Математика и музыка

В тональности ми мажор

Интегрированный урок

Математика и музыка – два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

ачиная рассказ о многообразных отношениях между математикой и музыкой, прослушаем вместе с учениками финал Шестой симфонии П.И.Чайковского. Эта великая, проникновенная музыка унесет нас в сферу музыкальной гармонии и настроит на серьезные и возвышенные размышления.

“Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства”, – писал Г.Нейгауз. Непривычно слушать подобные слова, исходящие из уст музыканта. Казалось бы, искусство – весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства.

Известно открытие Пифагора в области теории музыки. Необычность его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд – полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.

Прежде чем перейти к этому описанию, надо вспомнить, что такое звук. Согласно акустике, звук распространяется в воздухе волнообразно. Это значит, что с того момента, как зазвучали музыкальные инструменты, от них по всему залу расходятся звуковые волны. Колебания, передаваемые через воздух, заставляют вибрировать наши барабанные перепонки, в результате чего мы и улавливаем звук. Долгое время не было единого мнения о том, что определяет приятное для слуха звучание струны (в музыке это явление называют консонансом). Одни считали, что это зависит от натяжения струны, другие видели ответ в том, что длина струны – причина того или иного звучания, третьи определяли консонанс с помощью высоты тона. Ясность в этом вопросе наступила после Архита (IV в. до н.э.), который сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе натяжения, а в скорости ее движения, т.е. скорости ударения струны по частичкам воздуха.

Сегодня эта “скорость движения” носит название частоты колебания струны. Архит установил, что высота тона (или частота колебания струны) обратно пропорциональна ее длине. Архит был последним из пифагорейского союза. Он был удивительно талантливым и разносторонним человеком. Прославился в области математики и механики. Известно, что он был полководцем и политическим деятелем. И, конечно, крупным теоретиком в области пифагорейской музыки. В основе их музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых – Пифагора и Архита. Вот эти законы:

1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n/(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.

2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l.w= a/l, (а – коэффициент, характеризующий физические свойства струны).

В дальнейшем потребуются несколько понятий теории музыки. В частности гаммы, интервала между тонами, лада.

Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков, расположенных от основного тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке. Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде, а интервальными коэффициентами двух тонов – отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте нижнего: w1/w2.

Интервальные коэффициенты и соответствующие им интервалы в средние века были названы совершенными консонансами и получили следующие названия: октава (w2/w1= 2/1, l2/l1=1/2); квинта (w2/w1=3/2, l2/l1= 2/3); кварта (w2/w1=4/3, l2/l1 = 3/4).

Звуки в музыкальной гамме связаны между собой определенными зависимостями. Одни из них являются неустойчивыми и тяготеют к другим, устойчивым. В каждой гамме есть наиболее устойчивый, основной тон. Он называется тоникой, и с него начинается данная музыкальная система. Лад – приятная для слуха взаимосвязь музыкальных звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых и имеющая определенный характер звучания. Математическое выражение системы звуковысотных соотношений – лада называется музыкальным строем.

Основой музыкальной шкалы-гаммы пифагорейцев был интервал – октава. Она является консонансом, повторяющим верхний звук. Для построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить октаву на красиво звучащие части. Так как они верили в совершенные пропорции, то связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, геометрическим, гармоническим.

Составим среднее арифметическое для тоники и ее октавного повторения. Т.к. w2=2w1, то w3=(w1+w2)/2=3w1/2 или w3/w1= 3/2. Среднее арифметическое частот колебаний w1 и w2 помогает найти еще один совершенный консонанс – квинту. Длина струны l3 по второму закону Пифагора-Архита будет средним гармоническим длин струн l1 и l2 =1/2l1; l3=2l1l2/(l1+l2)=2/3 >= l3/l1=2/3. Взяв далее среднее гармоническое частот основного тона w1 и октавы w2, получим w4=2w1w2/(w1+w2)=4w1/3 >= w4/w1=4/3. В результате находим еще один совершенный консонанс – кварту. Определим, как связаны длины струн найденных частот. Выполняя последовательно преобразования w4=2w1.w2/(w1+w2);

, получим, что l4=(l1+l2)/2=3/4l1; l4/l1=3/4.

Это значит, что длины струн l1, l2 и l4 связаны между собой средним арифметическим.

Итак, квинта является средним арифметическим частот основного тона w1 и октавы w2, а кварта – средним гармоническим w1 и w2. Или иначе: квинта есть среднее гармоническое длин струн основного тона l1 и октавы l2, а кварта – среднее арифметическое l1 и l2. Это лишь незначительная часть тех прекрасных пропорций, которые были воплощены в пифагорейской музыкальной гамме. Гармонию звуков пифагорейцы считали лишь проявлением более глубокой гармонии – красоты окружающего мира. Пифагорейцы известны в истории эстетики благодаря еще одной теории. Она также была связана с музыкой, но имела иной характер. Если первая теория, как мы убедились, была построена на математических пропорциях, то вторая теория провозглашала музыку силой, способной воздействовать на душу. Хорошая музыка может улучшить душу, а плохая – испортить ее. Такое музыкальное действие греки называли психагогией, или управлением душами.

У древних греков существовал и другой способ построения музыкальной гаммы, кроме описанного выше. Он был более простым и удобным и до сих пор применяется при настройке музыкальных инструментов.

Оказывается, гамму можно построить, пользуясь лишь совершенными консонансами – квинтой и октавой. Суть этого метода состоит в том, что от исходящего звука, например “до” (3/2)О = 1, мы движемся по квартам вверх и вниз и полученные звуки собираем в одну октаву. И тогда получаем: (3/2)1= 3/2 – соль, (3/2)2:2 = 9/8 – ре, (3/2)3:2 =27/16 – ля, (3/2)4:22 = 81/64 – ми, (3/2)5: 22 = 243/128 – си, (3/2)-1:2 =4/3 – фа.

Располагая эти звуки по порядку, получаем пифагоров строй лидийской гаммы. Исходя из возможных построений звукоряда были получены несколько названий тетрахорда – четырехступенного звукоряда в пределах кварты. Это были дорийский, фригийский и уже упомянутый лидийский строй музыкальной гаммы.

Последнее построение музыкальной гаммы обладает такой особенностью: двигаясь по квинтам вверх и вниз, не получится точного октавного повторения исходного звука. Лишь 12 квинт приближенно равны 7 октавам, а разделяющий их интервал называется пифагоровой коммой. Несмотря на свою малость, пифагорова комма на протяжении столетий “резала ухо” музыкантам. Взяв отношение (3/2)12:27, можно найти численное значение пифагоровой коммы (1,0136).

Итак, гармония космоса была воплощена пифагорейцами в сфере музыки. Идея совершенства окружающего мира владела умами ученых и в последующие эпохи. В первой половине XVII в. И.Кеплер установил семь основных гармонических интервалов: октаву – 2/1, большую сексту – 5/3, малую сексту – 8/5, чистую квинту – 3/2, чистую кварту – 4/3, большую терцию – 5/4 и малую терцию – 6/5. С помощью этих интервалов он выводит весь звукоряд как мажорного, так и минорного наклонения. После долгих поисков гармоничных отношений “на небе”, проделав огромную вычислительную работу, И.Кеплер установил, что отношения экстремальных углов скоростей для некоторых планет близки к гармоническим: Марс – 3/2, Юпитер – 6/5, Сатурн – 5/4. “Солнце гармонии засияло во всем блеске. Небесное движение есть не что иное, как ни на миг не прекращающаяся музыка”, – так думал ученый. Здесь Кеплера не оставляет буйная фантазия. Небольшие расхождения в расчетах и наблюдениях он обьясняет тем, что небесный секстет должен звучать одинаково согласно и в мажоре, и в миноре, а для этого ему необходимо иметь возможность перестраивать свои инструменты.

Далее Кеплер пишет о том, что Сатурн и Юпитер “поют” басом, а Марс – тенором, Земля и Венера – альтом, а Меркурий – дискантом. Никаких доказательств он не приводит. Выполняя многочисленные расчеты, ученый устал в поисках всеобщей гармонии. “Мой мозг устает, когда я пытаюсь понять, что я написал, и мне уже трудно восстановить связь между рисунками и текстом, которую я сам когда-то нашел”, – писал знаменитый астроном и математик. Наступало новое время в естествознании: на смену поискам И.Кеплера шли открытия Ньютона.

XVII век ознаменовался новыми открытиями в области математики. В 1614 году опубликованы таблицы логарифмов. Их автор – шотландец Д.Непер. Он не был математиком по профессии. Получив хорошее образование у себя на родине, Д.Непер занимался астрономией и математикой как любитель и добился некоторых важных открытий. Теперь его именем называют ряд правил и формул сферической геометрии. Впоследствии в предисловии к своему сочинению, посвященному таблицам, он писал: “Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, отделаться от скуки и трудности вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики”.

XVIII век открыл новые страницы в истории музыки. Около 1700 года немецкий органист А.Веркмайстер осуществил гениальное решение: отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы… Сохранив октаву, он разделил ее на 12 равных частей. Пифагорова комма исчезла. Новый музыкальный строй позволил выполнять транспонирование мелодии. С введением этого строя в музыке восторжествовала темперация (от лат. соразмерность). В чем же состояло математическое описание равномерно-темперированного строя?

Вначале было дано физическое определение звука. Музыкальный тон, как уже говорилось, есть колебательный процесс с некоторой фиксированной частотой. Известно, что человеческое ухо способно воспринимать колебания частоты от 16 до 20000 гц. Если рассмотреть таблицу для среднего, наиболее употребительного участка частот в диапазоне первой октавы фортепиано, то увидим следующие частоты:

Эти частоты выбраны не случайно, ведь в основе устройства музыкальной гаммы лежат определенные закономерности. Шкала полностью определяется, если известно число ее ступеней между частотой w и частотой 2w. Для построения гаммы гораздо удобнее пользоваться, оказывается, логарифмами соответствующих частот: log2w0, log2w1…log2wm. Октава (w0,2w0) при этом перейдет в промежуток от log2w0 до log2w0 = log2w0+1, т.е. в промежуток длиной 1. Геометрическая прогрессия w0,w1,..,wm будет соответствовать арифметической log2w0, , , .., или , , , .., . Разность этой прогрессии равна . Таким образом, на оси логарифмов шкала будет состоять из точек А, А+1/m; А+2/m;…; А+1, где А – величина . На сколько же частей должна быть разделена музыкальная шкала, чему равно m? Анализ многих традиционных примеров народной музыки показал, что чаще всего в ней встречаются интервалы, выражаемые с помощью отношений частот: 2 (октава), 3/2 (квинта), 5/4 (терция), 4/3 (кварта), 5/3 (секста), 9/8 (секунда), 15/8 (септима). Эти и другие выводы показали, что музыкальная шкала должна быть разделена на 12 частей. Найдем теперь соответствующие значения логарифмов по основанию двух приведенных выше отношений. На рисунке шкала разделена на 12 равных отрезков. Здесь мы видим указанные частоты и их логарифмы. Построенная двенадцатиступенная шкала реализует перечисленные ранее условия. Отношение соседних частот равномерно-темперированного строя постоянно и равно .

Органы, настроенные А.Веркмайстером, зазвучали в равномерно-темперированном строе. Преимущества нового строя были бесспорными. Строй носил замкнутый характер и состоял из интервалов, вполне приемлемых для музыкального слуха как в мелодическом, так и в гармоническом отношении. В нем совершенно спокойно можно было осуществлять переходы из тональности в тональность. И.С.Бах доказал жизнеспособность новой музыкальной системы, написав “Хорошо темперированный клавир”, состоящий из 12 мажорных и 12 минорных произведений. Авторитет великого композитора примирил споры математиков и музыкантов, выступавших “за” или “против” нового музыкального строя.

История создания равномерной темперации еще раз свидетельствует о том, как тесно переплетаются судьбы математики и музыки. Рождение нового музыкального строя не могло произойти без изобретения логарифмов и развития алгебры иррациональных величин. Без знания логарифмов провести расчеты равномерно-темперированного строя было бы невозможно. Логарифмы стали своеобразной “алгеброй гармонии”, на которой выросла темперация.

Уже в нашем веке появлялись попытки усовершенствования равномерно-темперированного строя. Не надо забывать, что в его основу положены частоты, выражающиеся приближенными значениями чисел. А приближенное значение иррационального числа всегда определяется с заданной степенью точности. В музее музыкальной культуры можно увидеть музыкальные инструменты, в которых число ступеней в октаве значительно больше двенадцати. Были попытки создания инструментов с числом ступеней в октаве 24, 48, 53 для того, чтобы получить интервалы, наиболее близкие к чистым. В музыкальной практике, однако, такие инструменты не использовались.

Итак, в математическом построении 12 мажорных и 12 минорных тональностей совершенно тождественны. А как в звучании? Конечно, каждая из тональностей обладает своим неповторимым музыкальным оттенком. Можно провести своего рода эксперимент для произведения разных тональностей, определяя характер их звучания и музыкальные характеристики. Слушая сонату Л.Бетховена “Аврора”, написанную в до мажоре, чувствуем в музыке светлое, солнечное, спокойное настроение. Тональности ми мажор (романс П.И.Чайковского “День ли царит”) присуще взволнованное, страстное переживание. Считается, что тональность фа-диез мажор (“Весной” Э.Грига) используется для выражения радостно возвышенных чувств. А тональности до минор (“Похоронный марш” из Героической симфонии Л.Бетховена) и ми-бемоль минор (романс Полины из оперы П.И.Чайковского “Пиковая дама”) чаще других помогают композитору выразить глубокое трагическое состояние.

Итак, было рассмотрено математическое описание музыкальной гаммы – основы создания любого музыкального произведения. В построении музыкального строя чувствуются математическая точность и гармония. Известны и другие случаи использования математических методов в анализе музыкальных произведений. В частности, золотое сечение может быть применено к анализу построения музыкальных фрагментов. О золотом сечении говорилось в статье “Как скульптор Поликлет решал задачи” (“УГ”, N 48, 1996═г.).

Музыковед Э.Розенов, проанализировав наиболее популярные и любимые произведения гениальных композиторов И.С.Баха, В.А.Моцарта, Л.В.Бетховена, Ф.Шопена, Р.Вагнера, М.И.Глинки, а также произведения народного творчества древнего происхождения, заметил, что моменты наиболее ярко выраженного эмоционального напряжения приходятся именно на точки золотого сечения. Искусствоведы составили подробные схемы, в которых содержится геометрический анализ великой музыки. Наиболее удачным в этом отношении примером является Хроматическая фантазия и Фуга ре минор И.С.Баха. Слушая это замечательное произведение, не только восторгаешься красотой музыки, но и чувствуешь ее скрытую музыкальную гармонию. А математика открывает еще одну грань гениальности великого композитора.

Этот рассказ о связи математики, техники и музыки далеко не полный. В истории культуры достаточно много примеров, когда люди придумывали механические устройства для сочинения музыки. Это происходило и в средние века, и в наше время. Математик из колумбийского университета Дж.Шиллингер в 1940 году опубликовал разработанную им математическую систему музыкальной композиции в виде отдельной книжечки под названием “Калейдофон”. Считают, что Дж.Гершвин, работая над оперой “Порги и Бесс”, пользовался той же системой. В 1940 году Эйгор Вилли Лобос, используя описанный способ, превратил силуэт Нью-Йорка в пьесу для фортепиано.

Известно, что и компьютеры сочиняют музыку. Правда, она довольно посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые трудно укладываются в математические каноны. До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не знаем, какое волшебство происходит в голове композитора, создающего неповторимую мелодию. Гениальное произведение – это результат вдохновения и мастерства его создателя. А еще своеобразная тайна, постичь которую порой невозможно. Решая задачи и слушая великую музыку, мы открываем в ней совершенство, простоту, гармонию и еще нечто такое, что неподвластно выражению словом…

Алексей АЗЕВИЧ,

учитель математики

Все списано с моей души…

Люди и аксиомы

Наш рассказ – об одной из самых известных аксиом. Поэтому уместно вспомнить, что вообще такое аксиома. Слово это значит по-гречески в точности “достойная”. То есть достойная доверия при проведении какого-либо рассуждения. Ведь философы и ученые Древней Греции прекрасно понимали, что не существует “беспочвенных” рассуждений, что каждое имеет “посылку”; “из ничего и выйдет ничего” – так сформулировал это один из шекспировских персонажей. Следовательно, у науки в целом, такой, как геометрия, должны быть свои “посылки”, необходимые, чтобы начать доказательства теорем. Это, как известно, и есть аксиомы.

еликий александрийский математик Евклид создал геометрическую энциклопедию древности, которая называется “Начала”. Чудесное название для такой книжки. Обычное – для мироощущения гения. Ньютон также признавался, что чувствует себя маленьким ребенком, сидящим на берегу огромного океана и перебирающим ракушки. И тоже назвал свою главную книгу “Начала”. Это мироощущение – что все только начинается, только закладывается в мире и у тебя в голове. А ведь говорили, что Евклид лишь эклектически соединил то, что известно было уже до него. Скорее всего – не так было. Нам теперь истину не установить, ведь сочинения предшественников Евклида (например, Евдокса) не сохранились. Одно ясно – великое чувство начала, отразившееся и в названии его сочинения, передавалось читателям на протяжении многих столетий.

И сейчас можно прочесть “Начала”, книга эта переиздавалась, она есть, например, в библиотеке им. Ушинского. Удивительное чувство охватывает, когда раскрываешь потрепанные синие томики с такими знакомыми по школьным учебникам чертежами… Интересно, есть ли у нас в стране учитель, который учил бы детей геометрии непосредственно по “Началам”? Уверяю, вовсе не абсурдное предложение, особенно если вспомнить, что большинство учится по учебникам А.В.Погорелова, вызывающим не то что чувство начала, скорее – чувство конца.

Но вернемся к нашему рассказу. Итак, аксиомы – это то, с чего геометрия начинается, что принимается без доказательства. И все аксиомы, которые приводит Евклид, просты и очевидны, кроме одной. Вот она в том виде, как была сформулирована самим Евклидом. “И всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых (требуется), чтобы эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых”.

И уже в далекой древности математики пытались выяснить, нельзя ли доказать эту сложную аксиому как теорему и тем самым уменьшить число аксиом на единицу. Многие замечательные математики, в том числе и такой замечательный ученый, как Лежандр, полагали, что проблема ими решена, но на самом деле при более тщательной проверке обнаруживалось – они опираются на какое-то положение, которое невозможно вывести из других аксиом. Эти положения все были эквивалентны евклидовой аксиоме, и со временем появился целый большой список таких положений.

Вот хотя бы для примера три таких утверждения:

1. Через точку вне прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной. (В таком виде евклидова аксиома, кстати, включена в большинство современных учебников – так она выглядит проще).

2. Существуют треугольники с произвольно большой площадью.

3. Пусть прямая а, не проходящая ни через одну из вершин треугольника АВС, параллельна АВ и пересекает сторону АС в точке Р, а сторону ВС в точке К. Тогда АС:РС = ВС:КС.

Многие математики были разочарованы неудачами. Например, отец замечательного венгерского математика Яноша Больяи, тоже математик, притом всю жизнь положивший на доказательство евклидовой аксиомы, говорил сыну: “Ни в коем случае не занимайся этой проклятой аксиомой, ты лишь впустую растранжиришь годы своей жизни. Эта загадка не по силам человеку, только Бог, возможно, способен ее разрешить”. Но Больяи, не вняв совету отца, последовал его примеру.

Дальнейшая история драматична и, к сожалению, не делает чести знаменитым математикам. В “Маленьком принце” Сент-Экзюпери был астроном, собственно, который и открыл планету, где жил Маленький принц. Однако этому астроному ученый мир не поверил до тех пор, пока свое арабское одеяние он не сменил на обычное европейское – с галстуком. Истинный первооткрыватель неевклидовой геометрии не был математиком. Все его считали чудаком, малым со странностями, дилетантом, мистиком, фантазером. К его сочинениям относились с усмешкой, никто не принимал их всерьез. Какой-то юрист, имя его Швейкарт, из Кенигсберга.

Из того самого Кенигсберга, где жил великий Кант. Где и сейчас под стенами разрушенного во время последней мировой войны собора покоится окруженный массивными цепями его прах. Иммануил Кант, который в своем сочинении “Критика чистого разума” обьявил евклидово пространство априорной реальностью, постижимой актом трансцендентальной эстетики. Здорово, хотя и непонятно. И рядом какой-то юристик…

Книжка Швейкарта попала к Гауссу, королю математики. Какова же его реакция? “Почти все списано с моей души”. Заметьте – “души”, а не с разума или, скажем, с моих записных книжек, нет, потому что “в разуме” Гаусса этих мыслей еще не было, он их только предчувствовал душой. Хотя, впрочем, чуть позже Гаусс начнет утверждать, что мысли о возможности неевклидовой геометрии зародились у него за сорок лет до книжки Швейкарта (то есть еще в восемнадцатом веке!), только он боялся предать их гласности, а потому “должен был 3 или 4 раза возобновлять весь труд в… голове”.

Собственно, открытие неевклидовой геометрии теперь не требовало уже какой-то выдающейся математической гениальности. Требовалось только собрать воедино и систематизировать положения, которые были бы отрицанием тех, что вошли в коллекцию утверждений, эквивалентных евклидовой аксиоме. Например, отрицания тех, что выше приведены: через точку вне прямой можно провести больше чем одну параллельную, существует предел величины площади у треугольников, что две прямые, сумма углов треугольника не всегда 1800, что не существует подобных треугольников и т.д. И воспринять все это как некую новую, как мы бы теперь сказали, “виртуальную” реальность, поверить в нее, в то, что она возможна, что она непротиворечива. (Кстати, утверждение о непротиворечивости можно доказать, но по-настоящему сделано это было гораздо позже, в частности в работах Пуанкаре).

Гаусс видел, как отнесся научный мир к Швейкарту и его племяннику, продолжившему его дело, Тауринусу, и… испугался. Он, король математики, испугался. “Боюсь крика беотийцев”, – писал он в письме своему другу. Вот почему, когда Фаркаш Больяи прислал Гауссу труд своего сына Яноша, содержащий основы неевклидовой геометрии “Аппендикс”, тот ответил: “Чрезвычайно поражен случившимся… Очень радует, что именно сын моего старого друга таким удивительным образом меня предвосхитил”.

А мы поразмышляем над названием. “Аппендикс” – это, как всем известно, означает “отросток”. От чего? Ясно – от “Начал”. Пока еще – отросток…

Но еще больше удивился Гаусс, когда прочел работы русского Лобачевского, написанные гораздо раньше “Аппендикса”. Одна из них называется “Пангеометрия”. Всегеометрия. Это вам не отросток, здесь уже “Начала” – только начала.

Николай Иванович Лобачевский – ректор Казанского университета. Величайший математик своего времени. А вот реакция другого великого человека того времени, Н.Г.Чернышевского: “…Некто Лобачевский… бывший профессором в Казани… Что такое “геометрия без аксиомы о параллельных линиях”? – Ребятишки забавляются тем, что прыгают на одной ноге”.

Случилось то, чего и опасался Гаусс, когда говорил о “беотийцах” (жителях легендарного античного города глупцов). И Лобачевского, и Больяи стали считать заблуждающимися чудаками. Однако эти математики упорствовали в своей правоте. Но с беотийцами шутки плохи. Отставленный от всех своих постов, под грузом всеобщего непонимания, неблагодарности, ослепший, кончил свою жизнь Лобачевский. Лишь только один король математики протянул ему руку, сделав членом-корреспондентом Геттингенского королевского ученого общества. Но и он ни словом не обмолвился о той самой великой заслуге русского ученого, которая обессмертила его имя.

Признание пришло гораздо позже, никого из этих людей – ни Швейкарта, ни Гаусса, ни Больяи, ни Лобачевского уже не было в живых. Неожиданно научный мир осознал, что все здание современной науки, как на краеугольном камне, основывается на исследованиях чудаков, вызывавших ранее разве что ироническую улыбку.

Евгений БЕЛЯКОВ

Без примеров невозможно ни правильно учить, ни успешно учиться.

Луций КОЛУМЕЛЛА

Знание без совести – погибель души.

Франсуа РАБЛЕ