На чтение: ≈ 17 мин.Ф. Сологуб. “Мелкий бес”
“Раздосадованный Рутилов сказал:
– Ты, Ардальон Борисович… форменная свинья.
– Врешь! – угрюмо сказал Передонов.
– Нет, не вру, я могу доказать, – злорадно сказал Рутилов.
– Докажи, – потребовал Передонов.
– Погоди, докажу, – с таким же злорадством в голосе ответил Рутилов.
Оба замолчали… Вдруг Рутилов сказал:
– Ардальон Борисович, а у тебя есть пятачок?
– Есть, да тебе не дам, – злобно ответил Передонов.
Рутилов захохотал.
– Как, у тебя есть пятачок, так как же ты не свинья! – крикнул он радостно”.
Тема “Логарифмы”
М.Е.Салтыков-Щедрин. “Господа Головлевы”
Порфирия Владимировича “занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька Арина Петровна подаренные ему при рождении дедушкой Петром Иванычем, на зубок, сто рублей ассигнациями не присвоила себе, а положила бы вкладом в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей ассигнациями”.
Задача. Под какой годовой процент нужно было положить вклад 100 рублей, чтобы получить потом 800 рублей? Принять возраст Порфирия Владимировича за 50 лет.
Решение. Пусть годовой процент равен х. Вклад увеличивается в геометрической прогрессии, где в0 = 100, в50 = 800, знаменатель прогрессии равен х : 100. Получаем уравнение 800 = 100* (1 + 0,01х)50. Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 2, получаем:
log2 (1 + 0,01х)50 = log28.
После необходимых преобразований получаем:
1 + 0,01х = 20,06
По таблице логарифмов находим, что годовой процент составлял примерно 4,2.
Тема “Возведение в степень”
Д. Свифт. “Путешествие Гулливера”
В стране лилипутов все размеры в 12 раз меньше, чем у нормальных людей. В свою очередь, для вычисления размеров всех предметов у великанов обычные величины нужно возводить во вторую и третью степень.
В этой книге очень много материала для размышлений на уроках математики. Вот некоторые задачи, которые можно составить для учащихся.
“Полторы тысячи самых больших лошадей было прислано, чтобы отвезти меня в столицу”. Проверить, не много ли это даже для Гулливера.
Решение. Для Гулливера нужно столько же лошадей, сколько для 1728 лилипутов, но, запряженные в повозку, 1500 лошадей, возможно, и дотащат Гулливера. А может быть, и нет.
“600 тюфяков лилипутских размеров было доставлено на подводах в мое помещение, где портные принялись за работу. Из полутораста тюфяков, сшитых вместе, вышел один, на котором я мог свободно разместиться в длину и ширину. Четыре таких тюфяка разложили один на другой, но даже и на этой постели мне было так же жестко спать, как на каменном полу”. Проверить правильность вычислений.
Решение. Размеры одного лилипутского тюфяка в 144 раза меньше обычного. Значит, 6 тюфяков из каждых 150 оказались лишними, то есть лилипуты привезли 24 лишних тюфяка. Один лилипутский тюфяк в 12 раз тоньше обычного, значит, 4 тюфяка – в 3 раза тоньше. Конечно, Гулливеру было жестко спать.
“Лилипуты… подняли на веревках до уровня моего тела бочку вина самого большого размера… Я выпил все одним духом. Мне подкатили другую бочку, я осушил ее залпом. Просил еще, но больше у них не было”. Сравнить ведра и бочки – лилипутские и обычные.
Решение. Обычное 10-литровое ведро вмещает около 50 стаканов воды.
Значит, в 10-ведерной бочке 500 стаканов. Но так как стаканы в Лилипутии по объему в 1728 раз меньше, то Гулливеру удалось выпить из двух лилипутских бочек: 2 █ 500 : 1728 = 0,6 обычного стакана. Действительно, жажду этим не утолишь.
В стране великанов придворный карлик, недруг Гулливера, “ухватился за ветку и встряхнул ее над моей головой. Град яблок, величиной с хороший бочонок, шумно посыпался на землю; одно ударило меня в спину и сшибло с ног…” Мог ли Гулливер после такого удара выжить?
Решение. Обычное яблоко весит около 100 граммов, значит, великанское весит 0,1 █ 1728 = 172,8 кг. Нет, не мог тогда Гулливер отделаться лишь ушибом – как минимум перелом позвоночника был ему обеспечен!
Королева из страны великанов подарила Гулливеру кольцо, “милостиво сняв его с своего мизинца и накинув мне через голову на шею, как ожерелье”. Могло ли кольцо королевы стать ожерельем для Гулливера?
Решение. Диаметр мизинца около полутора сантиметров. Значит, кольцо королевы в диаметре имело 1,5 █ 12 = 18 (см). Длина окружности такого диаметра равна 3,14 █ 18 = 56,5 (см) – нормально для человека.
Гулливер читал гигантские книги и утверждал, что самые большие фолианты имеют не более 18-20 футов в длину.
Решение. 1 фут равен примерно 0,305 м. Длина книги 18-20 футов, то есть от 5,5 до 6,1 м. Если сопоставить это с длиной обычной книги, то получим от 46 до 50 см. Целая газета! Сомнительно, чтобы такие книги были даже у великанов.
Тема “Математические парадоксы”
М. Сервантес. “Дон Кихот”
“Некое поместье делится на две половины многоводною рекою… Через эту реку переброшен мост, и тут же, с краю, стоит виселица и находится нечто вроде суда, в коем заседают четверо судей, и судят они на основании закона, изданного владельцем реки, моста и всего поместья и составленного таким образом: “Всякий проходящий по мосту… долженствует объявить под присягою, куда и зачем он идет, и кто скажет правду, того пропускать, а кто солжет, тех без всякого снисхождения… казнить”. Но вот однажды некий человек, приведенный к присяге, поклялся и сказал: он-де клянется, что пришел за тем, чтобы его вздернули вот на эту самую виселицу, и ни за чем другим. Клятва эта привела судей в недоумение, и они сказали: “Если позволить этому человеку беспрепятственно следовать дальше, то это будет значить, что он нарушил клятву и согласно закону повинен смерти; если же мы его повесим, то ведь он клялся, что пришел только за тем, чтобы его вздернули на эту виселицу, следственно, клятва его, выходит, не ложна, и на основании того же самого закона надлежит пропустить его”.
Санчо вынес свое суждение:
“…Помянутый человек клянется, что пришел за тем, чтобы его повесили, если же его повесить, то, стало быть, клятва его не ложна и по закону его надлежит пропустить на тот берег, а коли не повесить, то выходит, что он соврал, и по тому же самому закону его должно повесить”.
И все же Санчо Панса поступил согласно закону милосердия и отпустил того человека.
Темы “Окружность” и “Шар”
Ж. Верн. “Гектор Сервадак”
Действие одной из глав романа происходит на планете Галлии, куда несколько французов и русских попали после земной катастрофы. Они изучают планету, вычисляют ее плотность, объем, поверхность, массу.
“Окружность Галлии составляет около 2300 километров, а следовательно, ее радиус равен 720 километрам.1
– Да, – сказал профессор, словно про себя, – диаметр в 16 раз меньше земного диаметра, равного 12792 километрам.2
– Так вот, – сказал профессор, – для завершения моего изучения Галлии мне остается определить ее поверхность, объем, массу, плотность и напряжение тяжести на ней.
– Что касается поверхности и объема, – ответил Прокофьев, – то раз мы знаем диаметр Галлии, нет ничего легче, как определить их.
– А я говорю разве, что это трудно? – воскликнул профессор. – Ученик Сервадак, возьмите перо. Зная длину большого круга Галлии, определите величину ее поверхности.
– Вот, – ответил Сервадак, решивший держаться примерным учеником. – Множим окружность 2300 километров на диаметр, т.е. на 720.
– Так вот, – ответил Сервадак, – я получил в произведении 1 656000 квадратных километров. Это и есть поверхность Галлии.
– Ну, – продолжал профессор, разгорячась, – а теперь каков же объем Галлии?
– Объем… – замялся Сервадак.
– Ученик Сервадак, неужели вы не можете вычислить объем шара, раз вам известна его поверхность?
– Но, профессор, вы не даете мне времени вздохнуть…
– При вычислениях не дышат, сударь, не дышат!”
В этой же главе, кроме объема планеты, было вычислено напряжение тяжести на поверхности Галлии, ее вес с помощью монет.
Тэффи. “Блины”
“Но между нами был человек основательный, серьезный – учитель математики. Он посмотрел строго нас нас, строго на итальянцев и сказал отчетливо и внятно:
– Сейчас я возьму на себя честь объяснить вам, что такое блин. Для получения этого последнего берется окружность в три вершка в диаметре. Пи-эр квадрат заполняется массой из муки с молоком и дрожжами. Затем все это сооружение подвергается медленному действию огня, отделенного от него железной средой. Чтобы сделать влияние огня на пи-эр квадрат менее интенсивным, железная среда покрывается олеиновыми и стеариновыми кислотами, то есть так называемым маслом. Полученная путем нагревания компактная тягуче-упругая смесь вводится затем через пищевод в организм человека, что в большом количестве вредно.
Учитель замолчал и окинул всех торжествующим взглядом”.
Задача.
Найдите длину окружности сковородки и площадь блина. (1 вершок = 44,45 мм).
Решение.
L =d, S = r2.
d 3 █ 4,4 = 13,2 (см), r6,6 см.
L 3,14 █ 13,2 = 41,44841 (см).
S 3,14 █ 6,62 = 136,7784137 (см2).
Тема “Магия чисел”
Л.Н.Толстой. “Война и мир”
“Французские буквы, подобно еврейскому числоизображению, по которому первыми десятью буквами означаются единицы, а прочими десятки, имеют следующее значение:
a b c d e f g h i k l m n o
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 p q r s t u v w x y z
60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Написав на этой азбуке цифрами слова L▓empereur Napoleon3, выходит, что сумма этих чисел равна 666 и что поэтому Наполеон есть тот зверь, о котором предсказано в Апокалипсисе. Кроме того, написав по этой же азбуке слова quarante deux4, то есть предел, который был положен зверю глаголати велика и хульна, сумма этих чисел, изображающих quarante deux, опять равна 666, из чего выходит, что предел власти Наполеона наступил в 1812 году, в котором французскому императору минуло 42 года”.
Задача.
Проверить правильность расчетов Пьера Безухова.
L e m p e r e u r
20 + 5 + 30 + 60 + 5 + 80 + 5 + 110 + 80 +
N a p o l e o n
40 + 1 + 50 + 60 + 20 + 5 + 50 + 40 = 661
В расчетах автора обнаружена арифметическая ошибка. Кроме того, есть ошибка в написании алфавита: пропущена буква j (всем известно, что латинский алфавит состоит не из 25, а из 26 букв). Но если бы буква j присутствовала в варианте Л.Н.Толстого, то Пьер Безухов получил бы в сумме число, еще меньше похожее на число зверя. Действительно,
a b c d e f g h i j k l m n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 o p q r s t u v w x y z 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
Проверяем:
L e m p e r e u r
30 + 5 + 40 + 70 + 5 + 90 + 5 + 120 + 90 +
N a p o l e o n
50 + 1 + 70 + 60 + 30 + 5 + 60 + 50 = 781
Теперь проверяем второе словосочетание.
Q u a r a n t e d e u x
70 + 110 + 1 + 80 + 1 + 40 + 100 + 5 + 4 + 5 + 110 + 140 = 666 (это по версии Л.Н.Толстого).
80 + 120 + 1 + 90 + 1 + 50 + 110 + 5 + 4 + 5 + 120 + 150 = 736 (наша версия)!
Итак, мы нашли у Толстого две ошибки: в расчетах и в алфавите.
Тема “Иррациональные числа”
Е. Замятин. “Мы”
“На меня эта женщина действовала так же неприятно, как случайно затесавшийся в уравнение неразложимый иррациональный член.
Однажды (учитель) рассказал об иррациональных числах – и, помню, я плакал, бил себя кулаками об стол и вопил: “Не хочу Ц-1! Выньте из меня Ц-1!” Этот иррациональный корень врос в меня, как что-то чужое, инородное, страшное, он пожирал меня – его нельзя было осмыслить, обезвредить, потому что он был вне ratio”.
“Иррациональные величины прорастают сквозь все прочное, привычное, трехмерное, и вместо твердых, отшлифованных плоскостей – кругом что-то корявое, лохматое…
Всякому уравнению, всякой формуле в поверхностном мире соответствует кривая или тело. Для формул иррациональных, для моего Ц-1, мы не знаем соответствующих тел, мы никогда не видели их… Но в том-то и ужас, что эти тела – невидимые – есть, они непременно, неминуемо должны быть: потому что в математике, как на экране, проходят перед нами их причудливые, колючие тени – иррациональные формулы; и математика, и смерть – никогда не ошибаются. И если этих тел мы не видим в нашем мире, на поверхности, для них есть – неизбежно должен быть – целый огромный мир там, за поверхностью”.
Тема “Вероятность”
Е. Замятин. “Мы”
…я действительно получил наряд быть именно в аудиториуме 112… Хотя вероятность была – 1.500/10.000.000 = 3/20.000 (1.500 – это число аудиториумов, 10.000.000 – нумеров).
Тема “Квадрат”
Е. Замятин. “Мы”
Представьте себе – квадрат, живой, прекрасный квадрат. И ему надо рассказать о себе, о своей жизни. Понимаете, квадрату меньше всего пришло бы в голову говорить о том, что у него все четыре угла равны: он этого уже просто не видит – настолько это для него привычно, ежедневно.
Наталья БАРТАШЕВИЧ,
заместитель директора по УВР, учитель математики средней школы N 932
Москва
Выбор читателей
Комментарии