Наглядная интерпретация. Графическое решение уравнений на компьютере

Мы приводим результаты решения уравнения, левой частью которого является логарифмическая функция, а правой – показательная, причем с одинаковыми основаниями. Так как уравнения решались с помощью компьютера, это позволило проанализировать количество решений в зависимости от значения оснований вышеуказанных функций, что было бы невозможно при построении графиков вручную. О возможности существования трех корней в уравнении такого вида упоминается в учебнике по «Алгебре и началам анализа» для 11-го класса, авторы Н.Я. Виленкин и другие, но ни в одном школьном учебнике математики не приводятся графики, показывающие наличие трех корней. Поэтому у учеников создается впечатление, что уравнение данного вида всегда имеет не более одного решения.

Полностью публикация приведена в формате PDF:Скачать/Просмотреть(Для просмотра необходима программа Adobe Reader или ее произвольный аналог).

Используемые в приведенном здесь уравнении функции относятся к тем немногочисленным функциям, которые основательно изучаются в школе, и на их свойства часто опираются при решении различного рода задач. А тем не менее и они могут преподнести сюрпризы, если использовать только их графическую иллюстрацию решения, пренебрегая правилами исследования функций.

Вопросу решения уравнений графическими методами в школьном курсе математики отводится далеко не последнее место, причем делается это в течение всего времени изучения курса алгебры и начал анализа. К графической иллюстрации решения уравнений, систем уравнений, задач с параметрами и во многих других случаях активно обращаются авторы всех школьных учебников и многочисленных методических пособий. Не обойден вниманием этот метод и в задачах для сдачи ЕГЭ – и это, конечно, оправдано, как говорится, лучше один раз увидеть.

Однако, несмотря на такое внимание к данному вопросу, полного понимания о границах применения данного метода у учеников все-таки нет. Об этом красноречиво свидетельствуют результаты экзаменационных работ как в традиционной форме, так и в форме ЕГЭ. Поэтому мы решили еще раз обратиться к этой теме, тем более что будут рассмотрены функции, тщательно изучаемые в школе. Этот факт интересен тем, что даже в случаях, когда мы имеем дело с графиками хорошо знакомых функций, очень легко ошибиться, если не провести исследование методами высшей математики, а строить графики по точкам.

Итак, рассмотрим уравнение , графическое решение которого приведено на рис. 1.

Функция монотонно возрастает на всей области определения, скорость ее роста больше скорости роста функции , а значит, уравнение решений не имеет. Для всех оснований показательной и логарифмической функций картина принципиально не изменится. Другое дело при . Возьмем уравнение . Его решение изображено на рис. 2.

Так как показательная и логарифмическая функции с одинаковыми основаниями являются взаимообратными, то их графики симметричны относительно прямой , а значит, одно решение лежит на биссектрисе первого координатного угла. И вроде бы никаких других корней быть не должно, хотя утверждать это, конечно, мы не имеем права. Обе функции – логарифмическая и показательная – монотонно убывают на всей области определения, следовательно, решение может быть и не единственным.

Действительно, утверждать, что имеется одно решение, можно только тогда, когда одна функция монотонно убывает, а вторая монотонно возрастает. К сожалению, об этой теореме ребята часто забывают, полагаясь только на визуальное восприятие картины, и делают ошибки. Ведь при сдаче ЕГЭ им приходится решать уравнения, в которых один корень надо угадать, а потом доказать, что других корней нет, опираясь на свойства монотонных функций. Тем не менее в рассматриваемом случае решение все-таки одно.

Рассмотрим другое уравнение

Оно очень похоже на предыдущее, у него есть решение, лежащее на биссектрисе угла первой четверти, но при этом присутствует достаточно большой кусок, на котором графики фактически сливаются, как говорится, картина «замазана» и визуально никакого заключения сделать нельзя (рис.3). Возникает искушение провести аналогию с первым случаем и сделать вывод о единственном корне уравнения. Однако имеется еще два решения: и . Их легко проверить.

Возьмем еще одно аналогичное уравнение . Его графическое решение проиллюстрировано на рис. 4, на котором хорошо видно наличие трех корней. Вручную просчитать точки и построить графики второго и третьего уравнений просто нереально, именно по этой причине ученики не могут наглядно увидеть приведенную выше картину, построив графики самостоятельно. В данном случае все приведенные выше графические решения были получены с помощью компьютера.

Конечно же, возникает вопрос, при каком основании a в уравнении появляются три корня вместо одного? Используя численные методы решения уравнений, иными словами, опять же с помощью компьютера, мы получили приблизительный ответ. А несколько позже было получено и аналитическое решение: оказалось, что это происходит при .

Надо еще раз отметить, что получить правильные графические решения уравнений типа для малых оснований a без применения компьютера не представляется возможным. Поэтому у учеников, которые строят графики с гораздо большими основаниями, создается превратное впечатление о количестве корней, такого, казалось бы, хорошо знакомого им уравнения.

Итак, использование компьютера для построения некоторых трудоемких графиков разного вида функций в различных ситуациях, безусловно, помогает учителю полнее проиллюстрировать конкретную проблему, сведя затраты времени к минимуму, а школьникам легче в полном объеме разобраться в каждой конкретной задаче, требующей графической интерпретации.

Григорий АСТРАХАРЧИК, сотрудник политехнического университета Каталонии, Испания;

Нина АСТРАХАРЧИК, учитель математики Троицкого лицея, Московская область