Парадокс нетранзитивных отношений

​В математике фундаментальное понятие «связь» принято называть словом «отношение».Отношение – это и есть связь, соотнесение каких-либо элементов множества. Точнее говоря, если имеется множество А, то можно построить новое множество, элементами которого будут служить упорядоченные пары элементов множества А; это множество упорядоченных пар задает некоторое отношение на множестве А.

Схематично можно представить себе множество А в виде набора точек – элементов этого множества. Пусть какие-то элементы множества связаны с какими-то элементами этого же множества стрелками. Множество этих стрелок и представляет собой отношение на множестве.Легко привести примеры отношений. Множество натуральных чисел, и на нем задано отношение «являться делителем»; например, 2 является делителем 6. Другое отношение – «быть больше»: . Множество геометрических фигур и заданное на нем отношение равенства или отношение параллельности прямых. Множество людей и на нем отношение дружбы или отношение знакомства.Выделяют основные типы отношений: рефлексивные, симметричные и транзитивные.Отношение называют рефлексивным, если элементы множества имеют связь сами с собой. Например, отношение «быть не меньше» на множестве чисел, (каждое число не меньше самого себя), отношение подобия на множестве геометрических фигур (каждая фигура подобна себе), отношение родства на множестве людей (разумно считать каждого человека родным самому себе). Пример нерефлексивного отношения – перпендикулярность прямых.Отношение называют симметричным, если из связи элементов a и b вытекает связь элементов b и a. Отношения симметрии, равенства, отношения параллельности и перпендикулярности прямых, отношения супружества, конечно же, являются симметричными. А отношения «быть кратным» на множестве чисел или «быть мужем» на множестве людей таковыми не являются.Отношение называют транзитивным (или переходным), если из связи элементов a с b и b с c следует связь элементов a с c. Транзитивными являются отношения логического следствия, отношение делимости на множестве целых чисел, параллельность прямых. Нетранзитивны, например, перпендикулярность прямых и отношение «быть сыном».Отношение, обладающее всеми тремя свойствами, – рефлексивность, симметричность и транзитивность – называют отношением эквивалентности. По сути, данное определение раскрывает понятие эквивалентности каких-либо объектов через возможность их взаимозаменяемости.Еще одним важным отношением является отношение порядка, например, a меньше b. По определению, отношением порядка называют всякое антисимметрическое транзитивное отношение. Порядок может быть как полным, так и неполным (частичным). Примеры отношений полного порядка: «быть больше», «раньше», «старше», «выше», «тяжелее». Частичный порядок на множестве целых чисел, например, задает отношение «быть делителем». Еще пример частичного порядка: представим себе множество различных коробочек разного размера и на нем отношение: «помещаться в». На множестве военнослужащих частичный порядок задает отношение «быть старше (младше) по званию». (Хотя, заметим, отношение «быть подчиненным» не всегда является отношением порядка. Так, в феодальной Франции была в ходу поговорка: «Вассал моего вассала не мой вассал»).Задумаемся, а в жизни часто ли наши отношения (связи) обладают свойством транзитивности? Например, А дружит с В, В дружит с C; следует ли отсюда, что А дружит с C? Много ли вы найдете примеров транзитивных отношений из жизни? Обладают ли свойством транзитивности такие связи, как «быть лучше» («сильнее», «умнее» и проч.)?Для ответа на последний вопрос рассмотрим такую задачу. Пусть даны три игральные кости со следующими числами на гранях:А: 1, 1, 7, 7, 7, 7В: 4, 4, 5, 5, 6, 6С: 3, 3, 3, 3, 9, 9Вам предлагается выбрать одну игральную кость, я возьму себе другую игральную кость из двух оставшихся. Затем мы будем их бросать. Выигрывает тот, у кого выпало больше очков. Какую кость вы выберете?Для решения задачи нужно попарно сравнить вероятности выигрыша всех трех костей. Для расчета вероятностей можно составить таблицу выигрышей. Например, в приведенной таблице дается сравнение результатов бросаний для двух костей А и В для всех 36 равновозможных исходов. Знаки «+» соответствуют исходу «кость А выиграла», знак «-» – «кость А проиграла». Видим, что статистически кость А будет в два раза чаще выигрывать у кости В, и потому в выборе из этих двух костей она предпочтительнее. (Заметим, кстати, что математическое ожидание, т. е. среднее арифметическое очков на каждой кости, не играет в этой задаче никакой роли!)Аналогичным образом сравним вероятности выигрышей костей В и С, С и А. И… придем к довольно нетривиальному результату: кость В более выигрышная, чем С, а С – чем А. Значит, какую бы кость вы ни выбрали, я смогу найти более выигрышную кость по правилу A > B > C > A.Теперь согласитесь ли вы с таким пониманием, какой из двух учеников учится лучше? Тот, который чаще получает более хорошие отметки. Согласны? Тогда примем в предыдущей задаче, что числа, отмеченные на гранях игральной кости, – это оценки трех учеников, полученные ими в течение четверти за конкретные самостоятельные работы (по 10-балльной шкале, принятой в некоторых школах). Получается достаточно парадоксальная вещь: ученик А учится лучше, чем В, тот лучше, чем С, а С – лучше, чем А! (При этом оценки выбраны так, что средний балл у всех учеников одинаковый, хотя легко «пошевелить» эти оценки таким образом, что успеваемость любого из учеников по среднему баллу станет выше или ниже, а указанный парадокс сохранится.)Можно построить еще более простой пример, когда ученик А учится лучше, чем В, ученик В лучше, чем С, а ученик С – лучше, чем А. (По-прежнему считаем, что из двух учеников лучше учится тот, у кого в большинстве контрольных работ оценка выше, чем у второго.) Например, годится такое распределение оценок.Рассмотрим еще один схожий парадоксальный пример нетранзитивных связей – ситуация с выборами (президента, директора, профорга…).Пусть имеются 3 кандидата: А, В и С. Как показали итоги выборов, 2/3 избирателей отдали свои предпочтения А перед В, и 2/3 избирателей отдали свои предпочтения В перед С. Означает ли это, что большинство избирателей отдаст предпочтение А перед С?Отрицательный ответ к задаче станет понятен, если задать, например, следующее распределение голосов:Ясна и связь с предыдущей задачей: будем считать, что К1, К2, К3 – это критерии оценки избирателей, причем для каждой третьей части электората эти критерии ранжируются по-разному.Описанный парадокс был впервые подмечен философом-просветителем математиком Жаном Кондорсе в 1785 г. Парадокс можно сформулировать следующими словами: «нельзя одновременно соблюсти требования разумности и равенства»; «не существует рациональных правил выбора, учитывающих интересы всех членов общества»; «невозможно индивидуальные предпочтения перевести в коллективные».За строгое математическое доказательство этого факта в 1972 г. американцу Кеннету Эрроу была присуждена Нобелевская премия по экономике. Почему по экономике? Вспомним, как формируется рыночная цена: как результат пересечения графиков кривых спроса и предложения. А как они образуются? Покупая или не покупая любой товар, каждый человек делает свой выбор о приемлемости цены, формируя таким образом коллективное предпочтение, которое, как доказал Эрроу, невозможно вывести из индивидуальных предпочтений. Таким образом, Кеннет Эрроу строго математически доказал, что не существует и не может существовать единого и универсального для всех эталона потребительской стоимости – в силу разной интенсивности индивидуальных предпочтений. А на понятии эталона стоимости и функции денег как эквивалента этого эталона построена вся современная экономика.Выводы:1. Транзитивность превосходства (то есть рассуждение по принципу «А лучше В, В лучше С, значит, А лучше С») есть результат выдергивания и искусственной изоляции короткой цепочки превосходств из более общего цикла взаимодействий, в котором они реально существуют.2. Соблюдение принципа транзитивности при выборе «лучшего» объекта из некоторой совокупности дает искаженное представление о ее внутренних связях. В реальных системах связь превосходства – «кто лучше», «кто сильнее» – не обязана обладать свойством транзитивности.3. Всевозможные ранжирования по рейтингу, все традиционные способы выявления «лучших», основанные на демократических процедурах голосования (при отсутствии строгого доминирования), объективно не являются достоверными.4. Истина не определяется голосованием, не достигается демократическими выборами. «Мнение большинства» никак не связано с реальностью, это лишь умственная фикция, которая служит средством манипуляции сознанием людей.5. Желание выбрать абсолютного лидера (победителя), выстроив всех в одну шеренгу, есть результат линейного мышления. На самом деле связи между элементами могут носить более сложный, нетранзитивный и нелинейный характер.Сергей БУФЕЕВ, учитель математики лицея №1580, победитель конкурса лучших учителей РФ и гранта Москвы