Плоскость в клеточку. Тайна чисел открывается немногим

Немецкий математик Леопольд Кронекер высказал мысль: «Бог создал натуральные числа, все остальное – дело рук человеческих». Его афоризм пережил XIX век, тайна чисел и их взаимоотношений открывается отнюдь не многим. Тем удивительнее существование людей, постигших мир математики и влюбленных в него. Назар АГАХАНОВ – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МФТИ. Около 30 лет он преподает различные математические предметы в школах и институтах России, в частности, в школе №5 Долгопрудного. Назар Хангельдыевич – лидер национальной команды России на международной математической олимпиаде. Автор учебных пособий «Школьные математические олимпиады», «Математические олимпиады Московской области». Застать его не на олимпиадах трудно, разве только во время экзаменов в Физтехе и между подготовками к очередному из математических соревнований. И все-таки он смог ответить на вопросы, кто такой одаренный ребенок и каково ему живется в Подмосковье.

– Назар Хангельдыевич, можно ли способности к математике считать какой-то особой одаренностью и как она в основном проявляется?

– Каждый ребенок одарен. Таланту невозможно научить, потому что это то, что дается от природы. Когда говорят «умный», чаще всего подразумевают «много знает», когда говорят «сообразительный», имеют в виду, что человек схватывает информацию на лету и способен ее применить на деле. В математике умным мы называем того ребенка, который умеет строить абстрактные логические конструкции. Одаренность ли это? Возможно, что не совсем, скорее креативность. Одаренность в математике – это способность создать что-то новое. Ведь решение математических задач – это в первую очередь творчество. Олимпиады, так же как и школьную математику, многие воспринимают как решение множества задач, где что-то вычисляют. Это неправда. На математических олимпиадах школьники все время что-то доказывают. Они демонстрируют некую маленькую научную работу.

– Эти звездочки сразу же оказываются в сфере вашего внимания?

– В МФТИ создан центр по работе с одаренными школьниками по математике и физике. В этом центре ведется методическая работа. В частности, все задания для олимпиад, проводимых в Московской области, готовятся здесь. Здесь же поддерживаются все связи с регионами. Проверка работ областных олимпиад проходит тоже здесь. Наиболее успешно наше сотрудничество с Сергиевым Посадом, Раменским, Жуковским, Коломной, Троицком, Королевом, Одинцовом, Видным и, конечно же, Долгопрудным. К сожалению, не со всеми районами Подмосковья удалось установить надежные контакты, хотя надо сказать, что при проведении районных олимпиад наши ребята много выезжают на территории и помогают в методическом плане. В центре сложился коллектив единомышленников. Олег Подбельский, Павел Кожевников, Илья Богданов уже много лет занимаются этой работой. Многие из моих коллег выпускники МФТИ, Кожевников и Богданов окончили мехмат МГУ. Круг постоянно пополняется, и это очень сильные специалисты.

– А как вы вообще вовлекаете в свое олимпиадное движение?

– Начальные этапы олимпиад открыты. Ребятам дается возможность проявить себя. Московская область отличается от большинства регионов России тем, что у нас в олимпиаде открыты все этапы. Более полутора тысяч школьников участвуют в областной олимпиаде. Из-за того, что мы не вводим ограничений, большому числу школьников удается проявить свои способности. Математические олимпиады вообще возникли самыми первыми, здесь сложились традиции, поэтому многим интересно попробовать свои силы именно в математике. Вот почему математические олимпиады в Московской области носят столь массовый характер. Конечно, в очень большой степени успешность выступлений зависит от наличия квалифицированных педагогов, таких людей, которые сумеют разглядеть перспективы ребенка, его нетривиальность. Олимпиада – это творчество, которое отличается от стандартной школьной программы. Для успешного выступления в ней школьник должен быть психологически готов к тому, что ему предстоит что-то новое.

– Ребенок победил, занял какое-либо призовое место на олимпиаде. Что дальше?

– Лучших мы приглашаем в летние школы, на проводимые в осеннее время математические турниры. Олимпиады – это соревнования личные, а турниры, бои, кубки – в большей степени командные. Там у ребят появляются возможности продемонстрировать свои творческие способности в коллективе.

– Чем отличаются математические олимпиады от других?

– Прежде всего своей открытостью. Например, биологи выступают резко против этого. У них есть кабинетный и практический туры, тем самым их ограничивают чисто организационные возможности по проведению олимпиады: им нужно обеспечить каждого рабочим местом с наличием соответствующих препаратов. А наша задача – открыть всех талантливых ребят, недаром Московская область всегда входит в пятерку лучших регионов по России.

– А как вообще попадают в международную сборную?

– Школьников – победителей Всероссийской олимпиады приглашают на летние сборы. Там мы занимаемся с ними: поднимаем общий уровень специальной математической подготовки. Дело в том, что задачи на международных олимпиадах более технические, чем те, которые мы предлагаем на наших российских олимпиадах. Потом проводятся зимние сборы, где происходит предварительный отбор команды. Для того чтобы участвовать в международных олимпиадах, нужно иметь специальную подготовку в области теории чисел, в некоторых разделах геометрии, алгебры (это далеко не всегда изучается даже в математических школах).

– Чем наши юные математики отличаются от иностранных?

– Наши дети – самые нестандартно мыслящие в мире. Они, как правило, предлагают наиболее неожиданные решения задач, и часто координаторы (представители страны – организатора олимпиады) не могут понять хода рассуждений наших школьников. Поэтому приходится объяснять, почему это решение является правильным, разъясняя саму логическую конструкцию. Дело в том, что по положению о Международной олимпиаде в ней имеют право участвовать школьники, которым не исполнилось 20 лет и которые еще не учатся в университете. Во всем мире обучение длится 12-13 лет. В нашей же команде есть и пятнадцатилетние участники. Наши ребята берут не технической подготовкой, а талантом. Поэтому они часто предлагают решения, отходящие от стандарта. Тем не менее мы выигрываем на олимпиадах, хотя наши участники на 2-3 года младше, чем все остальные.

– Американская система намного отличается от нашей?

– Американская система изучения математики в школе не подразумевает нахождения подхода к решению. Главное, что нужно сделать школьнику, – вспомнить формулу или даже найти ее в справочнике и подставить в нее число. Наша система ориентирована на построение логической конструкции, доказательство утверждения, а уже затем – на получение числа. Кстати, американцы в последние годы многое почерпнули из нашего опыта проведения олимпиад, тренировочных сборов.

– Победа в олимпиаде открывает двери вузов?

– Страна перешла на ЕГЭ. Единый экзамен в первую очередь проверяет усвоение стандарта школьного образования. Но существуют одаренные дети, те, кто может проявить себя ярко в творчестве, но, возможно, не в состоянии выполнить какие-то стандартные вещи. И это хорошо, что на государственном уровне понимают, что они есть. Поэтому законодательно утверждены льготы при поступлении в вузы для победителей олимпиад. Призеры всероссийских олимпиад имеют право поступать без экзаменов, победители региональных туров могут пойти учиться в областные вузы. Ну а члены сборной вряд ли смогут полноценно учиться в более слабых вузах, чем МГУ или Физтех. На самом деле вузы не зря делают ставку именно на таких абитуриентов, так как они своим участием в олимпиадах доказали способность успешно учиться и не бояться сложностей. Так что наряду с ЕГЭ это вторая форма поступления.

Советы Назара Агаханова

1. К одаренным детям надо относиться спокойно, не обижаясь на их «подкалывания» и не замечая неуместные остроты. Всегда следует помнить о том, что таким ребятам живется нелегко. Поэтому учитель должен создать такую атмосферу в классе, в которой успехи «звезды» вызывали бы не чувство зависти и раздражения, а уважение его сверстников. Постоянная недоброжелательная оценка со стороны воспитателя может привести к потере ребенком уверенности в своих силах и тем самым приглушить способности. Однако другая крайность – «захваливание» – вызывает самомнение и зазнайство, что оказывается не менее вредным. Оценка, которую дает воспитатель, должна быть требовательной, строгой, но благожелательной, укрепляющей веру в успех.

2. Надо помочь такому ребенку, то есть дать ему задание потруднее, каждое последующее задание должно быть более сложным, чем предыдущее, и в то же время посильным.

3. Главная ошибка и проблема массовой школы заключается в том, что чаще всего она идет по пути наименьшего сопротивления, стремясь дать готовые ответы на все вопросы и подстраиваясь под среднего или, что еще опаснее, под самого слабого ученика, не желая возиться с одаренными «выскочками». В таком случае совет родителям: ищите умного, неравнодушного педагога в своем селе, городе, ближайших городах и селах. При возможности рекомендуется отдать ребенка в специализированную школу – с углубленным изучением тех или иных предметов. Талантливым детям необходима особая среда, необходимы трудности, если хотите, поскольку легкие успехи при низких требованиях и общем слабом фоне грозят быстрой деградацией.

4. Олимпиады, соревнования, состязания полезны, в какой-то мере необходимы для того, чтобы реально оценить свои силы, не вариться в собственном соку, самосовершенствоваться, не останавливаться на достигнутом. Победа в любом соревновании – незаменимый стимул к дальнейшей деятельности. При этом надо разумно переживать поражения. Кстати, перед международными олимпиадами для команд-участниц проводятся специальные психологические тренинги.

Головоломка от Назара Агаханова

В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел – 1, 2, 3, 4 – так, что каждое число встpечается хотя бы один pаз. Hазовем клетку пpавильной, если количество pазличных чисел, записанных в четыpе соседних (по стоpоне) клетки, pавно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться пpавильными?

То же и для плоскости, замощенной тpеугольниками или шестиугольниками. Разумеется, в этих случаях в ячейках должны встpечаться все числа от 1 до 3 и от 1 до 6 соответственно.