Что восхитило Гюйгенса? Урок на тему «Знакомство с применением производных к решению различных задач»

В этом номере «Методической кухни» мы продолжаем публикацию уникальных сценариев уроков лауреатов и победителей конкурса «Учитель года России-2007». На этот раз в рубрике «Мастер-класс» своими подходами к проблеме подачи нового материала поделятся учитель года России-2007 математик Дмитрий Гущин, учитель французского языка Татьяна Быкова, химик Алексей Волков.

Полностью публикация приведена в формате PDF:Скачать/Просмотреть(Для просмотра необходима программа Adobe Reader или ее произвольный аналог).

Цели урока

Познавательная: Познакомить учащихся с различными приложениями производной.

Развивающие: Развитие грамотной математической речи, развитие умений предположить, оценить правдоподобность данных, анализировать, выделять главное, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать.

Воспитательные: Формировать умение работать в команде, уважение к мнению другого, аккуратность, ответственность.

Оборудование: Компьютер, проектор.

Ход урока

Подготовка к изучению нового материала. Устная работа с классом. Задания с примерами и контрпримерами демонстрируются на экране.

Среди приведенных ниже утверждений есть верные, а есть неверные. Отметьте для каждого утверждения, к какой группе оно относится. Обоснуйте свой выбор.

1. Касательная к графику функции может быть параллельна оси абсцисс.

2. Касательная к графику функции может быть перпендикулярна оси абсцисс.

3. В точке экстремума производная функции равна нулю.

4. Если производная функции в точке равна нулю, то это точка экстремума.

5. Промежуток, в каждой точке которого производная функции положительна, является промежутком, на котором функция возрастает.

6. Промежуток, на котором функция убывает, является промежутком, в каждой точке которого производная функции отрицательна.

7. Сумма двух возрастающих функций есть возрастающая функция.

8. Наименьшим значением функции называется ее значение в точке минимума.

Изучение нового материала. Школьники работают в группах по 5 человек с раздаточным материалом (см. материал для учащихся, распечатывается на отдельном листе). После пятиминутного обсуждения в группах материал демонстрируется на экране, представитель каждой группы выступает с комментариями.

Подведение итогов урока. Обсуждение эпиграфа к уроку, учащиеся формулируют ответ на вопрос «Что восхитило Гюйгенса?» Раздаются верные решения обсуждавшихся задач и домашнее задание (см. конспект для учащихся).

Материал для учащихся

Приведенные ниже рассуждения иллюстрируют применение производной к решению самых разных задач. В каждом из этих решений или доказательств допущены логические ошибки. Найдите и исправьте их.

1. Исследование функции

на монотонность.

Установим промежутки возрастания и убывания функции . Производная заданной функции есть . Производная положительна при , поэтому функция возрастает на луче . При производная отрицательна, поэтому функция убывает на луче .

2. Доказательство

тождеств.

Для всех значений переменной верно равенство

Действительно,

. Поскольку производная тождественно равна нулю, сумма арксинуса и арккосинуса есть число, которое осталось найти. Так как оно одинаково для всех , можно подставить, например, , и получим .

3. Сравнение чисел.

Сравним числа

Пусть , тогда заданные числа – значения и , которые и осталось сравнить. Функция неубывающая, так как

при всех , и тогда

. Первое число больше.

4. Определение

количества корней

уравнений.

Определим, сколько корней имеет уравнение . Найдем количество корней уравнения , равносильного исходному. Пусть и . Тогда для всех отличных от нуля значений переменной ,

. Поэтому левая часть уравнения – возрастающая функция, а правая часть – убывающая функция. Графики разномонотонных функций пересекаются только в одной точке, поэтому уравнение имеет только одно решение.

5. Доказательство

неравенств.

Докажем неравенство:

. Докажем, что функция не принимает отрицательных значений. Действительно, найдем производную и заметим, что она обращается в нуль при , отрицательна при и положительна при . Тогда – точка минимума, и, значит, при функция достигает наименьшего значения. Итак, – самое малое значение функции, при прочих значениях ее значения будут больше, что и доказывает неравенство , а вместе с ним и исходное неравенство.

Конспект

Я вижу с удивлением и восхищением обширность и плодовитость нового метода. Куда бы я ни обратил свой взор, я замечаю для него новые приложения, я предвижу его бесконечное развитие и прогресс.

Христиан Гюйгенс

функции на монотонность.

Установим промежутки возрастания и убывания функции .

Данная функция определена на открытом луче . Производная функции есть . Она положительна при и отрицательна при . Поэтому функция возрастает на луче и убывает на полуинтервале .

Докажем равенство

. Поскольку производная тождественно равна нулю на интервале , сумма арксинуса и арккосинуса на этом интервале есть число. Так как оно одинаково для всех из этого интервала, можно подставить, например, , что даст . Осталось проверить, что в точках -1 и 1, где производная не определена, сумма арксинуса и арккосинуса также равна . Это сразу следует из равенств

Сравним числа и .

Пусть , тогда заданные числа – значения и , которые и осталось сравнить. Функция неубывающая, так как

при всех . Тогда , поскольку числа и различны, что следует, например, из того, что синусы аргументов, отличающихся на 1 радиан, не могут отличаться на 1. Первое число больше.

Замечание. Можно было бы воспользоваться следующей теоремой: если производная функции положительна на некотором промежутке и обращается в нуль лишь в отдельных точках этого промежутка, то функция возрастает (строго возрастает) на этом промежутке.

Найдем количество корней уравнения , равносильного исходному. Пусть и . Тогда для всех отличных от нуля значений переменной

. Поэтому левая часть уравнения – возрастающая функция, а правая часть – убывающая на промежутках и функция. Графики разномонотонных функций либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке. В нашем случае они не пересекаются на отрицательной полуоси и пересекаются в единственной точке на положительной полуоси. Поэтому уравнение имеет только одно решение.

Докажем неравенство .

Докажем, что функция не принимает отрицательных значений. Действительно, найдем производную и заметим, что она имеет единственный корень , отрицательна на и положительна на . Тогда – точка минимума, и поскольку заданная функция непрерывна, при она достигает наименьшего значения. Итак, – самое малое значение функции, при прочих значениях ее значения будут больше, что и доказывает неравенство , а вместе с ним и исходное неравенство.

6. Приближенные

вычисления.

Найдем приближенное значение числа .

Для приближенного вычисления величины поступим следующим образом: найдем уравнение касательной к графику функции в его точке с абсциссой 1. Уравнение касательной имеет вид

в нашем случае , откуда . Вблизи точки касания график функции мало отличается от графика касательной, поэтому справедливо приближенное равенство

Решите самостоятельно

1. Определите промежутки возрастания и убывания функции .

2. Докажите тождество

3. Сравните числа:

а)

и ; б)

4. Определите количество корней уравнения

5. Докажите неравенство .

6. Вычислите приближенное значение величины .

Дмитрий ГУЩИН, учитель математики Петергофской гимназии императора Александра II, учитель года России-2007, Санкт-Петербург