Осторожно, западня! Математические софизмы

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям “очевидности”. Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.
Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает необходимые в жизни навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает повторение ее в дальнейшем в других математических рассуждениях. Когда ребенок раз притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается этого не делать. Он будет много осторожнее. Так и изучающий математику впоследствии проявит больше осторожности, чтобы не повторить осознанную ошибку.
Далее, что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Когда изучающий математику разбирает софизм, он знает, что может попасть в западню, а поэтому старается обезвредить ее. Чтобы не попасть в ловушку, приходится очень внимательно продвигаться вперед и каждый шаг делать с большой осторожностью. Вопрос стоит так: кто кого подчинит себе, софизм ли разбирающего его, или наоборот. Значит, математические софизмы заставляют внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Все это нужно и полезно.
Наконец, разбор софизмов увлекателен. Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в ее правах. И чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет разбор его.
Если софизм “не поддается”, то надо обязательно обратиться за разъяснениями к учителю. Очень важно добиться отчетливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны и, может быть, даже вредны.
1. 4 руб. = 40000 коп. Возьмем верное равенство 2 руб. = 200 коп. и возведем его по частям в квадрат. Получится 4 руб. = 40000 коп. В чем ошибка?
2. 5 = 6. Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. 5(7 + 2 – 9) = 6(7 + 2 – 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель. Получим 5 = 6. В чем ошибка?
3. 2 . 2 = 5. Найди ошибку в следующих рассуждениях. Имеем числовое тождество: 4 : 4 = 5 : 5. Вынесем за скобки в каждой части этого тождества общий множитель. Получим 4(1 : 1) = 5(1 : 1). Числа в скобках равны. Поэтому 4 = 5, или 2 . 2 = 5.
4. 2 = 3. Найди ошибку в следующем “доказательстве”. Разности 4 – 10 и 9 – 15 равны. К каждой из них прибавим одно и то же число 25/4, тогда получим равные числа, значит, 4 – 10 + 25/4 = 9 – 15 + 25/4. Это тождество можно переписать в таком виде: (2 – 5/2)2 = (3 – 5/2)2. Отсюда: 2 – 5/2 = 3 – 5/2, или 2 = 3.
5. 5 = 1. Желая доказать, что 5 = 1, будем рассуждать так. Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3. Получим числа 2 и -2. При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Где ошибка?
6. 4 = 8. Возьмем систему уравнений:
2х + у = 8; х = 2 – у/2.
Решим эту систему способом подстановки. Получим: 4 – у + у = 8, т.е. 4 = 8. В чем здесь дело?
7. Все числа равны между собой. Попытаемся доказать, что все числа равны между собой. Пусть mn. Возьмем тождество: m2 – 2mn + n2 = n2 – 2nm + m2. Имеем (m – n)2 = (n – m)2. Отсюда m – n = n – m, или 2n = 2m, а значит, n = m. В чем ошибка?
8. Любое отличное от нуля число равно противоположному ему числу. Какая ошибка допущена в следующих рассуждениях? Возьмем произвольное, отличное от 0 число а. Обозначим его буквой х, х = а. Обе части этого равенства умножим на -4а. Получим -4ах = -4а2, или -4ах + 4а2 = 0. К обеим частям этого равенства прибавим х2. Получим х2 – 4ах + 4а2 = х2, или (х – 2а)2 = х2. Значит, х – 2а = х, но х = а, поэтому а – 2а = а, или
-а = а.
9. Любое число равно половине его. Возьмем два равных числа а и b, а = b. Обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из них по b2. Получим а2 – b2 = аb – b2, или (а + b) (а – b) = b(а – b). Отсюда а + b = b, или а + а = а, так как b = а. Значит, 2а = а, или а = а/2. Какая ошибка допущена в этих рассуждениях?
10. Отрицательное число больше положительного. Возьмем два положительных числа а и b. Сравним два отношения: а/-b и -а/b. Они равны, так как каждое из них равно -а/b. Можем составить пропорцию: а/-b = -а/b. Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то и предыдущий член второго отношения больше своего последующего. В нашем случае а > -b, следовательно, должно быть -а > b, т.е. отрицательное число больше положительного. В чем ошибка?
11. Любое число равно числу, в два раза большему его. Пусть а – какое угодно число. Возьмем тождество: а2 – а2 = а2 – а2. В левой части его вынесем а за скобки, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов. Тогда получим: (а – а)а = (а – а) (а + а). Упростив это тождество, получим а = 2а. В чем здесь ошибка?
12. Любое число равно нулю. Найди ошибку в таком рассуждении. Каково бы ни было число а, справедливы равенства: (+а)2 = а2 и (-а)2 = а2. Следовательно, (+а)2 = (-а)2, а значит, +а = -а, или а + а = 0, но тогда 2а = 0 и поэтому а = 0.
Из книги Ф. Нагибина “Математическая шкатулка”.