Вот какое письмо… Побежденному учителю от победителя-ученика

В редакцию поступило письмо от учителя математики. Суть его заключается в следующем.
Ученики 9-го класса на 40-минутном уроке выполняли, как пишет учитель, письменную работу. По-видимому, это была контрольная работа по алгебре в ходе итогового повторения.
Одна из учениц, выполнившая, как выразился учитель, “правильно, поясняя каждый элемент 4 заданий”, при выполнении 5-го задания, т.е. при решении уравнения
2/(х-3)=7/(х+1)
допустила ошибку: не указала, что при х=4,6 общий знаменатель дробей (х+1)(х-3) не обращается в нуль. И за это работа была оценена отметкой “4”.
Далее учитель пишет: “Возник спор между коллегами”. Коллеги посчитали, что работа выполнена на “5”. А вот учитель, т.е. автор письма, “с этим не согласен”.
И, обращаясь в редакцию, автор письма просит выслать разъяснение. По-видимому, о справедливости поставленной отметки.

Вряд ли кто-либо вправе дать разъяснение (в правовом смысле этого термина), которым хотелось бы заручиться учителю.
Дело вот в чем. Норм (критериев), утвержденных Министерством образования или же его структурными подразделениями, носящих нормативный характер и позволяющих оценить все виды письменных работ школьников, в настоящее время нет. И быть не может. Так как действующие ныне нормативные правовые акты – Закон РФ “Об образовании” в редакции Федерального закона от 13.01.96 N 12-ФЗ (с последующими изменениями и дополнениями), Положение о Министерстве образования Российской Федерации, утвержденное постановлением Правительства РФ от 24.03.2000 N 258 – такой компетенцией Минобразование России не наделили.
Вряд ли можно надеяться на то, что жесткие нормы, которыми хотелось бы запастись автору письма, будут приняты даже органами управления образованием субъектов Российской Федерации. Или же соответствующими муниципальными органами.
В то же время нормы оценок по математике, которые были приняты в годы существования СССР, используются в учительской практике и сейчас. Кстати, названные нормы в то время прилагались к программам по математике, а программы утверждались Минпросом СССР.
Однако как ныне существующие программы по учебным предметам, так и ранее существовавшие относительно жесткие нормы оценок, в качестве руководства к действию в буквальном смысле слова принимать нельзя, так как теперь они носят лишь рекомендательный характер.
Разработка и утверждение образовательных программ в соответствии с п.6 ст.32 Закона РФ “Об образовании” отнесены к компетенции самого образовательного учреждения (ОУ). И при этом важно, чтобы образовательные программы после соответствующей экспертизы, проведенной установленным порядком, были рекомендованы Минобразованием России для реализации и соответствовали государственным образовательным стандартам.
Будем помнить и другое: в соответствии с традиционно применяемыми нормами оценок одни погрешности, допущенные в данной работе, в зависимости от характера могут считаться ошибкой, другие же – недочетом. Мало того, одна и та же погрешность в отдельных случаях может быть классифицирована как ошибка, а в других случаях – как недочет. Резкую границу между ними провести невозможно.
Пункты 5, 16, 20 статьи 32 Закона “Об образовании” организацию и совершенствование методического обеспечения образовательного процесса, содействие деятельности учительских (педагогических) организаций и методических объединений, осуществление текущего контроля успеваемости относят к компетенции самого ОУ. Значит, проблему, поставленную автором письма, учителя математики той школы, где работает автор письма, вполне компетентно могли бы решить сообща в стенах своей же школы.
Могли, но, как видно из письма, поступившего в редакцию, не сумели, не смогли убедить учителя…
Коли так получилось, то для начала попробуем принять точку зрения педагога, т.е. автора письма, не считая эту точку зрения единственно правильной. И постараемся ответить на вопрос: найдется ли такое уравнение, внешне очень похожее на то, что решала ученица, и в то же время такое, что бы не имело ни единого действительного корня?
Оказывается, его можно придумать.
Например, 3/(2х+5)=7/(4х+10).
Решим это уравнение методом, который бы выбрал, как мне думается, учитель, обратившийся в редакцию.
Перенесем выражение 7/(4х+10) в левую часть уравнения. После приведения левой части к общему знаменателю будем иметь равносильное уравнение:
3(4х+10)-7(2х+5)/(2х+5)(4х+10)=0
Для решения последнего уравнения используем условие равенства дроби нулю (дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля).
3(4х+10)-7(2х+5)=0,
хN-2,5
12х+30-14х-35=0,
хN-2,5
х=-2,5
хN-2,5.
Как видим, при х=-2,5 знаменатель дроби обратится в нуль. Следовательно, наше уравнение корней не имеет. Казалось бы, учитель прав на все сто процентов.
Но…
Проанализируем решение, которое представила ученица. И разберемся, имеется ли в этом решении ошибка. Есть ли повод для сомнения?
Решение ученицы выглядит так:
“Имеем: 2/(х-3)-7/(х+1)=0.
Общий знаменатель дробей:
(х-3)(х+1).
Далее имеем:
2(х+1)-7(х-3)=0,
2х+2-7х+21=0,
-5х=- 23,
х= -23:(-5),
х=4,6″.
Ясно, что корнем уравнения является число 4,6.
Ответ: 4,6.
(Данное решение учитель привел в своем письме, заключив его в кавычки, без всяких изменений).
Однако заметим, что девочка-то мыслит по-другому и вовсе не так, как ее учитель.
Действительно, она, говоря об общем знаменателе дробей, заданные дроби к общему знаменателю не приводит и об уравнении
2(х+1)-7(х-3)/(х-3)(х+1)=0,
равносильном заданному уравнению, не говорит ни слова.
Напротив, ученица подразумевает, что в результате умножения обеих частей уравнения 2/(х-3)=7/(х+1) на выражение (х+1)(х-3), т.е. на общий знаменатель заданных дробей, получается новое уравнение: 2(х+1)-7(х-3)=0, которое является следствием уравнения, заданного условием.
И поскольку множитель, равный общему знаменателю дробей, содержит переменную (неизвестное), то становится возможным появление посторонних корней. А такими корнями могут быть только два числа: 3 и -1, которые являются нулями выражения (х-3)(х+1).
А число 4,6 отлично от чисел 3 и -1.
Потому ученица ограничивается лишь пояснением: “Ясно, что корнем уравнения является число 4,6”.
Последнее пояснение ученицы уж очень краткое, но весьма объемное. Выбирая такой метод исследования, девочка, на мой взгляд, смотрит вперед куда дальше, нежели ее учитель.
Очевидно, она интуитивно чувствует, что источником появления посторонних корней у любого уравнения может оказаться не только расширение области допустимых значений переменной (неизвестного). Возможно, что подобным источником могут служить и иные преобразования. Например, взятие функции от обеих частей уравнения, при котором вовсе не обязательно произойдет расширени области допустимых значений (ОДЗ) заданного уравнения.
А ведь она права!
Например, подобная ситуация складывается при решении уравнения

Единственный корень уравнения-следствия х=0 (а это – число 0), принадлежит ОДЗ заданного уравнения, корнем этого уравнения так и не будет.
И какой же вывод напрашивается? А вот какой.
Учитель и ученица говорят на разных языках.
Учитель, в чьих руках находится судьба детей, словно подойдя к лесу, увидел каждое дерево по отдельности, но не заметил самого главного – леса…
Очень жаль, что УЧИТЕЛЬ (автор письма) не прислушался к голосу своих коллег… И еще более жаль, если он, УЧИТЕЛЬ, несмотря на советы своих коллег, отметку “4” УЧЕНИЦЕ выставил в классный журнал… И если он, УЧИТЕЛЬ, не предотвратил конфликта. И если он, УЧИТЕЛЬ, нанес СВОЕЙ ВОСПИТАННИЦЕ нравственные страдания, которых она не заслуживала.
А хочется верить, что было это как-то по-другому…
Радиф ГИЛЕМХАНОВ,
учитель математики высшей квалификационной категории, почетный работник
общего образования Российской Федерации, ведущий специалист Главного управления Минобороны России