Математика

Забавные доказательства

Доказательства – душа математики, и лучше всего, когда ученики встречаются с ними как можно раньше. Первые доказательства в алгебре и в геометрии вызывают у детей и восхищение, и тревогу: здорово, но не очень понятно. Не стоит ли в таком случае придумать простые, наглядные и какие-нибудь забавные доказательства уже для арифметики в качестве пропедевтики “серьезных” доказательств?

Вот два примера таких “забавных доказательств”, они хотя и забавны, но в то же время очень серьезны.

Каменщик

Речь идет об известном положении арифметики: Рассматривается лишь пример , причем нужно знать предварительно, что:

1) число может быть выражено отрезком с определенной длиной, равной этому числу;

2) число может быть также выражено прямоугольником со сторонами a и b, и тогда его значение будет равно площади ab;

3) если площадь прямоугольника равна s, а одна из сторон – а, то вторая сторона – s/a.

Каменщику нужно сложить стенку из кирпичей. Толщина кирпича нас не интересует. Его длина и ширина равны и , числа построены из числителей и знаменателей примера (в других примерах и в общем случае они строятся так же).

Сначала каменщик складывает стену, показанную на первом рисунке. Длина стены , высота . Следовательно, площадь – 2/3.

Рис.1

Рис.2

Предположим, эта стена каменщику не понравилась (“узковата будет”), и он переложил кирпичи по-другому (см. второй рисунок). В первый раз в горизонтальном ряду лежало 4 кирпича и было 5 таких рядов, во второй раз в ряду стало 5 кирпичей, зато рядов всего 4, так что общее число кирпичей (20) не изменилось. Таким образом, площадь стенки так и осталась равной 2/3.

Высота второй стенки – 4/5, следовательно, ее длина должна быть равна частному от деления 2/3 на 4/5. Подсчитаем ее длину. Длина кирпича 2/(3·4), всего кирпичей 5, так что общая длина 2/3 · 5/4, что и требовалось доказать.

Волшебная шкатулка

В шкатулке 20 жемчужин. А как вы это узнали? Пересчитали? А в каком порядке доставали жемчужины? Уверены ли вы, что, если жемчужины брать в другом порядке, получится то же самое число?

Докажем это.

Пусть в шкатулке задается место для каждой жемчужины. И пусть, если брать жемчужины в одном порядке, вытаскивается 20 штук, а при другом порядке вытаскивания – 21 жемчужина.

Если есть способ вытаскивания 20 жемчужин, то, очевидно, положив их В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ назад в шкатулку, мы займем каждое место.

Итак, сначала вытаскиваем 21 жемчужину. Одну откладываем в сторону, остальные 20 штук кладем обратно в шкатулку. Заняты все места для жемчужинок! Значит, все можно повторить сначала. При этом откладываем вторую жемчужину. Потом – отложим третью, четвертую, пятую, шестую… Сколько угодно!

А это невозможно. Значит, увы, пересчитывая жемчужины в каком угодно порядке, мы будем всегда получать ОДНО И ТО ЖЕ ЧИСЛО.

Евгений БЕЛЯКОВ