую культуру можно рассматривать как умение создавать иллюстрации, блок-схемы, плакаты, рисовать схемы и чертежи.Графические средства отображения информации сегодня широко используются во всех сферах жизни общества. Графические изображения характеризуются образностью, символичностью, компактностью, относительной легкостью прочтения. Именно эти качества графических изображений обусловливают их широкое использование. Прогнозируется, что около 60-70% информации в ближайшее время будет иметь графическую форму предъявления. Учитывая эту мировую тенденцию, общее среднее образование должно предусмотреть формирование знаний о методах графического представления информации, что обеспечит условия и возможности ориентации выпускника в обществе.Развитие графической культуры учащихся – одна из задач школьного курса алгебры. При построении графиков закладываются основы аналитического мышления, формируется интуиция, развиваются логика и культура использования функциональных изображений.При изучении этой темы осуществляется последовательный переход от одного уровня математической деятельности к следующему, более высокому, обобщаются знания из разных разделов, идет работа с аналитическими и графическими моделями, появляется возможность оценить смысл и значение приобретенных знаний, растет качество знаний. Умение применять графические модели при решении задач способствует формированию целостного представления о классе функций и развитию графического мышления. Графическая культура включает в себя не только умение строить графики (хотя это и считается важным фактором), но и умение видеть по готовому чертежу (графику) свойства функций, а также видеть наиболее рациональный способ решения уравнения, неравенства и системы уравнения и неравенств. Важно, чтобы учащиеся могли делать выводы о взаимном расположении графиков.Типичной ошибкой можно считать сведение всей работы по формированию графической культуры к беспрестанному вычерчиванию все новых и новых графиков. При этом учителя нередко сетуют на то, что хотя они и построили с учащимися большое количество графиков, школьники все же не видят по графику свойств функции.Графический язык является важным средством преодоления формализма в знаниях школьников, развития геометрической интуиции, необходимой для понимания основных факторов анализа и их применения на практике, он способствует формированию прикладных и политехнических умений. Реализация этих возможностей в процессе обучения требует активного оперирования графическими моделями и может быть осуществлена при широком систематическом использовании разнообразных задач графического содержания. 2. Функции и графики в школьных учебникахФункции, их свойства и графики, как в явной, так и в неявной форме, составляют стержень школьного курса алгебры (приложение 1).Уже в 5-6-х классах закладываются основы для систематического изучения функций и дальнейшего развития графической культуры. Проанализировав содержание некоторых учебников по алгебре, можно сделать вывод, что функционально-графическая линия наиболее содержательно прослеживается в учебниках А.Г.Мордковича. Методология концепции изучения функций заключается в том, что каждый год обучения ориентирован на конкретную модель реальной действительности.Основная тема 7-го класса – линейная функция, что с точки зрения моделирования реальных процессов соответствует равномерным процессам. Основная тема 8-го класса – квадратичная функция, моделирующая равноускоренное движение. Что касается старшей школы, тема 10-го класса – тригонометрические функции, которые моделируют периодические процессы. В 11-м классе появляется показательная функция, которая описывает процессы органического роста.Методические особенности концепции изучения функций в учебниках А.Г.Мордковича:1. Отказ от формулировки определений функций при первом появлении этого понятия.2. Постепенное введение в программу свойств функций, подлежащих изучению на различных уровнях строгости.Приведу таблицу стратегии и тактики изучения свойств функций в курсе алгебры 7-10-х классов. Стратегия определяет время введения понятия, а тактика – формирование уровней строгости предъявления понятия. В таблице приняты следующие обозначения:Н – соответствующее свойство функции вводится на наглядно-интуитивном уровне;Р – свойство функции изучается на рабочем уровне, на уровне словесного описания, не загнанного в жесткую формальную конструкцию; Ф – формальное определение свойств. (См. таблицу.)В 7-м классе функционально-графический материал изучается на наглядно-интуитивном уровне, в 8-м классе – на рабочем, и только в 9-м классе – на формальном.3. Для изучения разных видов функций в системе упражнений выделяется инвариантное ядро. Оно строится из шести направлений:- функциональная символика; – графическое решение уравнений;- преобразование графиков; – чтение графика;- отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке; – кусочные функции.Учащиеся привыкают к тому, что, какую бы новую функцию они ни изучали, в системе упражнений обязательно будут упражнения, рассредоточенные по указанным шести блокам.Раскрою методические особенности некоторых из этих направлений, при изучении которых, с моей точки зрения, формируется и развивается графическая культура учащихся.Графическое решение уравненийГрафический метод решения уравнений приводит ученика к ситуации, когда график функции строится не ради графика, а для решения другой задачи. График функции становится не целью, а средством, помогающим решить уравнение. Учащиеся вынуждены применять его, привыкают к нему и относятся как к своему первому помощнику, поскольку никаких других приемов решения того или иного уравнения к этому времени не знают. Я замечаю, что большинству учащихся графический метод решения уравнений нравится, они чувствуют его полезность и красоту и в то же время ощущают проблемность ситуации, вызванную неточностью этого метода. Примеры уравнений для решения графическим способом: Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежуткеПри изучении каждого класса функций я предлагаю учащимся задания такого типа:найдите наибольшее и наименьшее значения функций ; на промежутках .Учащиеся строят график функции, выделяют ту часть графика, которая соответствует указанному промежутку, и по графику находят наибольшее и наименьшее значения функции.Методическая ценность подобных заданий заключается в том, что, во-первых, это новая «игра» с функцией, когда график нужен не сам по себе, а для ответа на вопрос задачи, во-вторых, учащиеся привыкают к достаточно сложным математическим понятиям, восприятие которых требует как определенной подготовки, так и определенного уровня графической культуры.Кусочные функцииВо многих случаях именно кусочные функции являются математическими моделями реальных ситуаций. Использование таких функций способствует преодолению обычного заблуждения учеников, отождествляющих функцию только с ее аналитическим заданием в виде некоторой формулы. Использование на уроках кусочной функции дает возможность учителю сделать систему упражнений более разнообразной.Чтение графикаВажно научить учащихся по графику описывать свойства функции, переходить от заданной геометрической модели (графика) к вербальной (словесной). Наличие в курсе алгебры 7-11-х классов достаточно большого числа свойств функций позволяет сделать процесс чтения графика интересным и разнообразным с литературной точки зрения. Ученик учится составлять довольно четкий «словесный портрет» функции по ее графику и аналитическую модель, соответствующую данной геометрической. Времени на прочтение расходуется немного, а воспитательный эффект подобной работы велик.3. Некоторые методические аспекты формирования графической культурыТермин «визуальное мышление» (зрительное, наглядное) – это, по словам Р.Арнхейма, «мышление посредством визуальных (зрительных) операций». Л.Лурия, исследуя познавательные процессы, выделяет «ум, который работает с помощью зрения, умозрительно». Поэтому, чтобы правильно видеть вещи, необходимо обучение.Если написать на доске сложные алгебраические выражения и предложить классу задание упростить их, то ученики постараются сразу преобразовать. Нужно остановить их. Первым шагом в каждом этапе познания является «живое созерцание».Для того чтобы сделать «живое созерцание» действенным, ученик должен научиться анализу визуальной информации. Какие шаги сопровождают такой анализ? Прежде всего должно произойти осознание общей структуры предложенного изображения (это могут быть формула, чертеж, график, схема и т. п.). При этом ученик стремится распознать некоторую эталонную, стандартную ситуацию, то есть мысленно ответить на вопрос: применение каких знаний, какого правила предполагает поставленная перед ним задача?Происходит расчленение, зрительный анализ информации, в котором важную роль играет узнавание, опознание отдельных ее фрагментов, отождествление одинаковых, сходных по форме или смыслу элементов.Зрительные образы в большей степени, чем слуховые или двигательные, позволяют мгновенно схватывать, понимать отношения, существующие между различными элементами воспринимаемой ситуации. Зрительный образ необычайно емок, так как в нем практически одновременно отражается информация о пространственных, цветовых, динамических, фигуративных характеристиках объектов. Образы обладают гораздо большей ассоциативной силой, чем слова. Зрительный образ весьма пластичен. Манипуляции образами, их достраивание – важнейшие средства продуктивного восприятия и визуального мышления.Многие исследования свидетельствуют о том, что в зрительной системе есть механизмы, обеспечивающие порождение нового образа.Для того чтобы воспитать «математическое зрение», нужно постоянно заботиться об организации зрительной информации. От наивного использования наглядности как средства повышения эффективности урока нужно переходить к формированию стойких визуальных понятий, которые по своему объему, степени обобщенности не уступали бы привычным вербальным понятиям.Но неверным будет абсолютизация роли визуального мышления при обучении математике. Речь должна идти о том, чтобы целенаправленно использовать зрение в развитии мыслительных способностей учащихся, сделать зрительный образ не вспомогательным, а одним из основных методических средств. Большое значение при этом приобретает сочетание визуальных и вербальных приемов. Чтение графика. Ученикам демонстрируется заготовленный заранее график и предлагается перечислить все известные свойства этой функции, задаются вопросы о решении разнообразных уравнений и неравенств, связанных с этим графиком.Чтение графика – это переход от геометрической модели к вербальной, то есть к словесному описанию свойств этой модели, что в процессе обучения не менее важно, чем построение графика на основе исследованных свойств функции. Школьникам, как правило, нравится процедура чтения графика, для них это своеобразная игра в переводчика. Построение графика функции с заданным набором свойств. Например, построить график функции, областью определения которой является отрезок [0; 2], а областью значений – [-2; 2]. Если задавать различные условия, то есть участки монотонности, точки экстремума и т. д., получаются различные варианты решений. Достроение графиков. По заданной части графика достроить его так, чтобы выполнялось требуемое условие или свойство (четность, периодичность) (приложение 2). В школе чаще всего осуществляются аналитический и формальный подходы к изучению функций. Графикам же уделяется недостаточное внимание. Не разработаны упражнения образного (графического) характера на освоение понятий и утверждений. В качестве упражнений на закрепление приводятся в основном функции, заданные аналитически, поэтому упускаются из виду несущественные свойства. Ученики запоминают определения понятий, формулировки свойств формально, без подкрепления графическими примерами. Жаль, но некоторые учителя верят в ненужность использования графиков разрывных функций, думают, что для обучения достаточно приводить в качестве примера только функции непрерывные. Работая по учебникам А.Г.Мордковича, при изучении класса функций большое внимание уделяю изучению кусочных функций – функций, заданных различными формулами на различных участках.Кусочные функции являются во многих случаях математическими моделями реальных ситуаций. Их использование способствует преодолению заблуждения многих учащихся, отождествляющих функцию только с некой формулой, объясняет как в пропедевтическом, так и в мотивационном плане понятие непрерывности. Использование на уроках кусочных функций позволяет сделать систему упражнений более разнообразной (что важно для поддержания интереса), творческой (поскольку появляется возможность предложить учащимся самим конструировать примеры). Отмечу также и воспитательный эффект: умение принять решение, зависящее от правильной ориентировки в условиях; своеобразная эстетика (оценка красоты графиков кусочных функций, предложенных самими учащимися).Готовясь к формированию мысленного образа математического объекта, необходимо в первую очередь создавать у детей адекватное ожидание и привлекать такой наглядно-образный материал, который бы подкреплял это ожидание и не входил с ним в противоречие.Традиционно понятие функции вводится с использованием таких бытовых ситуаций, которые создают неадекватное ожидание. Они формируют неверное направление мысли ученика и такой образ функции, которые затем приводят к многочисленным ошибкам. Обычно такие примеры касаются изменения температуры воздуха и некоторых других непрерывных процессов. В действительности чаще приходится иметь дело с разрывными функциями.Для учеников нужно придумать такие реальные ситуации, которые были бы им понятны и интересны. Описание их с помощью графика должно быть достаточно простым. В то же время первое знакомство с графиками не должно закладывать неправильные представления, которые могут оказаться стойкими и трудно поддающимися исправлению в дальнейшем. Поэтому не рекомендуется приводить только те примеры, которые описываются непрерывными графиками. Необходимо привыкать к разрывным графикам. Первый опыт работы запоминается надолго. И в дальнейшем ребята будут воспринимать разрывные функции как рядовое явление. Практика использования разнообразных задач графического характера показывает, что детям посильны и интересны такие задачи, которые на первый взгляд им не под силу.В приложении 3 я привожу примеры кусочных функций, которые я использую на уроках при изучении различных типов функций.Кусочные функции начинают встречаться при изучении функционального материала уже в 7-м классе, в других классах сюжет с кусочными функциями становится непременным атрибутом учебного процесса (конспект урока по теме «Построение графиков кусочных функций» в приложении 4).Графически, то есть с помощью геометрических построений, уравнения решались еще древними греками и арабами, но только благодаря трудам Р.Декарта геометрический метод решения уравнений стал общепринятым. Ученикам, которым привито то, что можно назвать графической культурой, не составляет труда решать уравнения таким способом. Идея графического метода решения уравнения F(х) = G(х) достаточно проста и понятна: нужно построить графики функций Y = F(х) и Y=G(х) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения. Графический метод позволяет определить число корней уравнения, найти точные значения корней (хотя и редко, но это все-таки удается), угадать значение корня. Это совсем немало.Но есть и очень яркая разновидность графического метода: если одна из функций F(х) и G(х) убывает, а другая возрастает на промежутке X, то на этом промежутке уравнение F(х) = G(х) либо имеет только один корень, либо не имеет корней.В подобных случаях даже графики функций F(х) и G(х) чертить не надо: если установить разную монотонность функций Y = F(х) и Y = G(х) и каким-то образом подобрать один корень уравнения F(х) = G(х), то уравнение полностью решено – данный корень единственный.Есть еще несколько свойств функций, которые могут быть полезны при решении уравнений. Если, например, наибольшее значение функции F(х) на промежутке X равно А и наименьшее значение функции G(х) на промежутке X равно А, то уравнение F(х) = G(х) равносильно на промежутке X системе уравнений F(х)=A, G(х) = A.Нужно приучать школьников к активному применению функционально-графического метода с самого начала изучения темы «Уравнения» (приложение 5).Хочу заметить, что отработать навыки построения кривой в окрестности точки в зависимости от значения производной функции в этой точке надо заранее, до построения графика функции. Я начинаю формировать этот навык с момента изучения материала о геометрическом смысле производной. В работе я сталкиваюсь с проблемой – дети не всегда могут сопоставить график функции и график производной. На уроках я предлагаю некоторые типы заданий, способствующих решению этой проблемы (приложение 6).В 11-м классе изучается тема «Первообразная и интеграл». Центральное место в этом разделе занимает вычисление площади плоских фигур. Основной фигурой считается криволинейная трапеция, то есть фигура, ограниченная в координатной плоскости двумя прямыми х=а, х=b и графиком непрерывных на отрезке [a; b] функций y=f(x), y = g(x). Главное здесь – построение геометрических моделей и снятие соответствующей информации с чертежа, а не вычисление интегралов. Не ради изучения интеграла считаются площади, наоборот, интеграл изучается ради вычисления площадей.Я предлагаю обратить внимание на упражнения, где предлагается вычислить интеграл, опираясь на геометрические соображения (приложение 7).Графо-аналитический метод является достаточно эффективным при решении задач с параметром. В школьном курсе алгебры им не уделяют должного внимания: либо решают простейшие задачи на уроке, либо переносят сложную тему на факультативные занятия. При этом в основном изучают уравнения вида f(x)=a. В результате большинство учащихся не умеют или боятся решать задачи с параметром. Полезно показать, что данный метод делает решение задачи наглядным и доступным. К тому же на экзаменах это одно из наиболее часто встречающихся заданий. Во многих случаях самый рациональный способ решения – графический. Для того чтобы у учащихся не было особых затруднений при их решении, надо научить их видеть алгоритм графического способа решения. На сегодняшний день это умение очень актуально.Когда в ходе преобразований появляется необходимость строить график, мы переходим в плоскость хОа или хОу. В результате задача с параметром сводится к решению обычной задачи. Поэтому, если учащийся владеет графическим методом решения задач, не содержащих параметров, он легко усвоит аналогичный метод решения задач с параметром. Таким образом, графики функций упрощают решение задачи, а иногда заменяют аналитический метод решения более простым и очевидным графическим. Приведу перечень задач, которые могут быть решены с учащимися как на уроках математики, так и на дополнительных занятиях (приложение 8).Мои учащиеся на этапах промежуточного и итогового контроля успешно выполняют задания с графическими моделями, умело представляют информацию с помощью различных графических образов. При изучении графических моделей развиваются воображение, интуиция, логическое мышление, необходимые школьнику в современной жизни.Над данной темой я работаю в течение 10 лет, мною накоплен богатый дидактический материал; подготовлены и прочитаны лекции для учителей математики, слушателей курсов повышения квалификации, проведены мастер-классы на уровне района, города, области, которые получили высокую оценку коллег.Приложения к статье опубликованы на сайте «Учительской газеты» http://www.ug.ru/method_article/693 Марина КЛИКУНЕНЕ, учитель математики средней школы №2 Ярославля, учитель года Ярославской области-2012
Выбор читателей
Комментарии