На чтение: ≈ 8 мин.Собрались однажды треугольники и решили выяснить: кто из них главнее всех.
Равносторонний треугольник говорит: “Я самый главный, потому что у меня три оси симметрии. Кто знает, почему я имею столько осей симметрии? (Ответ: Потому что в равностороннем треугольнике биссектрисы являются высотами и медианами). У меня совпадают центры вписанной и описанной окружностей. А вы знаете почему? (Ответ: т.к. центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, центр вписанной окружности – в точке пересечения биссектрис, а у равностороннего треугольника биссектрисы являются еще и серединными перпендикулярами, поэтому центры окружностей совпадают). У меня все углы равны и знаете, сколько градусов содержит каждый угол? (Ответ: 60О.). У меня…”.
“Хватит, хватит хвастаться, – сказал Прямоугольный треугольник, – что хорошего в том, что у тебя все стороны равны? Они у тебя все называются сторонами, а вот у меня для каждой есть свое название. Можете сказать, как они называются? (Ответ: первый катет, второй катет и гипотенуза). Знаете, что у меня один из углов не меняется? Чему он равен? (Ответ: 90О). Может, вам интересно узнать, что сумма двух моих острых углов тоже не меняется? Чему она равна? (Ответ: 900). Кто еще может этим похвастаться? Ну и что ж что центры окружностей у меня не совпадают, зато центр описанной окружности у меня лежит в особой точке. Скажите, где лежит центр описанной около прямоугольного треугольника окружности? (Ответ: На середине гипотенузы). А вот если два равных прямоугольных треугольника приложить друг к другу гипотенузами, то какая фигура может получиться? (Ответ: Прямоугольник). Правда, осей симметрии у меня поменьше, а если точнее, ось симметрии может быть только в одном случае. Можете угадать, в каком случае я буду иметь ось симметрии? И сколько осей у меня может быть? (Ответ: Если катеты равны. Только одна)”.
“Ох, ох, – сказал Тупоугольный треугольник, – какие вы все хвастливые. А обо мне забыли? Я тоже что-то значу! Ведь центр описанной около меня окружности называется особой точкой, и знаете ли вы, где она располагается? (Ответ: За пределами треугольника). И окружность у меня самая большая. И ось симметрии у меня есть. Можете ли вы сказать, какое условие должно выполняться, чтобы в тупоугольном треугольнике была ось симметрии? (Ответ: Треугольник должен быть равнобедренным). Так что, друзья, нам совсем не нужно доказывать, кто из нас главнее, ведь все мы обладаем признаками равенства треугольников. Может, кто-то забыл эти признаки? Назовите все три признака равенства треугольников. Каждый из нас, треугольников, может быть равнобедренным. Какие треугольники называются равнобедренными? (Ответ: У которого две стороны равны). А каким замечательным свойством обладает равнобедренный треугольник! Кто может сформулировать свойства углов равнобедренного треугольник? (Ответ: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны). А если рассмотреть медиану равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, то можно просто восхититься ее свойствам. Вы помните их? (Ответ: В равнобедренном треугольнике медиана является и биссектрисой, и высотой).
Так что, дорогие мои, у нас очень много общего, мы обладаем общими свойствами и подчиняемся общим законам. У всех у нас центры описанной и вписанной окружностей называются особыми точками, а где они располагаются – не столь важно”.
Выслушали треугольники эту пламенную речь и задумались: действительно, все они нужны, все они важны и в природе каждому есть место.
“Сказка – ложь, да в ней намек, добрым молодцам – урок”.
А теперь давайте порешаем задачи.
Задачи к уроку
Задача 1: Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 600. Найдем углы треугольника.
Решение:
Дано:
АВС – равноб.
Р В = 600
Найти: Р А и Р С.
Решение:
Т.к. АВС – равнобедренный,
то Р А = Р В (как углы при основании).
Р А + Р В + Р С = 1800, Р А + Р С = 1800 – 600 = 1200
Р А = 1200 : 2 = 600.
Ответ: Р А = Р С = 600.
Задача 2: Центры описанной около треугольника окружности и вписанной в треугольник совпадают. Определите вид треугольника.
Решение: Т.к. центры окружностей совпадают, а мы знаем, что центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, а центр вписанной окружности – в точке пересечения биссектрис, то при совпадении центров совпадают серединные перпендикуляры с биссектрисами. Это возможно только в равностороннем треугольнике.
Ответ: Треугольник равносторонний.
Задача 3: В равнобедренном треугольнике один из углов равен 500. Найдите остальные углы. Сколько решений имеет задача?
Решение:
Дано:
АВС – равноб.
1) Р А = 500 (угол при основании)
2) Р В = 500 (угол при вершине)
Найти:
1) Р В, Р С.
2) Р А и Р С.
Решение:
1) Если Р А = 500, то и Р С = 500 (углы при основании), тогда Р В = 1800 – (Р А + Р С)
Р В = 1800 – 1000 = 800.
Ответ: Р С = 500, Р В = 800.
2) Если < В = 500 (угол при вершине), то т.к. Р А = Р С (углы при основании)
Р А = 1/2 (1800 – 500) = 1/2 . 1300 = 650.
Ответ: Р А = Р С = 650. Задача имеет два решения..
Задача 4: Периметр треугольника равен 30 см. Определить стороны этого треугольника, если известно, что стороны пропорциональны числам 2; 3 и 5.
Решение:
Дано:
АВС.
РАВС = 30 см.
АВ = 2k, ВС = 3k,
АС = 5k.
Найти: АВ, ВС, АС.
Решение:
Р = АВ + ВС + АС, Р = 2k + 3k + 5k = 30, 10k = 30, k = 3.
АВ = 2 . 3 = 6(см), ВС = 3k = 3 . 3 = 9(см), АС = 5k = 5 . 3 = 15(см).
Ответ: АВ = 6 см, ВС = 9 см, АС = 15 см, но АВС не существует, т.к. АВ + ВС = АС.
Таисия БАТАЕВА,
учитель высшей категории, руководитель методического объединения учителей математики
с. Юрьевка,
Губкинский район,
Белгородская область
Выбор читателей
Комментарии