Как построить пирамиду Хеопса? Урок геометрии в 8-м классе

Цель урока: формирование целостного мировоззрения обучающегося посредством включения учебного содержания тем «Подобие геометрических фигур» и «Соотношение между сторонами и углами треугольника» в общую систему знаний.

Продолжительность занятия 80 мин.Тип урока: комбинированный (обобщения и комплексного применения знаний). Второй урок цикла из четырех уроков, объединенных единой тематикой. Интегрирует предметы геометрия – черчение – изо – история Древнего мира.ЗадачиЛичностные: развитие критичности и креативности мышления; формирование умения контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.Метапредметные: формирование умений самостоятельно планировать альтернативные пути достижения цели; понимать и использовать математические средства наглядности для интерпретации, иллюстрации и аргументации; организовывать учебное сотрудничество; оценивать результат учебной деятельности; формирование информационной компетентности у учащихся.Предметные: усвоение системных знаний о плоских фигурах и их свойствах, а также на наглядном уровне – о простейших пространственных телах;  ввод формулы площади треугольника, умение применять  систематические знания для решения геометрических и практических задач; овладение геометрическим языком, умение использовать его для описания предметов окружающего мира, развитие пространственных представлений и изобразительных умений. Используемые учебники и учебные пособия 1. Рабочая программа по геометрии, 7-9 кл. к учебнику Геометрия, 7-9 кл.: Учеб. для общеобразовательных учреждений / Л.С.Атанасян и др. – М. : Просвещение.2. Геометрия, 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. Учреждений / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. – М. : Просвещение.Используемая методическая литература 1.  За страницами учебника геометрии. Пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений / Семенов Е.Е. – 2-е изд., перераб. – М. : Просвещение, 1999. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. / И.Я.Депман, Н.Я.Виленкин. –  2-е изд. – М. : Просвещение, 1999.2.  За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6-х кл. / И.Я. Депман, Н.Я.Виленкин. –  2-е изд. – М. : Просвещение, 1999.Используемое оборудование  1. Компьютерный кабинет с мультимедийным комплексом с  белой или интерактивной доской.2. Подключение к сети Интернет.3. Раздаточный материал (справочные материалы по Древнему Египту, историческая справка и шаблоны для работы с понятиями).4. Плотная бумага, ножницы, чертежные инструменты, угольник, двухсторонний скотч.Используемые ЦОР 1. Презентация, иллюстрирующая материалы урока.2. Электронная таблица Брадиса.3. ЦОР Карта Египта.4. ЦОР Ступенчатая пирамида Джосера.5. Электронная версия книги М.З.Гонейма «Потерянная пирамида». 6. Вики-статьи «Семь чудес света Древнего мира» и «Новые семь чудес света». Этапы урокаI. Мотивация учебной деятельности.II. Актуализация знаний (беседа о семи чудесах света Древнего мира и современных семи чудесах света, проверка уровня усвоения математического материала (тестирование).III. Работа с понятием (индивидуальная работа с шаблоном, фронтальная работа со слайдом и словарной статьей). IV. Постановка целей и задач урока (работа со слайдами «Что нужно знать и уметь» и «Что мы уже знаем и умеем»). V. Практическая работа (фронтальное выполнение расчетов параметров бумажной и масштабной моделей, построение развертки, сбор бумажной модели, измерение ее высоты).VI. Постановка задач на следующие уроки.VII. Домашнее задание.VIII. Рефлексия (работа со слайдом «Критерии оценивания постройки»).Технологическая карта урокаI этап. Мотивация учебной деятельности.Цель: организовать начало урока.Задачи:  Взаимное приветствие учащихся и учителя. Обеспечить положительный деловой и эмоциональный фон урока.Слово учителя: Здравствуйте, ребята! Я рада вас видеть. Сегодня на уроке мы с вами продолжим подводить итоги учебного года.Ученики приветствуют учителя.II этап. Актуализация знаний и формулировка темы урока.Цель: Формулировка темы урока.Задачи:  Проверить готовность учащихся использовать знания по свойствам подобных треугольников и тригонометрические функции. Сформулировать тему урока.Планируемые результатыМетапредметный. Овладение умением анализировать и сопоставлять информацию, выявлять главное.Предметный. Актуализация знаний по истории Древнего мира. Актуализация знаний по темам «Подобие треугольников» и «Тригонометрические функции». Личностный. Формирование общечеловеческой культуры.Слово учителя: Перед вами вопросы теста по темам «Подобие треугольников» и «Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника». На решение теста вам отводится 3 минуты.1-й слайд. Обменяйтесь в парах ответами. Сравните ответы своего напарника с ответами на слайде. Отметьте плюсами верные ответы, верните тест хозяину. Поднимите руку те, у кого пять верных ответов, четыре, три, меньше трех. Мы вспомнили закономерности, которые могут понадобиться нам на сегодняшнем уроке.2-й слайд. Перед вами семь изображений. Рассмотрите их, определите, что изображено на них. (Семь чудес света Древнего мира.)  Назовите  эти архитектурные сооружения. Проверим, верно ли вы их назвали. (Воспользоваться ссылкой на вики-статью.) А кто знает, какое событие произошло 7 июля 2007 года? Были названы новые семь чудес света (ссылка на вики-статью). Обратите внимание, что к ним почетным членом приписано одно чудо из первого списка. Почему именно это архитектурное сооружение, почему только это? (Оно единственное сохранилось с древних времен.)  Как же строили в те времена,  что время оказалось не властно над сооружением? Предлагаю вам сегодня ответить на вопрос: «Как построить нетленное чудо света?» 3-й слайд. Запишем тему в тетрадь. Деятельность учеников. Отвечают на вопросы теста. Производят взаимопроверку результатов тестирования. Слушают учителя, смотрят слайд презентации, отвечают на вопросы.III этап. Работа с понятием.Цель: формулировка определения понятия «пирамида».Задачи: выявить объем понятия «пирамида», сформированного  у учащихся. Расширение объема понятия.Планируемые результатыМетапредметный. Формирование мыслительных навыков, информационной компетентности у учащихся.Предметный. Выявление сходства между различными объектами, входящими в состав объема понятия «пирамида».Личностный. Расширение кругозора учащихся.Деятельность учителя4-й слайд. Для начала выясним, что же такое пирамида. Работаем с понятием по шаблону. Напоминаю, в левый столбец мы записываем ассоциации, связанные с понятием «пирамида», а именно однокоренные слова, сложные слова, словосочетания, афоризмы, устоявшиеся выражения. На эту работу вам дается 2 минуты.Обменяемся мнениями. Зачитайте содержимое столбца. Я заполню таблицу на слайде, дополните ваш левый столбец.Анализируем столбец «Ассоциации» и формулируем определение понятия «пирамида», на это вам 2 минуты.Зачитайте ваши определения. Я заполню таблицу на слайде.Сравним ваши определения со словарной статьей (по ссылке на вики-статью).Как вы думаете, чье определение наиболее близко смыслу словарной статьи?Деятельность учеников. Работают над понятием в готовых шаблонах: заполняют столбец «Ассоциации», затем «Определение». Отвечают на вопросы. Работают на ПК с вики-статьей по ссылке в парах или тройках.IV этап. Постановка целей и задач урока.Цель: формулировка целей и задач урока.Задачи: Проанализировать историческую справку. Выявить необходимые для дальнейшей работы знания и умения. Выявить уже имеющиеся знания и умения.Планируемые результатыМетапредметный.  Формирование мыслительных навыков.Предметный. Выявление особенностей технологии строительства и потребностей в математических знаниях.Личностный. Расширение кругозора учащихся.Деятельность учителя 5-й слайд. Чем  пирамиды были для египтян? Обратимся к исторической справке (перейти по ссылке). Как же жители Древнего Египта смогли построить такое архитектурное чудо? Не страшны ему оказались ни человеческие разрушительные усилия, ни время. Египтолог и археолог Мухаммед Закарий Гонейм, открыватель одной из первых построенных пирамид – пирамиды Джосера, производя раскопки в Долине пирамид, обнаружил сооружения, для постройки которых использовались различные способы каменной кладки.Обратите внимание на схему на слайде. На ней изображены типы кладок и размещение точек предварительного бурения, намеченные М.З.Гонеймом в начале раскопок, об этом он писал в своей книге «Потерянная пирамида» (воспользоваться ссылкой на электронную версию). В дальнейшем на территории храмового комплекса освободили от песка стену комплекса, пирамиду и различные вспомогательные постройки: для жертвоприношений, для совершения богослужений и др. Как вы думаете, какой тип кладки соответствует стене храмового комплекса, храмовым постройкам, пирамиде?Особенности кладки пирамиды и являются разгадкой ее устойчивости к внешним воздействиям.Анализируя итоги своих раскопок, Гонейм сделал вывод о том, что котлован пирамиды имел форму пирамиды с вершиной, направленной вниз, но с несколько иным наклоном боковых граней, а именно в 42 градуса.6-й слайд. Что же кроме этого нам нужно знать, чтобы построить масштабную модель древнеегипетской пирамиды? (Работа со слайдом, учитель записывает ответы детей на слайде.)7-й слайд. Что из этого нам уже известно, какими средствами мы с вами уже владеем? (Работа со слайдом, учитель записывает ответы детей на слайде.)Давайте сформулируем цели сегодняшнего этапа работы:1) вычислить параметры бумажной и каменной моделей пирамиды;2)  вычислить размеры котлована;3) вычислить количество стройматериала.Деятельность учеников. Читают историческую справку. Отвечают на вопросы учителя. Подбирают необходимые знания и умения, которые потребуются для расчетов и строительства. Формулируют цели.V этап. Практическая работа.Цель: вычислить параметры моделей.Задачи:  вычислить параметры бумажной модели. Собрать бумажную модель. Измерить ее высоту. Вычислить параметры каменной модели. Вычислить расход стройматериалов.Планируемые результатыМетапредметный. Формирование навыков работы со схемой.Предметный. Формирование навыков работы с понятийным аппаратом. Формирование вычислительных навыков.Личностный. Воспитание аккуратности и внимательности.Деятельность учителя 8-й слайд. Пирамиды – огромные архитектурные сооружения, их высота сравнима с высотой девятиэтажного дома. Измерять высоту пирамид неудобно, зато удобно измерить высоту боковой грани, т. е. апофему. Какие параметры реального объекта нам известны? Обратите внимание на слайд. (Длина стороны основания и апофема.)9-й слайд. Построим из бумаги подобную пирамиду, ее высоту мы сможем измерить.Для вычисления параметров бумажной модели воспользуемся правилом пропорции. Вспомним его. Итак, размеры оригинала, макет которого мы создаем: 233 метра – сторона основания, 187 метров – высота боковой грани.Макет с высотой боковой грани 7 см, тогда 187/7=233/х. Запишем в тетрадь и найдем неизвестный член пропорции.10-й слайд. Посмотрите, как выглядит развертка пирамиды. Построим ее на листе, не забудьте про припуски на склеивание, вырежем и соберем модель.11-й слайд. Измерим угольником высоту модели. 5,2 см.  12-й слайд. Вычислим угол наклона боковых граней всех пирамид. Чем для этого можно воспользоваться, почему? (Тригонометрическими функциями, например тангенсом, т. к. имеется прямоугольный треугольник, у которого известны катеты.)CB – половина длины стороны основания = 4,1 см.tg(ABC) = AC/CВ = 5,2/4,1 = 1,3Воспользуемся электронной таблицей Брадиса, РABC = 52 0Воспользуемся параметрами бумажной модели для вычисления параметров каменной.Дано: Высота пирамиды ЕО,углы EFO = 52 0 , GFO = 42 0Найти: АВ, OGРешение:OF = EO/tg(EFO)AB = OF · 2V (объем пирамиды) = (OE · AB2)/3v (объем «блока») = a · b · cКоличество «блоков» надземной части = V/vOG (глубина котлована) = OF · tg(GFO)13-й слайд. Вычислим.Произведите вычисления самостоятельно в тетради.Проверьте правильность ваших вычислений.Деятельность учеников.  Формулируют правило пропорции. Производят вычисления. Строят развертку, вырезают с припусками. Собирают модель. Подбирают соотношения для решения задачи. Выполняют вычисления. Проверяют правильность вычислений.VI этап. Постановка задач на следующие уроки. Домашнее задание. Цель: планирование работы на следующие уроки.Задачи:  определить круг задач на следующие уроки, дать домашнее задание.Планируемые результатыМетапредметный. Формирование способности анализировать проделанную работу и формулировать задачи своей деятельности в будущем.Предметный. Выявление математических закономерностей, которые потребуются в дальнейшей работе.Личностный. Формирование способности к целеполаганию.Учитель: Итак, наши вычисления закончены. Что еще предстоит сделать на следующих уроках?14-й слайд. Проверьте мой список, что забыла я, о чем не вспомнили вы?Исходя из задач на следующие уроки, вы получаете такое домашнее задание:1. Выполнить вычисления количества стройматериала для фундамента.2. Выяснить высоту пирамиды Хеопса двумя способами (используя подобие и тригонометрические функции).3. Выполнить вычисление параметров для бумажной модели с высотой боковой грани 10 см и масштабной модели высотой 1,5 м.Запишите задание в тетрадь.Деятельность учениковОпределяют круг задач.Возможные варианты ответов детей:1. Вычислить количество стройматериалов на фундамент.2. Подобрать место строительства и подготовить площадку, подготовить стройматериалы.3. Сориентировать постройку по сторонам света.4. Вырыть котлован найденной глубины квадратного сечения в форме пирамиды с вершиной, направленной вниз.5. 119 «блоков» уложить в пирамиду, соблюдая технологию.Записывают домашнее задание.VI этап. Рефлексия. Цель: проанализировать итоги урока.Задачи:  анализ итогов урока, составление таблицы критериев оценивания будущей постройки.Планируемые результатыМетапредметный и личностный. Формирование навыков самооценки.Учитель: Подведем итоги нашего урока. Как вы думаете, все ли у нас будет готово к строительству после выполнения вами домашнего задания?Давайте еще раз повторим, что мы сделали сегодня и чем при этом пользовались?И еще раз, чтобы не забыть, что нам осталось сделать?Как мы с вами поймем, что построенная через два урока пирамида именно такая, какую мы хотим получить?15-й слайд. Составим таблицу критериев оценивания постройки. (Учащие предлагают критерии, учитель заполняет таблицу.)  Проранжируем наши критерии, самое важное поставим на первое место, менее важное – на последующие. Этот этап нашей работы подходит к концу. Спасибо за работу. До встречи на стройплощадке. Деятельность учеников.  Называют этапы урока и математические знания и умения, которые использовались. Подбирают критерии оценивания. Например, соответствие заявленным размерам, устойчивость, соблюдение ориентации, соблюдение технологии изготовления. Ранжируют критерии.Историческая справкаБольшая пирамида Хуфу (Хеопса) 233 метра в каждой стороне основания, 187 метров высота боковой грани, сложенная из 2300000 каменных блоков, каждый из которых весит в среднем 2,5 тонны. Никакая из сторон пирамиды не отличается от других по длине более чем на 20 сантиметров. Вся структура в целом сориентирована по сторонам света. До XIX столетия это было самое высокое строение в мире. Ему 4500 лет. Это единственное из знаменитых «Семи чудес Древнего мира», которое сохранилось до наших времен.Постройка пирамиды стоила невероятных трудов. Никакой механизации в то время еще не существовало. Инструменты для обработки камня делались из красной меди и быстро тупились. Каменные блоки и плиты, а их понадобилось миллионы и миллионы, изготавливались ужасающим своей трудоемкостью способом. На скале по контуру будущей плиты медными сверлами, под которые непрерывно подсыпался песок и подливалась вода, сверлились глубокие отверстия. В них загоняли деревянные клинья, которые поливали водой. Дерево набухало и отрывало глыбу от скалы. Глыбу обтесывали медными зубилами и шлифовали. И можно только удивляться точности обтески и шлифовки камней, которой достигали древние, имея такую технику. Камни пирамиды так пригнаны, что между ними невозможно просунуть даже лезвие ножа. В 820 году н. э. арабский халиф Абдулла Аль Манум решил отыскать сокровища Хуфу.  Его подчиненные потратили много труда и времени, обнаружили множество помещений и галерей, в которых, к сожалению, не оказалось золота и драгоценностей.Арабы, как будто желая отомстить за отсутствие сокровищ, попытались разобрать Большую пирамиду и отправить ее в качестве строительного материала в Каир, но, после того как они сняли сверху пирамиды около 10 метров камня, они оставили эту невозможную задачу. Таблица для работы с понятием по шаблону: Что мы знаем об этом?  Презентация к занятию опубликована на сайте «Учительской газеты» http://www.ug.ru/method_article/740 ​Наталия КИРИЛЛОВА, учитель математики и информатики средней школы №8 с углубленным изучением математики и английского языка города Боровичи Новгородской области