Тривиальные прятки. Задачный курс геометрии

Цель педагогической деятельности – развитие теоретического мышления и математической культуры учащихся, создание целостной системы работы над геометрической задачей. Результатом деятельности является формирование учебной самостоятельности учащихся, которая выражается в их способности предъявлять собственный заказ на образование, ставить перед собой учебные задачи, планировать этапы и пути их реализации и рефлексировать результаты собственной деятельности. Условиями реализации данных целей являются наличие концепции, системный подход.

2. Система работы над геометрической задачей должна адекватно соотноситься с нижеследующими принципами.

Принцип «внутренней» сформированности дедуктивного способа рассуждения подразумевает приобретение учащимися геометрических знаний в процессе относительно самостоятельного построения курса геометрии на основе аксиоматического метода. Это даст учащимся, с одной стороны, четкое представление о структуре школьного курса геометрии, осознание дедуктивности его строения, с другой стороны, позволит свободно ориентироваться в теоретическом материале, устанавливать взаимосвязи между различными геометрическими понятиями и теоремами.

Этот принцип может быть реализован на уроках геометрии, если включать учащихся в работу по классификации геометрических понятий по мере прохождения нового материала. Таким образом, идея дедуктивности геометрии не задается «сверху» учителем, а осознается «изнутри» самими учащимися.

Для наиболее эффективной реализации этого принципа необходимо в 5-6-х классах дать представление о геометрии как о дедуктивной науке.

Принцип «внутренней» систематизации знаний учащихся в процессе установления взаимосвязи между абстрактными понятиями при оперировании конкретными фактами, то есть систематизация теоретических знаний через решение практических задач.

Систематизация знаний эффективнее пройдет на «задачном уровне» за счет того, что в одной задаче могут пересекаться сразу несколько геометрических понятий, фактов, теорем, взаимосвязь между которыми учащимися не осознавалась.

Принцип пошаговости в формировании навыков решения задач и навыков построения логических цепочек доказательства.

Начиная изучать геометрию, учащиеся способны осознать необходимость доказательства, однако осуществлению доказательства им только предстоит научиться. Современная методика решает эту проблему, предоставляя учащимся образцы (алгоритмы) доказательства. Не оспаривая полезность такого подхода на начальном этапе, необходимо отметить, что в дальнейшем недостаточно будет задавать детям образцы. Более того, работая по образцу, учащийся не всегда отслеживает все шаги доказательства или решения, следовательно, нарушается принцип непрерывности в формировании навыка.

Решение задачи – это цепочка синтетических рассуждений, носящих индуктивный характер, в то время как поиск решения (планирование) – цепочка аналитических рассуждений, носящих дедуктивный характер. Синтез не дает осознания теории и не работает на формирование осознанного навыка действия. Именно поэтому неоднократное решение задач не учит решать задачи, так как не формирует в полной мере осознанного способа действия. Но в то же время составление задач – это аналитический процесс, следовательно, процесс составления задач способен оказывать активное влияние на формирование способов решения задач и осуществление доказательства.

Принцип учебной деятельности в изучении геометрии вообще и формировании способов решения задач, проведения доказательств, а также систематизации геометрических знаний в частности.

Соблюдение этого принципа требует соотнесения технологии преподавания предмета с основными положениями теории учебной деятельности, согласно которым учащийся становится субъектом учения, следовательно, способен сам инициировать познавательную деятельность.

Реализация этого принципа в геометрии предполагает в методическом плане:

а) выделение обобщенных способов действия при изучении и систематизации теоретического материала, формировании навыков решения задач и построения доказательств; организацию познавательной жизни детей в соответствии с выделенными способами;

б) выстраивание предметного курса в соответствии с выделенными способами действия: ряд практических задач выводит детей на постановку новых учебных задач как объектов, обеспечивающих непрерывность и последовательность построения и изучения геометрии.

Однако не стоит забывать и о том, что изучение систематического курса геометрии приходится на подростковый возраст. Именно в этом возрасте учебная деятельность перестает быть ведущей, на смену ей должна прийти проектная.

В статье «Десяти-двенадцатилетние школьники: «ничья земля» в возрастной психологии» Г.Н. Цукерман говорит о том, что одним из самых важных для ребенка в подростковом возрасте становится действие идентификации – сравнение себя с окружающими сверстниками. То есть на первый план выходят личностные мотивы поведения и деятельности. Подросток более чем когда-либо, нуждается в успехе и признании как со стороны сверстников, так и со стороны взрослых. В связи с этим необходимо включить подростка в такую деятельность, где он сможет, развивая свою познавательную сферу, добиваться и определенного личностного роста, и социального статуса. Видом деятельности, адекватным этой задаче, является исследовательская, которая реализуется в форме проектов. В частности, подросток может проектировать собственную систему геометрических задач, соответствующую уровню продвижения ученика в предмете и его индивидуальным особенностям.

Ядром системы работы над геометрической задачей, учитывающей вышеописанные принципы, должен стать не обобщенный способ решения геометрических задач, а способ составления задач, организованный специальным образом.

3. Метод конструирования способа решения геометрических задач и разработанную методику обратного поэтапного формирования способа действия можно отнести к эвристическим и поисковым методам. Опишем суть метода.

Одна из главных трудностей, с которой сталкивается ученик 7-го класса при изучении курса геометрии, – самостоятельное решение геометрической задачи. Преодолеть эту трудность можно, научив ребенка сначала составлять свои собственные задачи. Психолого-педагогические, методические и другие доказательства этой идеи изложены в книге Р.В.Селюкова «Конструирование способа решения геометрических задач: методика обратного поэтапного способа действия». Остановимся лишь на основных точках опоры теоретического плана.

Как же научить детей составлять задачи? Сначала ответим на другой вопрос: «Как устроено решение задачи?».

Будем считать, что решение задачи есть обоснованная цепочка замен одних данных другими, причем в качестве обоснования могут использоваться аксиомы, определения, теоремы, следствия. Произведя такую замену данных, мы получаем новую задачу. Таким образом, процесс решения задачи есть переход от более сложной задачи к менее сложной, а в конце пути мы приходим к некоторой тривиальной задаче, которая решается путем прямого применения какой-то одной теоремы (свойства, признака).

С чего же необходимо начинать составление своей собственной задачи? Конечно же, с тривиальной задачи!

Примером тривиальной задачи может служить задача, в которой требуется доказать равенство двух треугольников, если две стороны и угол между ними в одном треугольнике соответственно равны двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике, или задача, в которой требуется доказать параллельность двух прямых, если известно, что при пересечении этих прямых секущей накрест лежащие углы равны.

Итак, тривиальная задача найдена. «Перепрячем» одно или несколько данных с помощью какой-либо теоремы (определения, свойства). При этом получаем более сложную задачу, для решения которой необходимо применить выбранную ранее теорему (определение, свойство) и вновь прийти к тривиальной задаче, решение которой уже не представляет труда.

Исходя из данного способа составления задачи, можно отнести все геометрические задачи к одной из трех конструкций:

1. Задачи, составленные путем многократного «перепрятывания» одного данного или его производного (линейные задачи) (см. схему 1).

(Здесь и далее: Тi – теорема, Di – данное задачи, Zi – задача).

Решение задачи:

2. Задачи, полученные путем одновременного «перепрятывания» сразу нескольких данных (разветвленные задачи) (см. схему 2).

Решение задачи Z4:

3. Задачи, полученные путем комбинаций первого и второго способов (комбинированная задача).

Опишем в общем виде способ составления целой системы задач (на примере линейных задач).

1) После изучения нового теоретического материала в теме выбирается тривиальная задача на непосредственное применение новой теории. (Например, в теме «Первый признак равенства треугольников» выбирается задача о треугольниках, в которых соответствующие две стороны и угол между ними равны. Требуется доказать равенство этих треугольников).

2) Одно из данных этой задачи а1; а2; а3;…;аn, а именно аk (k>n) заменяется другим данным bk (данное bk преобразует задачу, изменяя или не изменяя основной чертеж) с помощью какой-либо теоремы Т1 из этой же или другой темы так, чтобы при решении вновь полученной задачи bk могло быть заменено на ak, и мы вновь пришли к исходной задаче.

Пример.

Исходная задача: «Даны треугольники АВС и А1В1С1. Известно, что АВ=А1В1; АС=А1С1; угол А равен углу А1. Доказать, что треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1».

Заменим данное «угол А равен углу А1» с помощью теоремы о смежных углах на данное «угол КАВ равен углу К1В1С1» (см. рис.1). Получаем производную задачу: «Даны треугольники АВС и А1В1С1, АВ=А1В1, АС=А1С1, а угол КАВ равен углу К1В1С1. Доказать, что треугольники АВС и А1В1С1 равны».

Решая производную задачу, применяем теорему о смежных углах, заменяем данное «угол КАВ равен углу К1А1В1» данным «угол А равен углу А1» и приходим к исходной задаче, решение которой тривиально.

3) По этому же принципу выстраиваем с помощью теорем Ti,j серию задач первого уровня сложности Zi,j. (См. схему 3).

Затем с помощью теорем Т2,1 выстраиваем систему задач Z2,m второго уровня сложности. (См. схему 4).

Необходимо отметить, что для составления задачи второго уровня может дважды применяться одна и та же теорема.

4) Таким образом, выстраивается система задач [Z], сводящихся к тривиальной задаче Z0.

Чем же характеризуются задачи одного уровня? Достаточно посмотреть на структурную схему системы задач, чтобы отметить, что все задачи Z1,I (задачи первого уровня) имеют один шаг решения, чтобы свестись к тривиальной задаче. Соответственно все задачи Z2,I (задачи второго уровня) имеют два шага решения, чтобы свестись к тривиальной задаче.

Очевидно, что учащиеся, овладевшие данным способом составления «своих» задач, наверняка смогут простраивать цепочки аналитических рассуждений на этапе поиска путей решения «чужой» задачи.

Составляя задачу Z’2,1, ученик мог идти одним из следующих путей рассуждения:

Решение же задачи Z’2,1 пойдет в обратном порядке:

4. Формы педагогической деятельности.

Исходя из того, что данная методика не может быть просто транслирована учащимся, а должна быть освоена ими в процессе индивидуальной или совместной (парной или групповой) деятельности, обучение должно способствовать становлению субъектной позиции. Формирование такой позиции возможно через включение учащихся в исследовательскую деятельность. Это тем более важно, если учесть, что исследовательская деятельность, организованная в форме проектов, наиболее характерна для подросткового возраста как этапа перехода от учебной деятельности (начальная школа и младшие подростки) к освоению элементов профессиональной деятельности (старшая школа).

Младший подростковый возраст.

На первых порах изучения геометрии трудно еще говорить о собственно исследовательской деятельности. Зато у большинства учащихся сформирована учебная деятельность. Поэтому технологию построения и организации работы на уроках можно и нужно строить на принципах теории учебной деятельности.

Пользуясь способом построения собственных задач, учащиеся могут выйти самостоятельно на задачу (или она может быть подставлена учителем как продолжение чьей-либо цепочки задач), для решения которой недостаточно применить изученный и освоенный способ, геометрическое понятие или утверждение (проблемная задача). То есть методика способна вовлечь учащихся в работу по продуцированию (пусть на начальных этапах спонтанно и случайно) задачи, решение которой требует нового, лежащего в зоне ближайшего развития учащегося знания. Этот факт позволяет утверждать, что, применяя методику обратного поэтапного формирования способа решения геометрических задач, мы выходим на возможность построения процесса обучения геометрии через задачи.

Итак, проблемная задача поставлена. К моменту первого знакомства учащихся с ее условием она представляет собой чисто практическую задачу. В процессе анализа условия и поиска путей решения учащиеся начинают осознавать, что именно мешает решить задачу (чего не хватает для решения). Какое данное «спрятал» автор задачи? Как и с помощью какого знания он смог это сделать?

Отвечая на такие вопросы, учащиеся формулируют учебную задачу. Она существенно отличается от той практической задачи, которую дети анализировали до этого, так как она носит теоретический характер.

Решая учебную задачу (в группе, парах или индивидуально), учащиеся фиксируют найденный способ, соотношение, признак, свойство или определение в модельной форме. Далее происходит рефлексия моделей, составленных учащимися. Анализируются существенные и несущественные признаки, исправляются неточности, составляется обобщенная модель или несколько вариантов представления модели. Как только модель составлена, необходимо включить учащихся в деятельность по контролю за работой способа (соотношения, признака, свойства или определения) и начать формировать навыки решения задач на применение этой модели. Специфика геометрического материала такова, что решение задач на прямое применение полученной модели может быть сведено лишь к решению тривиальных задач или задач, в решении которых многократно применяется один и тот же способ (соотношение, признак, свойство или определение). Однако закрепление навыка применения вновь полученной модели предусматривает включение заложенных в ней соотношений в решение задач на применение и других моделей. Более того, именно такой способ позволяет учащимся вырабатывать и автоматизировать навык применения и новых, и старых моделей к решению задач и позволяет более эффективно систематизировать их знания. Однако комбинации таких включений моделей в рамки одной задачи традиционно задаются учебником, а система решаемых задач подбирается учителем, порой без всякой закономерности. Методика обратного поэтапного формирования способа действия позволяет включить самих учащихся в деятельность по построению системы задач на применение новой модели, причем каждая задача будет адекватна и степени продвижения учащегося в предмете, и его индивидуальному видению нового и пройденного материала.

Моделирование системы задач может происходить как в том направлении, которое выбрал сам учащийся, так и в направлении, которое задается извне (напарником, группой, «заказчиком» в лице одноклассника, который хотел бы поупражняться в задачах определенного типа, или учителем, которому «необходимо» составить систему заданий для другого класса или другого ученика).

Таким образом, учащиеся становятся в субъектную позицию, самостоятельно включаясь в познавательную деятельность, регулируя уровень сложности и простраивая индивидуальную образовательную траекторию в рамках урока, темы, целого тематического раздела.

Однобокости, которая неминуемо возникает при составлении системы задач одним и тем же человеком, можно избежать, поручив разработку системы заданий целой авторской группе или назначив экспертов разнообразных систем задач из учеников того же или другого класса. Отметим, что однобокости позволит избежать и включение в создаваемые учащимися цепочки задач из учебников геометрии, и задания на развертывание всей цепочки задач по известной одной задаче, стоящей где-то в середине этой цепочки (тогда верхний предел этой цепочки ограничивается задаваемым сверху минимумом последующих шагов), или по известному центральному и конечному звену (цепочки с пропусками).

Цепочки с пропусками могут быть также формой презентации учащимся новой проблемной задачи.

Исходя из вышеизложенных приемов и способов организации уроков, выделим основные этапы уроков и обозначим цель каждого этапа.

1. Этап постановки учебной задачи.

Цель – анализ проблемной задачи, выделение задачи теоретического характера (учебной) и фиксация в знаковой форме для обозначения проблемы и цели дальнейшей работы.

2. Этап моделирования.

Цель – решение и закрепление в знаковой форме способов и результатов решения поставленной учебной задачи. Контроль за соответствием выработанной модели поставленной цели и первичная апробация модели. Обобщение и уточнение модели в процессе индивидуального, парного, группового и межгруппового анализа выработанных моделей.

3. Этап контроля.

Цель – формирование навыков контроля в процессе составления и решения задач.

4. Этап оценки.

Как правило, этот этап осуществляется одновременно с этапом контроля. Происходит как оценка сформированности навыка работы по новой модели, так и оценка границ применимости данной модели к решению различных геометрических задач.

Основная технологическая цепочка при изучении геометрического материала с использованием методики обратного поэтапного формирования способа решения геометрических задач.

ПУЗ – постановка учебной задачи, М – моделирование.

Поясним данную схему в терминах и обозначениях теоретического описания методики обратного поэтапного формирования способов решения геометрических задач. (См. схему 5).

1. Исходя из основной технологической цепочки, постановке учебной задачи предшествует проблемная практическая задача Z*1, решение которой требует приобретения новых знаний. На этом этапе учащиеся производят оценку задачи Z*1 с позиций:

а) сходства и отличия задачи Z*1 от решавшихся раннее задач;

б) попытки решения задачи Z*1 на базе имеющихся знаний;

в) отделения области знания от области незнания.

2. На этапах постановки учебной задачи и моделирования учащиеся ставят перед собой конкретную теоретическую проблему, решают ее и фиксируют это решение в виде схемы или модели способа действия.

3. На этапе контроля учащиеся начинают свою работу с решения задачи Z*1 и выделения тривиальной задачи Z0, рассчитанных на непосредственное применение только что «открытой» теоремы, свойства, утверждения и т.д. Затем идет составление систем задач «пошаговым методом» и их решение. В процессе составления и решения таких задач учащиеся самостоятельно или с помощью учителя выходят на новую проблемную задачу Z*2 (или сразу несколько таких задач). В этом случае необходимо зафиксировать все, а работать над одной, решение которой:

а) лежит в зоне ближайшего развития детей;

б) не противоречит логике построения геометрии.

Затем учащиеся вновь переходят к этапу оценки.

Таким образом, изучение курса геометрии будет идти по спирали, что обеспечит:

– более прочное формирование учебной деятельности учащихся, а также обеспечит подходящий режим работы для детей с уже сформированной учебной деятельностью;

– непрерывность процесса формирования геометрического мышления учащихся;

– выход на уровень осознанного понимания дедуктивной идеи геометрии;

– cистематические знания учащихся.

Типология уроков естественным образом накладывается на порядок осуществления учебных действий: целеполагание (постановка учебной задачи), моделирование, контроль, оценка. (См. схему 6).

На схеме – типология уроков:

1. Урок постановки учебной задачи и моделирования.

2. Урок моделирования и контроля.

3. Урок контроля и оценки.

4. Урок оценки и постановки учебной задачи.

Старший подростковый возраст.

Старший подростковый возраст характеризуется переходом учащихся от учебной деятельности к проектной. Одним из таких проектов может стать создание собственного задачника (в случае, когда учащиеся составляют только системы задач по различным темам) или собственного учебника (в случае отслеживания и отбора учащимися систем задач, выводящих на постановку новых учебных задач).

В рамках такого «глобального» проекта можно выделить ряд подпроектов:

Мини-реферат, в котором знания по изучаемой теме углубляются и расширяются.

Дидактические сказки (действующие лица – математические понятия, а сюжет раскрывает содержание, объем этих понятий и их взаимосвязь с другими понятиями).

Сравнительный анализ изложения изучаемой темы в различных источниках (учебники, учебные пособия, статьи, научная литература).

Контрольные и тестовые задания для проверки уровня владения изучаемым материалом.

Подготовка, редактирование и рецензирование систем задач по изучаемой теме.

Отметим, что методика обратного поэтапного формирования способа действия на уроках геометрии позволяет учащимся не просто активно включаться в изучение теоретического материала и его отработку на практических задачах, но и способствует проявлению, формированию исследовательской (субъектной) позиции. Поэтому, применяя методику обратного поэтапного формирования способа действия, наряду с традиционно признанными формами организации уроков геометрии (лекции, практические и лабораторные работы, уроки решения задач, тематические зачеты, семинары, коллоквиумы и др.) необходимо использовать и другие формы:

содержательный штурм – накопление и рефлексия идей;

совместный поиск – соисследование (соискание) в рамках наиболее импонирующей идеи, возникшей в результате содержательного штурма;

тренинг – форма закрепления определенного вида (способа) действия;

публичная защита индивидуального (группового) проекта как форма становления позиции исследователя;

презентации и мастер-классы – форма системного представления (развертывания) индивидуальных (групповых) проектных исследований, конкретных разработок;

параллельное исследование – относительно изолированное исследование и разработка одной и той же идеи несколькими участниками учебного процесса (отдельный ученик, пара, группа) с последующим анализом и сопоставлением этих результатов в рамках единой модели (единого проекта);

параллельное рецензирование (или саморецензирование) материалов – рефлексия чужих (собственных) проектов с последующим объединением полученных рецензий в обобщенное экспертное заключение.

Формы проведения занятий должны быть адекватны решаемым на этих занятиях задачам и уровню сформированности навыков проведения самостоятельных исследований.

Итак, для более активного становления навыков с применением методики обратного поэтапного формирования способа действия необходимо включать учащихся в исследовательскую деятельность по проектированию собственных систем задач.

Наиболее успешно этот процесс может быть осуществлен в групповом (парном) взаимодействии, потому что:

1) члены группы (пары) взаимно дополняют друг друга в процессе разворачивания исследовательской деятельности во внешнем плане;

2) ребята перенимают наиболее удобный (в силу индивидуальных особенностей) способ действия у другого члена группы (пары).

Таким образом, на начальном этапе на занятиях должны преобладать коммуникации типа «Группа ® Отдельный субъект ® Группа». [Пара ® Отдельный субъект ® Пара].

В процессе становления исследовательской позиции учащегося наступает такой момент, когда он способен действовать относительно самостоятельно. С этого времени групповая (парная) форма организации занятий должна быть перестроена таким образом, чтобы не столько помогать формированию исследовательской деятельности учащегося, сколько способствовать созданию содержательного конфликта, проблемной ситуации, многополярности гипотез и подходов к решению поставленных проблем и достижению намеченной цели.

В этом случае предпочтительнее другая конфигурация участников образовательного процесса: «Отдельный субъект ® Группа ® Отдельный субъект ® Группа» [Отдельный субъект ® Пара ® Отдельный субъект ® Пара].

Отдельно остановимся на формах оценивания деятельности учащихся. Специфика предмета геометрии такова, что даже в процессе решения одной геометрической задачи учащийся должен включаться в поисковую, исследовательскую деятельность (анализ условия задачи, поиск путей ее решения, исследование вопросов существования различных решений задачи, оценка эффективности выбранных способов и др.) и одновременно быть усидчивым и точным исполнителем каждого этапа решения задачи.

Традиционно учащегося оценивает учитель и, как правило, не разделяет в оценке поисково-исследовательскую и исполнительскую деятельность. С точки зрения деятельностной педагогики действие оценки невозможно без включения учащихся в самостоятельные оценочные действия. На практике зачастую этот факт игнорируется, а содержательная самооценка деятельности подменяется «безликой» и малосодержательной отметкой учителя, хотя, конечно, свою отметку учитель, как правило, поясняет и мотивирует. Но все равно – это его отметка, и она, как правило, не позволяет ученику сорентировать себя на самоизменение, коррекцию своих знаний, отработку умений, навыков.

Однако для успешного освоения предмета учащийся должен одинаково хорошо уметь самостоятельно различать и осуществлять поисковую и исполнительскую деятельность и оценивать себя. («Сегодня мне хорошо удавалось реализовывать «чужой» путь решения, но у меня проблема с тем, что я не могу сам найти путь решения задачи», или: «Сегодня мне особенно хорошо удавалось находить путь решения задачи, но когда я начинал ее решать, у меня не всегда все получалось» и т.д. ).

Исполнительская деятельность учащихся, как правило, алгоритмична и отрабатывается в соответствии с выведенной моделью нового способа решения, доказательства. В этом случае, работая по модели, учащийся на каждом шагу контролирует свои действия, обращаясь к выведенному алгоритму. С помощью алгоритма учащиеся могут оценить свою работу, выделив, какие действия они могут выполнять легко, а какие вызывают трудности, требуют специальной отработки. Осознав свои трудности, учащиеся сами могут планировать свою дальнейшую работу по изучаемой теме и могут выполнить эту работу самостоятельно, например, дома. В этом случае учителю необходимо предусмотреть дифференцированное домашнее задание.

Включая учащихся в оценивание поисковой компоненты деятельности, необходимо учитывать следующие факторы:

Пропорциональное развитие поисковой и исполнительской деятельности в паре является залогом дальнейшей успешности и саморазвития учащихся. Таким образом, каждый учащийся должен уметь оценивать свою исполнительскую и поисковую деятельность. Учащийся должен осознавать, что наиболее ценны знания, добытые в результате собственной поисковой деятельности (ибо они дают общую «картину» способа, понятия), но для систематизации, закрепления новых знаний и умений необходима их четкая отработка, воплощаемая, как правило, не только в исследовательской деятельности, но и в деятельности исполнительного характера.

Пропорционально развитые поисковая и исполнительская компоненты деятельности учащихся есть идеальная характеристика, присущая одаренным детям (креативность). Однако в реальной практике мы чаще всего имеем дело либо с ярко выраженными эвристами, которые «недорабатывают» как исполнители, либо с исполнителями, у которых низкая способность к генерированию идей, способов и планов действия. Тем не менее необходимо стремиться к тому, чтобы в результате учебно-исследовательской деятельности учащихся создавался баланс в умении осуществлять деятельность поискового и исполнительского характера.

Методика обратного поэтапного формирования способа действия может послужить способом создания такого баланса. Включая учащихся в деятельность по созданию систем задач, мы, с одной стороны, стимулируем их поисковую активность, но, с другой стороны, эта методика активизирует попутно и исполнительскую активность учащихся (ребенок, двигаясь от тривиальной задачи, решение которой он хорошо знает, усложняет ее каждый раз на один шаг, прокручивая, пусть даже только мысленно, все решение «новой» задачи).

Конкретных механизмов самооценивания учащихся на уроках геометрии при работе с методикой обратного поэтапного формирования навыков решения геометрических задач может быть множество, главное, чтобы техника оценивания раскрывала не только количественные характеристики (составлено 5 задач), хотя это тоже важно, но и качественные:

разнообразные теоретические основания для преобразования тривиальной или любой последующей задачи;

оптимизация данных и чертежа;

логическая последовательность и непрерывность выстраиваемых цепочек задач;

оригинальность в компоновке и построении таких цепочек и т.д.

Оценивая составленную систему задач, учащийся обязательно выделит обе составляющие своей деятельности: и поисковую, и исполнительскую, так как в процессе составления задач они тесно переплетались и взаимообусловливались. Если учащийся еще не отработал технику решения задач определенного уровня, то, как правило, он будет составлять либо разветвленные задачи, исследуя и варьируя все данные, составляющие основу нового понятия, либо линейные задачи, содержащие не более двух шагов в решении. Накопление опыта составления (а следовательно, и решения) таких задач позволит учащимся постепенно перейти на качественно новую ступень (линейные многошаговые задачи или комбинированные задачи). Но пока такого опыта не накопилось, учащийся может четко отследить, почему он не продвигается дальше по цепочке задач и что ему нужно отработать для того, чтобы перейти на более высокий уровень составления задач. В данном случае глубина и качество владения новым понятием могут быть измерены длиной и разветвленностью системы составленных (а следовательно, и решенных) задач.

Лариса СЕЛЮКОВА, учитель математики и физики гимназии «Дидакт», г. Заречный Пензенской области, финалист конкурса «Учитель года России-2003»