Как решать задачи на совместную работу.

Решение задач на совместную работу является неотъемлемой частью изучения курса математики. Нередко с ними приходится сталкиваться и в повседневной жизни. Однако, как показывает практика, при решении подобных задач у учеников часто возникают трудности, связанные с непониманием смысла самой задачи. Данная статья расскажет как сделать материал более легким и доступным для понимания.

При таком подходе к решению задач на совместную работу у учеников начинаются сложности, связанные с непониманием смысла обозначения всей работы единицей, так как в реальной жизненной ситуации любая работа имеет некоторый объем, выраженный конкретным числом, обычно отличным от единицы. Условное принятие всей работы за 1 не способствует глубокому пониманию практического смысла задачи. Сомнение у детей вызывает и тот факт, что при этом производительность труда оказывается в их представлении дробным числом, меньшим единицы, потому что, как правило, время больше 1.

Чтобы избежать таких проблем при решении задач такого рода, можно предложить обозначить всю работу какой-либо постоянной А, отличной от 1. Тогда производительность будет равна А/t. Этот путь немного длиннее, но ребятам он более понятен, потому что выражает реальный смысл задачи. А в конце задачи введенная вспомогательная величина для работы уничтожится.

Покажем это на примере одной задачи, приведенной в книге В.С.Крамора “Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа”.

Задача 1. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только одна бригада, а заканчивала ремонт участка дороги вторая, производительность которой более высокая, чем у первой бригады. В результате ремонт заданного участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила 2/3 всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?

Решение. 1. Пусть вся работа может быть выполнена первой бригадой за х дней, а второй – за y дней. 2. Принимая работу за 1, ученики столкнутся со смысловой некорректностью, которая заключается в следующем: производительность труда первой бригады будет равна 1/х, а второй – 1/y. Возникает вопрос: в каких единицах измерить производительность? В дорогах на день? Очевидно нарушение физического смысла задачи. 3. Поэтому целесообразно обозначить всю работу (длину участка дороги) некоторой величиной А, измеряемой в километрах. Тогда производительность труда первой бригады равна А/х км/день, второй бригады – A/y км/день. 4. Составляем уравнение А/х. 18 + А/y. 18 = А. В дальнейшем введенная величина А, как видно, сокращается, но она несет при решении задачи важную смысловую нагрузку. Окончательное решение задачи достаточно несложное, и приводить его нет необходимости.

Иногда такой же подход, то есть принятие чего-либо за единицу, используется для обозначения производительности труда.

Рассмотрим более подробно решение задачи, предложенной в учебном пособии для 10-го класса И.Ф.Шарыгина “Факультативный курс по математике: Решение задач”.

Задача 2. Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определить число землекопов в каждой бригаде, если производительность у всех одинакова.

В указанном пособии предложено следующее решение задачи: неизвестные: х – количество землекопов первой бригады, y – второй бригады, t – время работы первой бригады. В этой задаче за 1 принимается производительность труда каждого землекопа.

Из условия задачи следует: xt = y(t + 1/2), xt = (x + 5)(t – 2).

Выражая t через x и y из одного уравнения и подставляя в другое, получим после упрощений: 4×2 – 4xy + 20x – 25y = 0.

При этом x и y – натуральные числа. Выразим y через x: y = 4×2 + 20x/4x + 25 = x – 5/4 + 125/4(4x+25).

Умножив последнее равенство на 4, получим: 4y = 4x – 5+ 125/(4x+25).

Из того, что x и y – натуральные числа, следует, что 4x + 25 является делителем 125. Значит, 4x+25=125. Отсюда следует, что x=25, y=24.

Нужно заметить, что данная задача является нестандартной, и поэтому предложенный способ решения достаточно сложный для понимания всех школьников. Составленные уравнения, в которых количество землекопов умножается с временем, вызывают некоторое недоумение у детей, и учителю необходимо приложить большое усилие, чтобы объяснить им целесообразность таких действий.

Предложим другой способ решения этой задачи. 1. Пусть объем всей работы (объем котлована) равен А куб.м. 2. Количество землекопов в первой бригаде – x человек, во второй бригаде – y человек. 3. Производительность труда одного землекопа равна B. 4. Первая бригада за час выполнит Bx часть всей работы, а вторая бригада – By. 5. Первая бригада потратит на всю работу A/Bx часов, вторая бригада – A/By часов. По условию A/By – A/Bx = 1/2. (1) 6. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она на всю работу потратила бы A/B(x+5) часов. Получаем еще одно уравнение A/Bx – A/B(x+5) = 2. (2) Умножив обе части уравнения (1) на 4, приравняем левые части уравнений (1) и (2). Получим равенство 4A/By – 4A/Bx = A/Bx – A/B(x+5). Вспомогательные переменные A и B в этом уравнении сокращаются, и получим уравнение 4/y = 5/x – 1/x + 5, которое решим способом выделения целой части дроби и учитывая, что x и y натуральные числа. 4/y = 5x + 25 – x/x(x + 5), 4/y = 4x + 25/x2 + 5x, y/4=x2 + 5x/4x + 25, y = 4(x2 + 5x)/4x + 25, y=4×2 + 25x-5x/4x + 25, y=x – 5x/4x + 25. Отсюда следует, что x=25, y=24.

При таком способе решения ученикам легко следить за ходом рассуждений, за составлением уравнений. Понятен им и физический смысл задачи, а это является важным моментом обучения детей решению задач, потому что если учащийся не поймет реальный смысл задачи, связь ее с практикой, то ему будет трудно понять и решение.

Кадыр Хабибуллин, кандидат педагогических наук, учитель математики и директор школы №12, Салават, Республика Башкортостан