Логика числа. О курсе математики для 1-го класса по системе Эльконина-Давыдова

Новая программа по математике для 1-го класса, которую издательство «Дрофа» выпускает в комплекте «Классическая начальная школа», представляет собой современный курс, опирающийся на деятельностный подход в обучении. Его успешность ни у кого не вызывает сомнения, однако реализация такого обучения, при котором учителю необходимо овладеть новыми содержанием, методами и приемами, новыми формами организации и общения детей между собой и учителю с детьми, становится одной из непреодолимых проблем.

Программа по математике «Классической начальной школы» выстроена на основе системы Д.Б.Эльконина – В.В.Давыдова, обладает всеми ее достоинствами, но при этом представлена в привычном для учителя объеме изучаемого материала, что не потребует от учителя дополнительных знаний и педагогических умений. Эта программа классическая в том смысле, что, во-первых, непреходящей ценностью в ней является ребенок, во-вторых, она опирается на труды классиков в психологии – Л.С.Выготского, А.Н.Леонтьева, П.Я.Гальперина, Д.Б.Эльконина, В.В.Давыдова и др., а в-третьих, демонстрирует исторический подход при изучении основного математического понятия – понятия числа.

Программа по математике построена как часть целостного курса в средней школе. Она фиксирует прежде всего содержание учебного предмета, определяя тем самым методы обучения, формы организации и общения детей, характер дидактических материалов и другие стороны учебного процесса.

Однако конструирование учебной программы предполагает не только отбор содержания, но и связь усваиваемых знаний и умений с психическим развитием ребенка.

На это нацелены активные методы обучения, при которых знания должны не даваться ребенку в готовом виде, а добываться им в совместной деятельности с другими детьми и учителем.

Преемственность в обучении требует уже в начальной школе рассматривать основное математическое понятие – понятие числа через понятие величины. Операцией, специфической для способа измерения величин, является «откладывание» единицы измерения (мерки) на измеряемой величине и счет таких откладываний. Число в этом случае является характеристикой величины и зависит не только от измеряемой величины, но и от выбранной мерки. Меняя условия, при которых с помощью практических действий решается задача измерения и обратная ей задача построения (воспроизведения) величины посредством «откладывания» мерок (единиц измерения), дети будут «выращивать» различные виды чисел, знакомясь с общепринятыми способами их обозначений.

Последовательность изучения величин, лежащих в основе понятия числа, определяется наличием специальных приборов для измерения – линейки (длина), мерного сосуда (вместимость, объем), весов (масса), транспортира (углы). Шкала каждого прибора – это числа, порядок которых отображает, как правило, ряд целых неотрицательных чисел. Изучение понятия величины завершается понятием площади, измерение которой производится вручную, так как отсутствует прибор со шкалой (палетка будет рассматриваться позже). Ученик, измеряя площадь, воспользуется уже известным ему рядом чисел, при этом он сможет не только сравнивать площади фигур по их числовым значениям, но и находить площадь по числовым значениям ее частей.

Основным средством, фиксирующим результаты сравнения величин, их сумму и разность, является схема или числовая прямая (числовой луч). Опора на графическую модель (схему), так же как и на знаковую (формулу), позволяет изучить отношения равенства-неравенства, частей и целого, которые служат основой при обучении решению текстовых задач и уравнений.

Для знакомства с десятичным принципом образования многозначных чисел дети вновь возвращаются к задаче измерения: сначала они измеряли длину, теперь будут измерять площадь. Измерение и построение величин по частям с помощью стандартной системы мерок (длины, площади) дает возможность перейти к табличной форме записи именованных чисел, позволяя сравнивать их между собой без построения самих величин. Замена системы стандартных мер системой с произвольной основной (исходной) меркой и постоянным отношением, кратным 10, позволяет «оторвать» число от числового значения величины (именованного числа) и рассмотреть двух-четырехзначные числа, как результат измерения величины любой системой мер с отношением 10. Осознав основной принцип образования многозначного числа (в пределах 3-4 разрядов), можно перейти к изучению сложения и вычитания многозначных чисел «столбиком».

Методика обучения действиям с многозначными числами опирается на использование моделей предметных (плоских геометрических фигур) и графических (отрезков). В ней обнаруживается основной принцип выполнения любого арифметического действия – принцип поразрядности. Анализируя его, нетрудно прийти к выводу: при поразрядном сложении сумма однозначных чисел (табличные случаи) может быть меньше десяти, равна или больше десяти. Определив, какие разряды при сложении двух (и более) многозначных чисел «переполняются», а какие – нет, можно (ничего не вычисляя) узнать, сколько цифр (знаков) получится в сумме, а затем уже вычислять цифру в каждом разряде.

Таким образом, определять количество цифр в результате действия дети будут не только при делении, как это принято, а при выполнении любого арифметического действия. Такой подход позволит значительно облегчить формирование прочных вычислительных навыков, т.к. не требует от ребенка постоянной перестройки и запоминания способов, отличающих одни вычисления от других.

Особое внимание уделено работе над приемами составления и запоминания таблиц сложения всех однозначных чисел. Формирование навыков табличного сложения и вычитания происходит на основе непроизвольного запоминания, которое является результатом исследования зависимости между изменяющимся слагаемым и цифрой в разряде единиц у двузначной суммы, которая получается при «переполнении» разряда:

9 + 4 = 13; 8 + 7 = 15 и т.п.

Овладев приемами письменных вычислений, дети переходят к составлению приемов устных вычислений, значительно раздвигая их рамки. Конструирование таких приемов и их обоснование опирается на свойства действия с использованием графических и предметных моделей.

Для того чтобы смысл одного из важнейших математических понятий – понятия умножения не был подвергнут «ревизии» в основной школе, мы рассматриваем его как особое действие, связанное с переходом в процессе измерения величин к новым меркам (В.В.Давыдов). Становится очевидным, что при таком предметном смысле действия умножения произведение может быть найдено разными способами, в зависимости от того, какие числа получились в результате измерений.

Таким образом, при введении понятия умножения мы пойдем не от суммы к произведению, а от произведения к сумме, что позволит задать общий (для всех видов чисел) смысл действия умножения.

Как и при изучении сложения и вычитания, изучение умножения и деления (как обратного действия) строится с опорой на графическую модель. Умение изображать отношения между компонентами действия с помощью схемы позволит ученику описать одно и то же отношение с помощью нескольких формул: а·b=с, с:a=b и c:b=а.

Такой подход к изучению умножения и деления, аналогичный подходу к изучению сложения и вычитания, дает возможность значительно упростить методы обучения решению текстовых задач, уравнений.

Геометрическая линия в рамках данной программы рассматривается без отрыва от числовой, являясь основой символического описания отношений между величинами и отношений между числами как характеристиками величин. Это значит, что различные геометрические фигуры (отрезок, прямоугольник, круг и т.д.) нужно использовать в качестве графических моделей. Это дает возможность осознать геометрические формы не только как образы предметов окружающего мира, но и как математические модели. Происходит перенос свойств одного образа на другой, что является основой для понимания математики и формирования общего умения решать задачи.

Следующей задачей является «конструирование» способа умножения многозначного числа на многозначное, в основе которого лежит умение умножать многозначное число на однозначное. Анализируя способ нахождения указанного произведения, дети приходят к необходимости знания результатов умножения однозначного числа на однозначное, т.е. к составлению таблицы умножения на множестве целых неотрицательных чисел, а не натуральных, как это принято.

Завершается изучение арифметических действий с многозначными числами «конструированием» деления многозначного числа на многозначное.

Учебник для 1-го класса, изданный «Дрофой», выстроен в соответствии с логикой развертывания содержания, подробно описанной в программе.

Новые понятия, в частности понятия величины и числа, вводятся через конкретно-практические задачи, в которых необходимо подобрать предмет, обладающий изучаемым свойством, а затем, если речь идет о величине, измерить ее соответствующей меркой. Результатом измерения всякий раз будет являться число.

Схематично логика изучения понятия числа и действий с ним может быть представлена так (см. схему).

Изучение каждого вида чисел в строго определенной логике позволит ученику на более поздних этапах освоения математики самостоятельно проектировать свое продвижение в предмете при условии осознания этой общей для всех видов чисел логики.

Именно в этом и есть смысл преемственности содержания и целостности школьного курса математики.

Характер заданий, их построение и подбор основаны на принципе составления обратной задачи по отношению к данной. Введение различных типов заданий позволяет не только учить ребенка думать, развивать интуицию, воображение, но и включать эмоции, ставить новые исследовательские задачи и создавать атмосферу сотворчества и соразмышления.

Предлагаемое математическое содержание позволяет организовать обучение в форме учебно-поисковой деятельности, которая, по своей сути, является коллективно распределенной. Необходимым условием такой деятельности является развертывание учебного диалога, который неизбежно приводит к интенсивному развитию речи. Решение одной и той же задачи разными группами детей позволяет сопоставлять и критически оценивать особенности их подходов, что в свою очередь рождает у детей взаимный интерес к работе друг друга.

С первых дней изучения математики от учеников требуется работать руками. Важно, чтобы, говоря о длине или ширине измерительной полоски, дети прошлись по ней пальчиком. Все действия с предметами должны осуществляться каждым ребенком, а не только выходящим к доске или, что еще хуже, самим учителем. Вся учебно-поисковая деятельность на первом году обучения связана с овладением способами сравнения по разным признакам различных предметов, окружающих ребенка, и с измерением величин. Это требует опоры на все органы чувств.

Особенности математического содержания и логика построения курса позволяют формировать такую учебную деятельность, при которой на первое место выходит организация коллективно распределенных, поисково-учебной форм деятельности и система отношений детей между собой и учителем, где каждый является соучастником увлекательного процесса обучения.

Следует отметить, что в комплекте с учебником для 1-го класса издаются также рабочая тетрадь для учащихся и методическое пособие «Книга для учителя».