На чтение: ≈ 5 мин.Школьники интересуются возможностью удивить своих товарищей и знакомых, в том числе и с помощью числовых фокусов. Вот некоторые из них.
“Сразу – сумму”
На доске написано пятизначное число. Два школьника подходят к доске. Первый пишет любое пятизначное число, второй пишет свое число. Потом первый пишет еще одно пятизначное число, а второй – свое число, а затем они поступают так же еще и в третий раз. После этого второй школьник сразу пишет сумму всех написанных на доске чисел. Советуем здесь ненадолго отложить чтение и попытаться самим определить, как это делается. Говорят, что так учился в институте Э. Ферми: смотрел на условие теоремы, затем закрывал книгу, пробовал доказать ее самостоятельно и сверял итоги. Трудоемко, конечно, но итог такого обучения соответствует затратам.
Секрет фокуса заключается в следующем. Каждый раз, после того как первый школьник писал свое число, второй записывал число, цифры которого служили дополнениями до 9 к стоящей на том же месте цифре первого числа (если первый написал 29437, то второй – 70562). Сумма двух таких чисел всегда равна 99999. Поэтому после трех раз будет (кроме заданного первого числа) шесть чисел, сумма которых равна 3 ╥ 99999 = 300000 – 3. Значит, надо приписать к первоначально написанному на доске пятизначному числу впереди цифру 3, а из полученного числа вычесть 3.
Чтобы зрителям было труднее разгадать фокус, можно уменьшить первую цифру какого-нибудь числа на несколько единиц и на столько же единиц уменьшить соответствующую цифру в сумме.
Любопытное свойство натуральных чисел
Возьмем любое число из 4 цифр (например, 2365) и расставим их сначала в порядке возрастания (2356), затем убывания (6532). Из большего числа вычтем меньшее: 6532-2356 = 4176. С полученным числом проделаем то же самое: 7641 – 1467 = 6174. Далее: 7641 – 1467 – опять 6174. Интересно то, что к этому числу не более чем за 7 шагов мы приходим вышеуказанным способом от любого взятого наугад четырехзначного числа!
Задание. Попробуйте проверить устно это свойство для выбранных вами семи четырехзначных чисел.
Игра “До 17” или “Битва чисел”
В этой игре участвуют двое. Первый называет какое-либо натуральное число – от 1 до 10. Второй может прибавить к этому свое число и передает ход первому и т.д. Выигрывает тот, кто первый получит и назовет заранее условленное число, скажем 101.
В большинстве случаев у первого игрока есть обеспечивающий ему выигрыш способ игры. Попробуйте его найти.
Вариант игры: разрешается прибавлять числа от 1 до 17. Как изменится ваш подход в этом случае?
Забавы “Магницкого”
В первом российском печатном учебнике по математике, в “Арифметике” Леонтия Филипповича Магницкого, забавы составляют особый раздел: “О утешных некиих действах, через арифметику употребляемых”. Автор пишет, что помещает его в свою книгу для утехи и особенно для изощрения ума учащихся.
“День недели” по Л.Ф. Магницкому
Считаем дни недели, начиная с воскресенья: первый, второй, третий и так далее – до седьмого (субботы). Кто-нибудь задумал день. Нужно угадать, какой день он задумал. Пусть задуман четверг – пятый день. Угадывающий предлагает выполнить про себя следующие действия:
1) умножить номер задуманного дня на 2: 5 ╥ 2 = 10;
2) прибавить к произведению 5: 10 + 5 = 15;
3) умножить сумму на 5: 15 ╥ 5 = 75;
4) приписать к произведению нуль – и назвать результат: 750.
От этого числа угадывающий вычитает 250 и получает: 750 – 250 = 500.
Был задуман пятый день недели – четверг.
“Сиртаки”
Ведущий предлагает классу начальное число и просит сложить, затем вычесть, умножить, поделить его на другое число, а в итоге – на третье и т. п. так, чтобы очередной итог был целым числом; сложность (объемность, необычность) вычислений постепенно увеличивалась; время на “единицу вычисления” постепенно снижалось.
Ответ называют вместе все, кто успевает за ведущим. Кто не успевает – переходит в “болельщики”. Продолжаем, пока сохраняется хотя бы один успевающий.
Дмитрий ГОНЧАР,
преподаватель МФТИ
Москва
Выбор читателей
Комментарии