Решение квадратных уравнений.

Урок обобщения и систематизации знаний

Эпиграф к уроку: “Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным”.

Паскаль

Цели урока:

умственное развитие учащихся;

развитие познавательной и творческой деятельности;

развитие культуры коллективного умственного труда.

Оборудование к уроку: тест “Квадратные уравнения”, кодоскоп, песочные часы, таблицы, черный ящик, корень растения, карточки.

План урока

1. Организационный момент “Настроимся на урок!”

2. Тест “Квадратные уравнения”.

3. Работа по группам: а) математика и биология; б) математика и русский язык.

4. Немного истории: а) квадратные уравнения в Индии; б) квадратные уравнения в Европе.

5. Викторина “Дальше, дальше…”

6. Урок веселой математики.

7. Итог.

Ход урока

1. Организационный момент “Настроимся на урок!”

Ученикам сообщаются тема, задачи и план урока. Обращается внимание на эпиграф.

Учитель: Математику не зря называют “царицей наук”, ей больше, чем какой-либо другой науке, свойственны красота, изящность и точность. Одно из замечательных качеств математики – любознательность. Постараемся доказать это на уроке. Вы уже умеете решать квадратные уравнения. Знания не только надо иметь, но и надо уметь их показать, что вы и сделаете на сегодняшнем уроке, а я вам в этом помогу.

2. Тест “Квадратные уравнения”.

Ученики получают карточки с пленкой. Заполняют пропущенные слова на пленке.

I ВАРИАНТ

1. Уравнение вида ax2 + bx + c = 0

где a,b,c – заданные числа, a ? 0,

x – переменная, называется…

2. Полное квадратное уравнение не имеет корней, если D =…

3. Уравнение вида x2 + px + d = 0 называется…

4. Квадратное уравнение имеет два корня, если b2 – 4ac …

5. Дано уравнение 3×2 – 7x + 4 = 0. Найти D. D =…

II ВАРИАНТ

1. Если ax2+bx+c = 0 квадратное уравнение, то a… коэффициент, с…

2. Уравнение x2 = a, где a < 0, не имеет…

3. Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если b2 – 4ac…

4. Уравнение вида ax2 + c = 0, где a ? 0, c ? 0, называют…квадратным уравнением.

5. Дано уравнение x2 – 6x + 8 = 0. Найти D. D =…

Проводится взаимопроверка. Ответы показываем через кодоскоп.

3. Работа по группам.

а) Математика и биология (звучит музыка).

Учитель: Внести черный ящик! Угадайте, что в ящике. Даю три определения этому предмету:

1. Непроизводная основа слова.

2. Число, которое после постановки его в уравнение обращает уравнение в тождество.

3. Один из основных органов растений.

/Корень/

Учитель: Вы должны определить, какого растения это корень, решив следующие уравнения по группам.

1. x2- 8x + 15 = 0

2. x2 – 11x + 18 = 0

3. x2 – 5x – 6 = 0

4. x2 – 4x + 4 = 0

5. 3×2 + 4x + 20 = 0

6. 5×2 – 3x – 2 = 0

Учитель: Игра “Математическое лото”. Найти карточку со своим ответом и поместить ее в соответствующую ячейку. “Математическое лото” оформляется на магнитной доске. Получается рисунок (рис.1).

Учитель: Что это за растение?

Ответ: Роза.

Учитель: Значит, в черном ящике лежал корень розы, о которой в народе говорят: “Цветы ангельские, а когти дьявольские”. О розе существует интересная легенда: по словам Анакреона, родилась роза из белоснежной пены, покрывающей тело Афродиты, когда богиня любви выходила из моря. Поначалу роза была белой, но от капельки крови богини, уколовшейся о шип, стала алой.

Цветы, как люди, на добро

щедры,

И щедро нежность людям

отдавая,

Они цветут, сердца отогревая,

Как маленькие теплые костры.

б) Математика и русский язык.

Учитель: Решите уравнения, корни которых замените буквами, используя соответствие “число – буква” (рис.2).

Решив данные номера, вы должны определить, из какого произведения эти строки:

Природа жаждущих степей

Его в день гнева породила,

И зелень мертвую ветвей,

И корни ядом напоила.

1. ? 534 /а/ 3×2 – 7x + 4 = 0

2. ? 540 /а/ 8×2 – 14x + 5 = 0

3. ? 541 /б/ 3×2 – 8x +5 = 0

4. ? 510 /а/ 3×2 – 4x = 0

5. ? 545 /а/ (x + 4)2 = 3x + 40

Решите данные уравнения разными способами.

Ребята: Корни этих уравнений соответствуют слову “анчар”.

Учитель: Кто автор этих стихотворных строк?

Ответ: Александр Сергеевич Пушкин.

Учитель: Видите, ребята, все в этом мире взаимосвязано: математика, русский язык и литература, биология. Мы увидели, что слово “корень” встречается на уроках биологии, русского языка и математики.

4. Немного истории.

а) квадратные уравнения в Индии.

Учитель: По словам математика Лейбница, “кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет”.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Часто они были составлены в стихотворной форме.

Стук в дверь. Входит “ученый из Индии” со свитком. В роли ученого может выступать старшеклассник.

Учитель: Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскары.

Ученый: Здравствуйте, милые ребята! Решите мою задачу про обезьян:

Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекалась

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А 12 по лианам…

Стали прыгать, повисая.

Сколько было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Ученики решают задачу у доски и в тетрадях.

б) квадратные уравнения в Европе.

Учитель: Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые написаны в 1202 году. Вывод формулы решения квадратного уравнения встречается у французского математика Ф.Виета.

По праву достойна в стихах

быть воспета

О свойствах корней теорема

Виета.

Что лучше, скажи, постоянства

такого,

Умножишь ты корни – и дробь

уж готова.

В числителе С, в знаменателе А.

А сумма корней тоже дроби

равна.

Хоть с минусом дробь,

что за беда?

В числителе В, в знаменателе А.

Учитель: Как читается теорема Виета?

Ответ: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Учитель: Напишите на доске формулы.

Пример 1 /устно/: Найти корни уравнения x2 – 3x – 4 = 0

Ответ: x1 = 4, x2 = – 1.

Учитель: Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

Ответ: Если числа m и n таковы, что их сумма равна -p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения x2 + px + q = 0.

Учитель: Пример 2. Составьте квадратное уравнение, если известны его корни x1 = 5, x2 = 6.

Ответ: x2 – 11x + 30 = 0

Учитель: Пример 3. Составьте квадратное уравнение, если известны его корни:

x1 = – 5, x2 = 6

Ответ: x2 – x – 30 = 0

x1 = – 6, x2 = 5

Ответ: x2 + x – 30 = 0

x1 = – 5, x2 = – 6

Ответ: x2 + 11 + 30 = 0

Пример 3. ? 664.

Один из корней уравнения 5×2 – 12x + c = 0 в три раза больше другого. Найдите С.

5. Викторина. “Дальше, дальше…”

В течение одной минуты ребята отвечают на вопросы, приведенные ниже:

1. Уравнение второй степени.

2. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D больше 0?

3. Произведение корней приведенного квадратного уравнения равно…?

4. Когда начнется XXI век?

5. Равенство с переменной?

6. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

7. Очень плохая оценка знаний?

8. Чему равна сумма корней приведенного квадратного уравнения?

9. Цифровой знак, обозначающий отсутствие величины?

10. Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент – 1?

11. Сколько раз в году встает солнце?

12. Уравнения, имеющие одни и те же корни?

13. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант меньше 0?

14. Соперник нолика?

15. Что значит решить уравнение?

16. Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения?

6. Урок веселой математики. (Ведут старшеклассники).

Первый ведущий: Ну, ребята, что у нас по расписанию?

Второй ведущий: Это в школе бывает по расписанию. А у нас веселый урок. Он бывает по желанию ребят.

Первый ведущий: Так что у нас по желанию ребят?

Учитель: Многие ребята просят разучить с ними правило нахождения корня квадратного уравнения.

Второй ведущий: Мы с удовольствием разучим это правило. Только объясните, пожалуйста, что такое квадратное уравнение. Чем оно отличается от круглого, прямоугольного?

Первый ведущий: Квадратным уравнением называется уравнение, где неизвестное берется в квадрате, т.е. во второй степени

x2 + px + q = 0.

Второй ведущий: Ну и как же отыскать эти корни? Как они выглядят?

Первый ведущий: Очень просто. Одна девочка сочинила песню про эти корни:

Чтобы решить уравненье,

Корни его отыскать,

Нужно немного терпенья,

Ручку, перо и тетрадь.

Минус напишем сначала,

Рядом с ним пополам,

Плюс – минус знак радикала,

С детства знакомого нам.

Второй ведущий: Друзья мои! Я, конечно, в детстве знакомился со знаком радикала. Но сейчас совершенно забыл, что это такое.

Первый ведущий: Это такой знак, который обозначает, что из числа будут извлекать корень квадратный. Но вернемся к песенке.

Ну а под корнем, приятель,

Сводится все к пустяку.

p пополам и в квадрате

Минус несчастное q.

Второй ведущий: Почему несчастное q?

Первый ведущий: Потому что из-за этого q вся путаница. Без него все было бы гораздо проще.

Второй ведущий: Ну и что? Если вам какая-то буква или предмет усложняет жизнь, значит, его несчастным называть? Например, если вы никак не можете запомнить теорему Пифагора, вы должны говорить: “Квадрат несчастной гипотенузы равен сумме квадратов несчастных катетов”. Так что ли? Нет, нет, и не уговаривайте меня, я на это не пойду.

Первый ведущий: Согласен. Пусть будет “Минус прекрасное q”.

Второй ведущий: Ну вот, это совсем другое дело. (Вместе поют всю песенку от начала до конца).

7. Итог урока.

Учитель: 1. Какое уравнение называется квадратным?

2. Приведите примеры неполного квадратного уравнения.

3. Чему равен дискриминант, если квадратное уравнение имеет 2 корня?

4. Квадратное уравнение имеет единственный корень, если…

Оценка работы учеников на уроке, домашнее задание.

Румия САИТОВА,

учитель математики Терекли-Мектебской средней школы им. А.Ш.Джанибекова

с. Терекли-Мектеб,

Ногайский район,

Республика Дагестан