Стереометрия на овощах

Если оглянуться, то стереометрию можно найти везде. Например, на кухне. Картошка – это шар. Морковка – конус.
Начнем с картошки. Выберем самую круглую. Начнем ее чистить острым маленьким ножиком по кругу (как всегда ее чистят все хозяйки). И пусть шкурка длинной ленточкой вьется по столу. Необходимо чистить настолько аккуратно, чтобы ленточка кожуры не порвалась до самого конца чистки картофелины. Будьте внимательны.

После этого аккуратно разложите кожуру на столе. Получится что-то вроде двух спиралей, связанных перемычкой (см.рис.). Удивительно, правда? Не забудьте удивиться – предсказать этот результат было бы совершенно невозможно, не так ли?
А теперь порассуждаем. Очевидно, если ножик будет острым, то полоску можно делать тоньше. Рассуждая абстрактно, в пределе толщина ее бесконечно мала. Если ширина полоски e, то ее длина 4pR2/e (т.к. 4pR2 – поверхность картошки). Значит, длина ленты зависит от остроты ножа, если предположить, что более острым ножом можно чистить аккуратнее.
Итак, можно ли было заранее сказать, какой формы будет кожура, если ее разложить на столе? Если посмотреть на картошину сверху (с “северного полюса”), то срезаемая кожура будет выглядеть, очевидно, как спираль. То же самое – в конце работы (у “южного полюса”). Причем если мы начали сверху срезать по часовой стрелке, то так же и закончим. Но легко понять, что южная-то спираль будет перевернута вверх ногами, поэтому получится спираль, закрученная в обратную сторону, против часовой стрелки. Из соображений симметрии ясно, что переход от закрутки по часовой стрелке к закрутке против часовой стрелки должен происходить на “экваторе”. Вот так. Что нам мешало продумать все это еще до того, как мы приступили к чистке картофеля? Главное – не бояться рассуждать.

А теперь возьмем морковку и проверим правильность теории конических сечений. Разрезая ее острым ножичком по-разному, можно получить все три знакомые по школьной программе кривые графиков: 1) гиперболу, 2) параболу и 3) график линейной функции – прямую линию, а также круг. Если не получилось, смотри рисунок.

Нашинковав картошку и морковку кружочками, получаем прекрасную иллюстрацию интегрального исчисления. Каждый кружочек можно рассматривать как цилиндрик с высотой x. Например, в случае конуса (морковки) радиус цилиндриков пропорционален высоте.
Пусть, например, высота H, радиус основания – R (установим морковку для простоты вверх ногами, как на рисунке). Круг в сечении на высоте h будет иметь радиус r =Rh/H; площадь его будет s(h) = p(Rh/H)2. Поэтому для расчета объема конуса, нужно найти интеграл .p, R2 и H2 сразу можно вынести за знак интеграла. Останется вычислить интеграл , а это мы прекрасно умеем. Получается H3/3. Окончательно получим (pR2/H2)(H3/3)= pR2H/3. То есть в три раза меньше цилиндра с такими же параметрами. Есть у нас цилиндрический овощ? Пожалуйста: лук порей! Так же поступим и с картошкой (шаром), только пусть читатели сделают все сами. А бобы и горох издавна применялись вместо калькулятора (придумайте, как). Да на кухне мы вообще найдем всю математику, всю физику, всю химию и биологию в придачу!
Евгений БЕЛЯКОВ