Букет из желтой кубышки. Необычный – математический

Осень уже вступила в свои права, а ребята все еще пахнут летом. Они зачастую приходят на уроки с цветами, будто просят еще раз вспомнить о тепле и красоте прошедшего лета. Может, им тоже подарить букет? Но необычный – математический.

О таких цветах они вряд ли слышали и уж наверняка никогда не видели. Вооружившись историей, математикой и компьютером соберем букет, прямо на глазах учеников.

Бродя по зеленым лесным тропинкам, многие замечали незамысловатую травку, листочки которой похожи на маленькие пропеллеры. Это кислица обыкновенная (так точно определяют ее ботаники). Ребята называют заячьей капусткой. Кисленькая, сочная, вкусная.

А нельзя ли построить на компьютере очертания листа заячьей капустки? Можно, конечно. Для этого достаточно установить программу Advanced Grapher М.Серпика. Умная машина легко и быстро нарисует и кислицу, и листья кувшинки, и даже прекрасные розы.

Программа проста в работе. В окошко «построение» введем соответствующую формулу и… листок или цветок готов. Радуйся, рассматривай, крути, увеличивай размеры, раскрашивай. Правда, прежде чем ввести готовую формулу, надо хотя бы немного вспомнить основные математические понятия.

Начиная с 5-го класса выполняются построения в декартовой системе координат. Для того чтобы отметить точку на плоскости, надо знать две ее координаты. В 7-м классе приходится строить графики. График – это множество точек плоскости, которое задается формулой зависимости между двумя переменными. Прямая, парабола, гипербола, синусоида. От класса к классу чертятся все новые и новые математические кривые.

Но линии можно строить не только в декартовой, но и в полярной системе координат. В этой системе положение каждой точки на плоскости характеризуется двумя величинами: расстоянием от начала координат и углом поворота от начального луча. Если мы хотим нарисовать с помощью компьютерной программы, например, лист заячьей капустки, то лучше выбрать именно полярную систему координат. В соответствующем окне рабочего поля вводится формула R(a)=4(1+cos(3a) +sin2(3a)), и на экране появляется листочек кислицы ( рис.1). Несмотря на то, что мы пишем уравнение листа в полярных координатах, компьютер все же строит линию в декартовой системе. Жаль, что программа не содержит полярной сетки. Не правда ли, получившийся лист очень похож на настоящий.

Математике и компьютеру под силу и кувшинки, вернее, точные контуры их листьев. По науке правильное название кувшинок – «кубышка желтая». В декартовой системе координат она задается довольно сложным уравнением (х2+у2)3-2ах3(х2 +у2)+(а2-r2)x4=0 и называется овалом Мюнгера. Выбирая числовые значения параметров а и r (от них зависят размеры листа кувшинки ), мы получаем математическую кривую, передающую очертания листа. На рис.2 значения а и r равны 4 и 2 соответственно.