Мелочи, на которых все держится, или Почему дети ненавидят математику

На уроках математики квадратные уравнения решаются десятками и сотнями. Однако мало кто отдает себе отчет, что стандартное, приводящееся во всех учебниках решение квадратных уравнений и даже стандартная запись его с логической точки зрения совершенно неудовлетворительны.

Возьмем обычное квадратное уравнение, ну например: х² – 5х + 6 = 0. Пользуясь обычными формулами или теоремой Виета, ученик сразу же напишет: х1 = 2, х2 = 3. И все хорошо, все нормально, но только вот другой ученик напишет х1 = 3, х2 = 2, и тоже мы рады – верное решение! Так какое же ИЗ ДВУХ решений верное? Мы говорим: оба правильные, потому что они ОДИНАКОВЫЕ (вопреки очевидному). Я согласен, что оба решения “верные” и “одинаковые”, но где обсуждение КРИТЕРИЯ, определяющего, какие решения считать одинаковыми, какие – разными?
Математически верная запись решения уравнения должна выглядеть, на мой взгляд, так: “х принимает значения из множества {2; 3}”. Запись с индексированными х неверна потому, что задает порядок на множестве корней, которого нет.
Но вот беда: в наше время учителя просто боятся понятия “множество”, так как после понтрягинской “контрреволюции” в середине семидесятых понятие “множество” исчезло из школьной математики, может быть, не совсем, но во всяком случае стало “знаковым”, причем с отрицательным знаком, и его всячески пытались и пытаются избегать.
Сейчас некоторые учителя предлагают записывать решения квадратного уравнения так:
[ х = 2,
х = 3.
Эта запись решения хороша тем, что используется скобка “ИЛИ”. Разумеется, в этом способе абсурдно индексировать х.
Вернемся же к квадратным уравнениям и посмотрим, в чем истоки проблемы.
Передо мной два учебника по математике-8, оба рекомендованы Министерством образования, оба – победители конкурса учебников 1988 года (первое и второе место).
Начну с учебника Ш.А.Алимова и др. под научным руководством академика А.Н.Тихонова. Доказательство (вывод) формулы для нахождения корней квадратного уравнения в общем виде здесь опирается на рассмотрение эквивалентного ему уравнения:

Школьник сразу должен сделать вывод, каковы же здесь формулы для корней (в учебнике ниже они приводятся без каких-либо промежуточных указаний). Предполагается, следовательно, что он “в уме” перенесет правую часть в левую сторону и разложит получившееся выражение по формуле разности квадратов. Представляете, какой должен быть интеллект у бедного ученика!
А некоторые скажут: это ведь очевидно, что если А2 = В2, то либо А = В, либо А = -В. Да, это так… когда А и В – числа, а вот когда формулы – вовсе это и не очевидно. Здесь уместно вспомнить историю, которую рассказывал математик Литлвуд. На лекции один профессор произнес: “Это утверждение очевидно”. Потом задумался и застыл с мелом в руке на несколько минут. Удивленная аудитория ждала, что будет дальше. Профессор вдруг вышел из кабинета, затем вернулся, подошел к доске и сказал: “Это действительно очевидно”. И, как ни в чем не бывало, продолжал лекцию. Пока мы кормим детей “очевидностями Литлвуда”, они будут математику ненавидеть.
Конечно, есть тут, в учебнике, много самых разнообразных примеров. Умный ребенок, вероятно, опираясь на них, смог бы восстановить подробности, но лучше бы авторы потрудились дать ПОДРОБНОЕ доказательство сами. Зачем искушать судьбу?
Раскроем теперь учебник “Алгебра” под ред. С.А.Теляковского, и что же мы видим? Переход от формулы

к формулам корней тут вообще без каких-либо пояснений! И все – разбирайтесь сами. Это уже даже не “очевидно”, а полное отсутствие аргументации. (Зачем, мол, вам это доказывать? Все равно не поймете!).
В “современной” школьной математике модно просто не приводить доказательств – одни лишь алгоритмы действий без их осмысления. Приводится куцее доказательство (как вот это), масса примеров – и все. И это выдается за математику, ту самую великую и прекрасную науку, где царствует не бездумное усвоение кем-то заданных правил, а ЗДРАВОЕ СОМНЕНИЕ и НЕОБХОДИМОСТЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ. Доказательства – душа математики – приучают ребенка думать, а НЕ ДОВЕРЯТЬ ВСЕМУ, ЧТО НЕ ДОКАЗАНО. И ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМИ ОТСТАИВАТЬ СВОЮ ТОЧКУ ЗРЕНИЯ. И в этом не только культурный, но и гражданский смысл.
Вернемся к методике. В двух рассмотренных учебниках темы графического решения квадратного уравнения и графика квадратичной функции отделены от “вывода” формул решения (“вывода” в кавычках, ибо, как видим, настоящих доказательств нет ни тут, ни там). Поскольку могут сказать: “Легко ругать, трудно предлагать”, то вот мое ПРЕДЛОЖЕНИЕ: а не соединить ли вывод формул и графики?
Получится единая тема – “Решение квадратного уравнения”. Предположим, про графики функций дети кое-что слышали, знают, например, что происходит с графиком, если f(х) заменить на f(х) + А или f(х + В). Сначала строим график параболы у = ах2 и ставим задачу – построить график у = ах2 + bх + с. Для этого нужно как-то привести квадратный трехчлен к виду (х + b)2 + с, для чего, очевидно, потребуется выделить полный квадрат (хотя бы для а = 1):
,
т.е. у = (х + В)2 + С, где В = b/2, С = -b/2 + с.

Теперь у нас есть координаты вершины параболы и становится ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ОЧЕВИДНО, что парабола, нужная для графического решения приведенного квадратного уравнения, образуется в результате параллельного переноса исходной параболы. Теперь, так как парабола при этом может либо пересекаться осью абсцисс в одной или двух точках, либо не пересекаться вообще (в зависимости от значения ординаты, то есть b2/2 – с), ИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СООБРАЖЕНИЙ выводим: приведенное квадратное уравнение может иметь 0,1 или 2 решения.
При доказательстве формул теперь для значений корней достаточно их просто ПОДСТАВИТЬ в уравнение (проверить). Вот и все. Переход же от приведенного квадратного уравнения к уравнению общего вида трудностей не составит. В том, что при этом мы опираемся на свойства графика, не только нет ничего “плохого”, наоборот, именно так поступают часто в тригонометрии, то есть это “нормальный уровень доказательств”, подходящий для школы. И ведь все равно без графических отсылок не обойтись (например, когда мы говорим о существовании корня). Переплетение геометрии и алгебры не нужно закрывать фиговым листочком – это не стыдно и не плохо, это красиво.
Вряд ли то, что я предложил, сколько-нибудь ново. Это достаточно очевидный путь изложения темы квадратных уравнений. Читатель видит, насколько на самом деле все просто. Так зачем же запутывать детей и вбивать им в голову комплексы неполноценности? Тому, кто ни разу не открыл реально действующих школьных учебников по алгебре, трудно понять отчаяние учителя, вынужденного по ним преподавать. Трудно понять отчаяние ученика, которому задают задания по этим учебникам. Остается одно: зубрить то, что не понимаешь, и ненавидеть то, что зубришь.

Евгений БЕЛЯКОВ