Мастерская

Кривые мудрого жучка

Зависимости и их графические иллюстрации

Понятие функциональной зависимости – одно из наиболее важных в школьном курсе алгебры. При изучении этой темы у учеников формируется представление о том, что функция – математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между величинами. С целью лучшего понимания и усвоения указанных вопросов можно расширить границы учебного материала. Для этого нужно не только показывать различные способы задания функции, но и демонстрировать более сложные зависимости вместе с их графическими иллюстрациями.

ачнем с самой простой и знакомой любому десятикласснику функции у=sinх. Без сомнения, любой из ныне действующих учебников алгебры и начал анализа доступно, наглядно и систематично передает сведения о ней. Но всегда, начиная рассказ, хочется показать, что жизненные силы математики происходят из окружающей нас действительности. Итак, приступая к изучению функции у=sinх, о которой впоследствии скажем, что она является моделью колебательных процессов (колебания груза на пружинке, колебания маятника или переменного тока), можно начать с очень простого и наглядного примера. Своего рода опыта, как на уроке химии или физики.

Возьмем обычную восковую свечку, обернем вокруг нее несколько раз листок бумаги, а затем перережем ее под некоторым углом острым ножом. Разняв обе половинки свечи и развернув бумагу, мы получим кривую линию, которая называется синусоидой (рис. 1). Ученики назовут много примеров, где еще можно встретить синусоиду. А потом, словно втянувшись в эту игру, можно взять железную школьную линейку, сильно ее изогнуть, нажимая на верхнюю часть. Другая часть при этом будет упираться в стол. И опять получим синусоиду.

Своеобразные математические открытия иногда полезно совершать и на других уроках. Кривую под названием овал ученики когда-то строили на уроках черчения, а потом забыли, потому что на уроках алгебры она встречается крайне редко. А между тем эллипс – это более точное название кривой – встречается на каждом шагу. Если немного наполнить стакан водой, то при наклоне стакана водная поверхность примет форму эллипса. Такую же форму получим от света лампы с коническим абажуром, если свет падает на поверхность стола. Эллипс является одним из трех конических сечений, которые подробно были изучены еще Аполлонием в III в. до н.э.

Возьмем конус, форма которого известна семиклассникам. Пусть угол a при вершине конуса будет меньше прямого. Пересечем конус плоскостью, перпендикулярной образующей. Тогда в сечении с конической поверхностью получится эллипс (рис. 2а). Его каноническое уравнение имеет вид:

Эту замечательную кривую можно определить и по-другому. Эллипс – это геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек постоянна. Данные точки называются фокусами эллипса, а в случае когда фокусы совпадают, мы получим окружность.

Продолжим разговор о конических сечениях. Возьмем теперь конус, угол при вершине которого прямой. Тогда плоскость, перпендикулярная образующей конуса, пересекает его поверхность по параболе (рис. 2б). В случае когда обозначенный угол будет больше прямого угла, то в сечении получится гипербола (рис. 2в). Можно сказать, что парабола в некотором смысле является кривой, промежуточной между эллипсом и гиперболой.

Интересными свойствами обладает поверхность, полученная вращением параболы вокруг своей оси симметрии. Если источник света поместить в точке F, называемой фокусом параболы, то излучаемые источником лучи будут отражаться в виде параллельных лучей (рис. 3а). И наоборот, лучи света, падающие параллельно оси параболы, будут собираться в одной точке – в фокусе параболы (рис. 3б). Эти свойства параболических поверхностей используются в фарах машин, фонарях, прожекторах и параболических антеннах. При построении параболы на уроках алгебры в 7-м классе мы забываем рассказать об этих интересных особенностях. Посмотрите на параболу, изображенную на рис. 4, которая может быть расположена не так, как в учебнике алгебры. Точка F – фокус параболы, прямая КL – директриса, О – вершина, а прямая ОХ – ось параболы. Парабола обладает тем свойством, что расстояния от любой ее точки М до фокуса и директрисы равны между собой, т.е. ОА = ОF, М1М = МF, N1N = NF. Выходит, можно построить параболу, зная ее фокус и директрису. И совсем не обязательно использовать уравнение в системе координат.

Поговорим немного и о “подруге” параболы по коническим сечениям – гиперболе. На уроках алгебры изучается зависимость, графиком которой будет указанная кривая. А как построить ее геометрически? Для этого на прямой ОХ надо взять отрезок F1F2 и отрезок А1А2 так, чтобы F1А1 = F2А2. Если отметить все точки плоскости так, что разность расстояний от них до фокусов F1 и F2 будет величиной постоянной и равной отрезку А1А2, то полученные точки образуют две ветви гиперболы (рис. 5). При вращении получившейся гиперболы вокруг оси ОУ образуется поверхность, которая носит название однополостного гиперболоида. Самым наглядным примером такой поверхности может служить Шаболовская телевизионная башня (башня В.Г.Шухова). Она составлена из нескольких однополостных гиперболоидов.

Продолжим рассказ о кривых и связанных с ними зависимостях, возможно, меньше знакомых ученикам, чем предыдущие. Интересно познакомиться с зависимостью, которая выражается уравнением в полярных координатах. Возьмем на плоскости произвольную точку О (полюс) и проведем луч ОХ (полярную ось). Примем какой-нибудь отрезок ОА за единицу длины, а какой-либо угол (I радиан) за единицу измерения углов. Тогда положение любой точки М на плоскости можно задать двумя числами: положительным числом r, выражающим длину отрезка ОМ (полярный радиус), и числом [[Greekj]], выражающим величину угла ХОМ (полярный угол). Числа r и [[Greekj]] называются полярными координатами точки М.

Рассмотрим красивую кривую, полярное уравнение которой имеет вид: r= к.[[Greekj]], где . Она носит название спирали Архимеда. А как построить ее геометрически? С этой целью опишем окружность произвольного радиуса и разделим ее, например, на восемь равных частей. На столько же частей разделим и радиус окружности. Далее из центра через каждую засечку на радиусе начертим циркулем дуги окружностей так, чтобы они заканчивались для точек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 соответственно на радиусах 0-1, 0-2, 0-3, 0-4, 0-5, 0-6, 0-7, 0-8. Соединив концы этих дуг плавной кривой, мы и получим спираль Архимеда (рис. 6). Архимед построил особую спираль, определив ее на языке механики как траекторию точки, совершающую равномерное и поступательное движение по лучу, который в это же время равномерно вращается вокруг своего начала. Это свойство кривой используется для изготовления некоторых механизмов. Например, в швейной машинке можно встретить колесо, форма которого похожа на сердце. Оно служит для наматывания нитки на шпульку. Подвергнув “математическое сердце” геометрическому анализу, мы обнаружим, что форма его составлена из двух архимедовых спиралей, из которых одна равномерно удаляется от центра, а другая приближается к нему (рис. 7).

Наблюдая за проезжающим мимо автомобилем, мы никогда не задумывались над вопросом, какой путь (траекторию) имеет какая-нибудь точка на колесе, катящемся по дороге. Оказывается, если колесо катится по прямой без скольжения, то его точки описывают кривые, называемые циклоидами (рис. 8). При этом точки, расположенные ближе к центру (относительно обода), описывают укороченные циклоиды, а точки, расположенные дальше от центра, – удлиненные циклоиды. Параметрические уравнения циклоиды имеют вид: х =r[[Greekj]]- dsin[[Greekj]]; у=r-dcos[[Greekj]] , где [[Greekj]] – угол поворота производящего круга радиуса r, отсчитываемый от положения начальной точки циклоиды d – расстояние от точки до центра круга. Нам встретился еще один способ задания зависимости величин. Зависимость функции с помощью равенств х = f(t) и у = [[Greekj]](t) называется параметрической, а вспомогательная величина t – параметром.

Среди обилия кривых вызывает восхищение еще одна пара, которая носит название эволюты и эвольвенты. Вычертить эвольвенту можно следующим образом. Взять картонный кружок и укрепить его на бумаге. Накрутить на кружок нить, прикрепить один конец нити к кругу, а на втором конце сделать петельку. Просунуть в петельку острие карандаша и начать сматывать нить так, чтобы она все время оставалась натянутой. Если карандаш будет плотно прижиматься к бумаге, то его острие начертит эвольвенту (эволютой будет окружность) (рис. 9). Полярное уравнение эвольвенты окружности (с полярным центром О и осью ОХ) – , где к – радиус окружности.

Как и другие кривые, описываемые еще более сложными моделями, эвольвента также встречается в технике. И это вполне закономерно, ведь математика всегда служила техническому совершенствованию.

Но увидеть кривую эволюту на березовом листке было почти невероятно. И тем не менее существуют природные создания, наделенные удивительными математическими способностями. Среди них “жук-математик” – березовый долгоносик. Невелик, всего каких-нибудь три-четыре миллиметра от хоботка до конца брюшка. Изготовляя приют для потомства, этот крошечный “слоник” всякий раз решает трудную математическую задачу – построение эволюты по данной эвольвенте. Он обходится без чертежей и сложных расчетов. Инстинкт подсказывает ему, как надо надрезать лист березы, чтобы он свернулся в трубку, наподобие пустотелой сигареты. Потом прячет в ней свои яички, чтобы их не смыло дождями, не сожгло солнце, не выклевали птицы. И висят себе на ветру такие люльки будущих младенцев. На решение нелегкой задачи построения кривой, требующей чертежей и вычислений, долгоносик тратит не больше получаса.

Из описанного выше способа построения эвольвенты нетрудно заметить, что касательные эволюты (которые будут одновременно и радиусами эвольвенты) равны всегда той части эволюты, из которой они развертываются.

Если же мы хотим для данной эвольвенты начертить эволюту, то надо из некоторого множества точек эвольвенты провести перпендикуляры или так называемые нормали, пересечение которых даст нам ломаную линию. Вписав затем в эту ломаную линию, касательную к ее звеньям, получим эволюту. Именно такую задачу решает долгоносик на листьях березы, ольхи или бука. Для того чтобы определить путь движения жука, начертим половину листа АВСДЕFGН (рис. 10). Тогда АВСДЕFGН – такая кривая линия, для которой и надо найти эволюту. Проведя в указанных точках ряд нормалей, получим эволюту авсdеfgh, которую долгоносик вырезает на первой половине листа. С другой половинкой мудрый жучок столько не трудится. Экономя свой труд и время, он накручивает вторую, свободную половину листа на первую. И работает просто так, “на глазок”.

Вот так, обнаруживая вместе с детьми самые неожиданные примеры использования зависимостей и их графических иллюстраций, не перестаем удивляться мудрости и красоте. Такой своеобразный интегративный подход помогает ученикам осознаннее воспринимать учебный материал на уроках алгебры и геометрии. Кроме того, позволяет нам приближаться не только к пониманию того, “как изучать математику?”, но и “зачем ее изучать?”.

Алексей АЗЕВИЧ, кандидат педагогических наук, преподаватель