Геометрия

Принцип Кавальери

В издательстве “Просвещение” вышел новый учебник для гуманитарных классов “Геометрия, 10-11”.

Автор учебника – доцент кафедры методики преподавания математики МПГУ, доктор педагогических наук Ирина Михайловна с╝и╡нова – опытный методист с большим стажем преподавания в школе, в том числе в гуманитарных классах.

Учебник охватывает все основные темы программы по геометрии для 10-11-х классов. Однако по сравнению с традиционным курсом стереометрии в данном учебнике материал изложен более обобщенно. Сокращено количество заучиваемых теорем с доказательствами и задач, связанных с техникой вычислений. Большинство задач, как и весь курс, направлено на развитие пространственного воображения учащихся.

Наряду с классическими темами автор вводит материал, имеющий огромное развивающее значение: история развития геометрии, ее прикладное значение (“О форме и размерах Земли”, “Кристаллы – природные многогранники”, “Многогранники в задачах оптимизации”), связь геометрии с архитектурой и живописью (“Золотое сечение”, “Симметрия пространственных фигур”), перспективные направления современной геометрии (“Топологически правильные многогранники”, “Полярные координаты”, “Сферические координаты”).

Иллюстративный материал учебника, органично связанный с повествованием, включает, кроме обязательных по геометрии чертежей, целый ряд репродукций шедевров архитектуры, скульптуры, живописи, рисунка.

Традиционные темы автор раскрывает порой неожиданным образом. Так, в действующих учебниках по стереометрии при выводе формул обьемов прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, шара применяется сложный математический аппарат, основанный на использовании понятия предела и интегрального исчисления, что делает этот материал труднодоступным для учеников гуманитарных классов. Автор предлагает использовать вместо этого так называемый принцип Кавальери, являющийся достаточно наглядным и позволяющий вывести все необходимые формулы обьемов без использования понятия предела или интегрального исчисления. Ниже приводим краткое изложение темы “Обьемы пространственных фигур”.

Татьяна БУРМИСТРОВА, зав.редакцией математики издательства “Просвещение”

1. Обьем фигур в пространстве. Обьем цилиндра

Здесь рассматривается проблема измерения обьемов пространственных фигур. Отмечается ее давняя история, приводятся различные единицы измерения обьемов. Обьем пространственной фигуры определяется как число, показывающее, сколько раз единица измерения обьема укладывается в данной фигуре. Указывается, что число может быть натуральным, рациональным или даже действительным, но обязательно неотрицательным. Перечисляются свойства обьема, которые могут приниматься за аксиомы:

– обьем фигуры в пространстве является неотрицательным числом;

– обьем куба с ребром 1 равен единице;

– равные фигуры имеют равные обьемы;

– если фигура F составлена из двух фигур F1 и F2, то обьем фигуры F равен сумме обьемов фигур F1 и F2.

Затем рассматривается вопрос о вычислении обьема прямого цилиндра, основанием которого служит фигура F площади S, и высота цилиндра равна h. Поскольку единица измерения площади укладывается в основание S раз, а единица измерения длины укладывается в высоте h раз, то из этого делается вывод, что единица измерения обьема должна укладываться в цилиндре S.h раз, т.е. формула обьема прямого цилиндра имеет вид:

V = S.h

В частности, обьем прямоугольного параллелепипеда с ребрами a,b,c вычисляется по формуле V =a.b.c.

Обьем прямой призмы с площадью основания S и высотой h вычисляется по формуле V = S.h.

Обьем прямого кругового цилиндра, высота которого равна h и радиус основания R, вычисляется по формуле V = pR2.h.

Задачи

Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 3,4 м, 4,5 м и 2,1 м. Найдите обьем параллелепипеда.

Используя свойства обьема, покажите, что если фигура F1 содержится в фигуре F, то имеет место неравенство V(F1) <= V(F).

Найдите формулу обьема правильной n-угольной призмы со стороной основания а и высотой h.

Через точку окружности основания прямого кругового цилиндра с радиусом основания R проведена плоскость под углом [[Greekj]] к этому основанию и пересекающая боковую поверхность цилиндра. Найдите обьем части цилиндра, отсекаемой этой плоскостью.

Представляя куб с ребром а, составленным из правильных четырех-угольных пирамид с вершинами в центре куба, найдите обьем одной из таких пирамид.

2. Принцип Кавальери

Принцип Кавальери формулируется следующим образом:

Если при пересечении двух фигур в пространстве плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях получаются фигуры одинаковой площади, то обьемы исходных пространственных фигур равны.

Для обоснования принципа представим фигуры F1 и F2 составленными из тонких слоев одинаковой толщины, которые получаются в сечениях фигур F1 и F2 параллельными плоскостями.

Считая слои прямыми цилиндрами, из равенства площадей их оснований и равенства высот получаем, что равны и обьемы соответствующих слоев. Следовательно, равны и обьемы фигур F1 и F2, составленные из этих слоев.

Применяя этот принцип, найдем обьем наклонного цилиндра с основанием F площади S и высотой h. Для этого рассмотрим прямой цилиндр с таким же основанием и высотой и расположим эти цилиндры так, чтобы их основания находились в одной плоскости. Тогда сечения этих цилиндров плоскостями, параллельными этой плоскости, дадут фигуры, равные фигуре F. Следовательно, эти сечения имеют равные площади. По принципу Кавальери, отсюда следует равенство обьемов цилиндров, и, значит, для обьема наклонного цилиндра имеет место формула V = S.h, где S – площадь основания, h – высота.

Используя принцип Кавальери, аналогичным образом показывают, что если два конуса имеют равные высоты и основания равной площади, то они имеют и равные обьемы. (Под конусом понимается пространственная фигура, образованная отрезками, соединяющими точки некоторой плоской фигуры F, называемой основанием конуса, и точкой N, называемой вершиной конуса, лежащей вне плоскости основания).

Задачи

Найдите формулу обьема наклонной призмы, площадь основания которой равна S, а боковое ребро b наклонено к плоскости основания под углом [[Greekj]].

Найдите формулу обьема наклонного кругового цилиндра, радиус основания которого равен R, а образующая L наклонена к плоскости основания под углом [[Greekj]].

Пусть в сечениях пространственных фигур F1 и F2 параллельными плоскостями получаются фигуры F1 и F2, причем площади фигур F1 в k раз больше соответствующих площадей фигур F2. Как связаны между собой обьемы фигур F1 и F2? Обоснуйте свой вывод.

3. Обьем конуса

Здесь выводится формула обьема конуса, и в частности формулы обьемов пирамиды и кругового конуса. Сначала рассматривается случай треугольной пирамиды. Пусть АВСА1 – треугольная пирамида. Достроим ее до треугольной призмы АВСА1В1С1.

Плоскости, проходящие через точки В, С, А1 и С, В1, А1, разбивают эту призму на три пирамиды АВСА1, СВВ1А1, СВ1С1А1 с вершинами в точке А1. Пирамиды СВВ1А1, СВ1С1А1 имеют равные основания СВВ1, СВ1С1, так как диагональ СВ1 разбивает параллелограмм СВС1В1 на два равных треугольника. Кроме этого, у этих пирамид общая вершина и, следовательно, общая высота. Значит, эти пирамиды имеют равные обьемы. Пирамиды АВСА1 и СВ1С1А1 также имеют равные основания АВС, А1В1С1 и равные высоты. Значит, эти пирамиды также имеют равные обьемы. Таким образом, обьемы всех трех пирамид равны. Учитывая, что обьем призмы равен произведению площади основания на высоту, получаем формулу обьема треугольной пирамиды:

V = 1/3.S.h, где S – площадь основания, h – высота.

Рассмотрим теперь произвольный конус с площадью основания S и высотой h. Покажем, что его обьем также выражается формулой V = 1/3.S.h. Для этого возьмем какую-нибудь треугольную пирамиду с основанием площади S и высотой h. Эта пирамида и конус имеют равные обьемы, и, значит, требуемая формула выполняется. В частности, эта формула справедлива для многоугольной пирамиды и кругового конуса.

Задачи

Найдите формулу обьема правильной n-угольной пирамиды со стороной основания а и высотой h.

Найдите формулу обьема правильной n-угольной пирамиды со стороной основания а и боковым ребром b.

Найдите формулу обьема кругового конуса высотой h и радиусом основания R.

Найдите формулу обьема усеченного конуса с основаниями площади S1 и S2 и высотой h.

Найдите обьем тетраэдра с ребром, равным единице.

Найдите обьемы других правильных многогранников с ребрами, равными единице.

Рецепты “Академии”

Не секрет, что только 10-15% выпускников школ могут считаться сегодня “практически здоровыми”. А как исцелить общество, в котором почти нет здоровых детей?

Один из рецептов – подготовка учителей, способных работать в изменившихся условиях. Но любая педагогическая теория, технология со временем воплощается в учебнике. Сначала – для учителя, потом – для ученика. И тем более удивительно, что за последние 10 лет для 362 российских педколледжей и педучилищ почти ничего не издавалось! Былые тиражи – 300-900 тыс. экземпляров упали до 10-15 тысяч и стали невыгодными. Обучение студентов идет по старым, сохранившимся еще с 80-х годов пособиям. А ведь выпускники педучилищ – это те, кто будет обучать и воспитывать младших школьников. Им ли не нужна современная литература, с учетом последних достижений психологической и педагогической науки?!

Издательский центр “Академия” в сотрудничестве с Министерством образования и РАО подготовил несколько издательских программ, которые, по замыслу их создателей, как раз и заполнят образовавшиеся лакуны в учебном книгоиздании. В числе этих программ – “Психологическая служба образования”, “Здоровье детей – будущее России”, “Литература для средних и высших педагогических учебных заведений” (“Дошкольное образование”, “Преподавание в начальных классах” и др.). “Академия” сознательно идет на риск – собрать большой тираж по указанным направлениям сегодня почти невозможно. Надежда у издательства только на качество своих учебников – содержательное и полиграфическое.

Лидия АНДРЕЕВА

NB!

Систематизировать и расширить знания преподавателя логики, правильно спланировать уроки поможет книга М.И.Панова “Преподавание логики в общеобразовательной школе. Методические рекомендации” (издательство “Просвещение”).

В ней дается разбор решений типовых задач, анализ возможных трудностей, схемы и примеры из художественной литературы.

Автор книги – Михаил Иванович ПАНОВ (род. в 1947 г.), доктор философских наук (тема докторской диссертации “Методологические проблемы интуиционистской математики”, защищена в 1986 г.), профессор кафедры философии гуманитарных факультетов Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова; руководитель временного творческого коллектива “Деловая коммуникация” Института государственного управления и социальных исследований МГУ им.М.В.Ломоносова; профессор кафедры логики Московского государственного лингвистического университета. В течение нескольких лет преподает логику и риторику в Университетском гуманитарном лицее при МГУ им.М.В.Ломоносова, в 1521-й московской гимназии.

М.И.Панов также является одним из авторов следующих изданий: 1) Логика: Просто о сложном (Словарь). – М., 1990 (на английском языке) и 1991 (на испанском); 2) Логика в вопросах и ответах (Опыт популярного учебного пособия). – М., 1991; 3) Логика: Учебное пособие для учащихся 10-11 классов. – М., 1992; 4) Логика: Популярный учебник: В 2 частях. – М., 1992; 5) Наука убеждать: Логика и риторика в вопросах и ответах. – М., 1992; 6) Логика: Учебник для 10-11 классов лицеев, гимназий, школ с углубленным изучением гуманитарных дисциплин. – М., 1995; 7) Введение в логику: Учебное пособие для учителя и родителя. – М., 1995.

Ничто не может расшевелить до конца ум человека, если отсутствует мечта.

Генри ТЕЙЛОР