Да, были люди в наше время! Приемы быстрых вычислений

Большинство наших детей считают плохо. То ли думать им лень (зачем загружать себя лишней работой, если есть калькуляторы), то ли в свое время этому никто не научил. Приемов рациональных вычислений в учебниках практически нет. Сложные формулы и алгоритмы школьной программы все дальше и дальше уводят учеников от простых, понятных и нужных навыков устного счета.

Об этом я еще раз задумался, читая письмо учителя-гуманитария Расторгуева В.М. из села Чемеево Чувашской республики, адресованное в “УГ”. Вот некоторые выдержки, касающиеся способов быстрого счета, предлагаемых им. “Этому приему научил нас во время войны эвакуированный с Украины математик Тимошенко, – пишет учитель. – Вот как просто можно умножать числа от 10 до 20. К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел. Например, 16╥18 = (16+8)╥10 + 6╥8 = 288, или 172 = (17+7)╥10 + 7╥7 = 289”. Способ математика-фронтовика отличается от тех “рациональных вычислений”, которым обучают детей в начальной школе. Первый пример они выполняют совсем по-другому. Сначала число 16 представляют в виде “суммы удобных слагаемых”, потом выполняют последовательные вычисления, используя распределительный закон умножения относительно сложения: (10+6)╥18 = 10╥18 + 6╥18 = 180 + 108 = 288. Похожим способом ученики выполнили бы и второй пример. Так считают не только ученики, но и учителя. Рациональным приемам устного счета в институте не учат. Вся школьная вычислительная математика – проекция “научных основ школьного курса математики” (есть такой предмет в педагогическом вузе). Подобным “мелочам” не остается места в серьезном вузовском курсе. И напрасно. Сравнивая вычисления Тимошенко и методические каноны школьных учебников, убеждаешься, что его решения проще и понятнее, ближе к детской психологии и восприятию ребенка, как сказали бы сейчас. Используя описанный прием, ученик умножает на 10 и применяет таблицу умножения, т.е. выполняет довольно простые мыслительные операции.
И еще один пример из письма. Для того чтобы умножить какое-нибудь число на 25, надо узнать, сколько получится сотен в произведении. “Для этого данное число делим на 4. Ответ – полные сотни, остаток – неполная (1, 2, 3 или 25, 50, 75). Например: 135╥25 = (135:4 = 100:4 + 35:4) = 33 сотни, остаток 3 (или неполная сотня – 75) = 3375”.
Эти действия можно объяснить ученикам так. Для того чтобы умножить какое-нибудь число на 25, поделим его на 4 следующим образом: сначала полную сотню, а потом количество оставшихся единиц (с остатком). Полученные результаты деления сложим. В данном примере эта сумма равна 33 = 25+8. (Она дает первые две цифры числа). Остаток равен 3, что соответствует 75 (это две последние цифры произведения). Предложите ученикам указанные способы, и вы убедитесь, как быстро они их усвоят, а потом с удовольствием будут демонстрировать друзьям и родителям умения быстрого счета.
В учебной литературе описываются и другие способы быстрого счета. Например, возведение в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5. Всякое число с пятеркой на конце можно представить в следующем виде: 10a + 5, где a – количество десятков в числе. Возведем 10a + 5 в квадрат. (10a + 5)2 = 100a2 + 2╥5╥10a + 25 = 100a2 + 100a + 25 = a(a + 1)╥100 + 25. Таким образом, для того, чтобы возвести в квадрат число, надо найти значение выражения a(a + 1)╥100 + 25. Поясним полученный вывод на примере, а затем сформулируем правило для детей. 1852 = 18╥19╥100 + 25 = 34225. Количество десятков в числе 185 равно 18.18 умножается на число на 1 большее его, т.е. на 19. А дальше это произведение умножается на 100 и к результату прибавляется 25. Кстати, при умножении 18 на 19 можно использовать все тот же счет, предложенный Расторгуевым. А ученикам объясним правило возведения числа, оканчивающегося пятеркой, в квадрат так: “Для того чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся на 5, надо найти значение выражения 100 х количество десятков числа х (количество десятков +1) + 25”.
Приемы быстрого устного счета известны давно. Великолепные способности к устному счету таких блестящих математиков, как Гаусс, фон Нейман, Эйлер или Валлис, вызывают настоящий восторг. Об этом тоже много написано. Учителю иногда полезно рассказывать и показывать известные вычислительные секреты. Тогда перед учениками откроется совсем другая математика. Живая, полезная и понятная.

Алексей АЗЕВИЧ