На чтение: ≈ 17 мин.Задачи на движение по воде, по замкнутой трассе и движение протяженных тел не рассматриваются в 10-11 классе, многие из них не встречались детям и в процессе обучения в среднем звене. Но эти текстовые задачи содержатся в Открытом банке заданий ЕГЭ по математике. Решение задач из раздела В12 представляет определенную сложность для обучающихся, а времени на их изучение в программе 10 и 11 классов не предусмотрено. К сожалению, о таком несоответствии учебников, программ и экзаменационных КИМов постоянно бьют тревогу учителя. Как учить детей, если КИМы и учебники никак не коррелируются? Я выбрала дистанционную форму работы по подготовке к ЕГЭ. Отбирала материал, который для моей группы обучающихся представлял сложность, и разрабатывала цифровые ресурсы для самоподготовки.
Представленные в комплекте презентационные материалы могут быть использованы на уроках или факультативных занятиях в среднем звене, т.к. данные задачи в учебниках не представлены.
Главы 1-5 статьи, в том числе Ресурс «Задачи на движение по реке», опубликованы в №29 «Учительской газеты» от 17 июля 2012 года.
5. Ресурс «Задачи на движение по окружности (кольцевой трассе)». Краткая аннотация.
В ресурсе представлено 7 задач.
Понять суть движения по окружности несложно. Динамическая модель на втором слайде поможет детям в осмыслении таких задач. Запускать модель можно многократно. Не важно, сколько кругов «намотают» участники забега по кольцевой трассе. Чтобы произошла встреча, количество кругов одного должно быть ровно на один круг больше, чем у другого.
Примеры. Один проехал 3 круга, значит, второй, чтобы догнать соперника должен проехать за то же время 4 круга. Один проехал 10 кругов, значит, второй, чтобы догнать соперника, должен проехать за то же время 11 кругов. И т.д.
Если два велосипедиста одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v1 и v2 соответственно (v1 > v2 соответственно), то первый велосипедист приближается ко второму со скоростью v1 – v2 (скорость вдогонку). В момент, когда 1-й велосипедист в первый раз догоняет 2-го, он проходит расстояние на один круг больше. В момент, когда 1-й велосипедист во второй раз догоняет 2-го, он проходит расстояние на два круга больше и т.д. Данные задачи ничем не отличаются от задач на движение вдогонку. Многие можно решить арифметическим способом. Второй способ решения оформлен в заметках к слайдам.
Задача 3. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?
Второй способ в заметках к слайду.
Скорость одного на 21 км/ч больше скорости второго – это означает, что скорость в вдогонку 21 км/ч.
Узнаем, за какое время он ликвидирует разницу в 7 км (именно такое расстояние между ними изначально – это половина круга от всей трассы 14 км).
7 : 21 = 1/3 (ч)
Осталось перевести 1/3 ч в минуты – это 20 мин.
Акцентируем внимание на тонкостях: надо понимать, что за 20 минут мотоциклист проедет не 7 км, а может больше круга. Мотоциклист преодолеет разницу в 7 км.
Задача 4. Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг?
Если расстояние между пунктами, из которых начинают движение два тела, не задано, иногда бывает удобно положить его равным единице. Это правило применимо и в задачах на движение по окружности. Расстояние не задано, поэтому удобно считать, что длина всей трассы 1 часть. Если время в задаче дано в минутах, то скорость будет выражаться в особых единицах: часть/мин.
«Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго». Эта фраза поможет выразить скорость каждого лыжника.
В первой таблице выводятся скорости лыжников. Во второй таблице выводятся расстояния, которые пройдут лыжники через 1 час (60 мин). На выходе стрелкой показано условие, которое приведет к составлению уравнения: первый лыжник опережает соперника на один круг (1 часть).
Скриншот динамической модели к задаче 4.
Запустив модель, можно посчитать количество кругов, которое прошел каждый лыжник. Первый лыжник догнал второго и прошел при этом на 1 круг больше.
Задачи 1, 2, 5 и 7 во вложенном файле.
Задача 6. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
На одном слайде подробно разбирается ситуация из условия задачи, когда произошла первая встреча. Велосипедист был в пути до первой встречи 40 мин (2/3 ч), а мотоциклист – 10 мин (1/6 ч). Расстояние за это время они проехали равное. Время движения различно, но равны расстояния, пройденные каждым участником. Это условие нам поможет составить уравнение.
В полученном уравнении две неизвестных величины, поэтому необходимо еще одно уравнение, связывающее неизвестные величины.
На другом слайде разбирается ситуация со второй встречей. Велосипедист и мотоциклист были в пути на трассе 30 мин (1/2 ч) от точки первой встречи до точки второй встречи, ведь они начали движение одновременно от места 1-й встречи. Время движения равно, но мотоциклист за это время проехал на 1 круг больше.
Скриншот к задаче №6.
6. Ресурс «Задачи на движение протяженных тел». Краткая аннотация.
В задачах на движение протяженных тел требуется, как правило, определить длину одного из них. Наиболее типичная ситуация: определение длины поезда, проезжающего мимо столба или протяженной платформы. В первом случае поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда, во втором случае — расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.
Задача 1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Пройденное расстояние равно длине поезда – это первый и главный шаг в рассуждениях. Далее остается выразить заданные величины в задаче в сходственных единицах измерения и найти расстояние, которое пройдет поезд за 36 секунд со скоростью 80 км/ч – это и будет искомая длина поезда.
На слайде есть помощь: повторение взаимосвязи между единицами времени. Удобная схема напомнит, как перевести время, заданное в секундах, в минуты и в часы.
Задача 2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.
Скриншот к задаче №2.
На динамической модели хорошо видно, что мимо лесополосы недостаточно проехать первому вагону. Необходимо проехать вперед на расстояние, равное всей длине состава, т.е. надо прокатить вперед все вагоны до последнего! Тогда пройденное расстояние равно длине поезда плюс длине лесополосы – это первый и главный шаг в рассуждениях. Далее остается выразить заданные величины в задаче в сходственных единицах измерения и найти расстояние, которое пройдет поезд за 1 минуту со скоростью 60 км/ч – это будет длина поезда вместе с лесополосой.
Можно решить задачу, составив уравнение. На следующем слайде показан второй способ. Для составления уравнений используется формула связи расстояния, скорости и времени.
Задача 3. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй – длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?
При решении задач на движение двух тел часто очень удобно считать одно тело неподвижным, а другое – приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей (при движении вдогонку). Такая модель помогает разобраться с условием задачи, получить нужные уравнения.
Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью v (м/мин), равной разности скоростей второго и первого сухогрузов. Прекрасное дополнение к задаче динамическая модель движения. Начинается показ с момента, когда второй сухогруз отстает от первого. На носу второго сухогруза закреплен флажок, он поможет сообразить, на какое расстояние он должен обогнать баржу.
Конечно, важно, чтобы ученик понял, что второй сухогруз пройдет не 1200 м, а значительно больше! 1200 м – это расстояние, на которое он должен обогнать баржу. А пройти он за это время может 4000 или 5000 м. Но я думаю, даже если ученик не совсем понимает суть, он может довести задачу до правильного ответа.
Задача 4. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.
Будем считать, что один поезд неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью v (м/мин), равной разности скоростей поездов. Тогда за 1 минуту второй поезд обгонит первый на расстояние, равное сумме длин этих составов.
Удобно решать такие задачи с помощью уравнения. Если на уроке учителю не хватает времени рассматривать различные способы решения задач, то дистанционно он может предложить познакомиться с различными способами. Ученик определится, что ему подходит, что более понятно. А также ребенок может предложить свой способ решения на сайте.
Задача 5. По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.
Задача 6. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 54 км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу ему пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Будем считать, что пешеход неподвижен, а поезд двигается со скоростью v (м/мин), равной сумме скоростей поезда и пешехода. Пешеход не имеет «протяженной» длины (если бы это была колонна солдат, то мы бы учли это).
За 30 секунд со скоростью, равной разности скоростей поезда и пешехода, поезд пройдет расстояние, равное своей длине.
Задача 7. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 65 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 5 км/ч пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Будем считать, что пешеход неподвижен, а поезд двигается со скоростью v (м/мин), равной разности скоростей поезда и пешехода. Пешеход не имеет «протяженной» длины.
Использованные источники и литература
1) Открытый банк заданий ЕГЭ по математике. ЕГЭ 2011. http://mathege.ru/or/ege/Main.html
2) Рымкевич А.П. Физика. Задачник. 10-11 кл. Пособие для общеобразоват. учеб. заведений. – 5-е изд. Перераб. – М.: дроф, 2001. – 192с.: ил. – (задачники «Дрофы».)
3) ВикипедиЯ. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4) ЕГЭ 2010. Математика. Задача В12. С.А. Шестаков, Д.Д. Гущин. Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко. Разработано МИОО. Электронная версия сборника http://www.2x2abc.com/forum/users/2010/B12.pdf
5) Дидактические основы компьютерных технологий. http://xa.ucoz.com/news/2010-04-04-2
Елена Савченко
, учитель математики гимназии №1 города Полярные Зори Мурманской области, победитель
XIV
Всероссийского конкурса «Сто друзей»Во вложенных файлах – три презентации.
Выбор читателей
Комментарии