Жил-был параллелограмм Геометрическая сказка с заданиями. Итоговый урок по теме “Четырехугольники”

Цель урока: обобщение и закрепление материала по теме “Четырехугольники”.

Жил-был король Параллелограмм. И было у него три сына. Все они были одинаково умны и красивы, добры и милосердны. Все обладали теми же свойствами, что и отец король. (Вопрос: знаете, как звали сыновей? Ответ: Прямоугольник, Ромб и Квадрат).
Стар стал король, решил он оставить свое королевство одному из сыновей. Призвал он всех их к себе и говорит: “Всех я вас люблю, все вы мне дороги, но государство нельзя делить на части. Если один из вас сможет доказать, что он обладает большим числом достоинств, я доверю государство ему, двое других будут его помощниками”.
Прямоугольник: “Я, как и ты, отец, параллелограмм. Мои углы подчиняются тем же свойствам, но только для моих углов необходимо еще одно условие. (Вопрос: знаете ли вы, каким свойствам подчиняются мои углы? Ответ: у параллелограмма противолежащие углы равны. У прямоугольника все углы по 90). Мои диагонали тоже подчиняются тем же свойствам, что и твои, но для них есть еще одно особое условие. Каким свойствам подчиняются диагонали прямоугольника? (Ответ: диагонали прямоугольника пересекаются в одной точке, и ею они делятся пополам. Диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника. Диагонали прямоугольника равны). И стороны мои обладают теми же свойствами, что и твои. (Вопрос: какими свойствами обладают стороны прямоугольника? Ответ: противолежащие стороны равны и параллельны). Я думаю, что перечислил все, на что способен”.
Ромб: “Я внимательно слушал своего брата и хочу сказать, что некоторые наши свойства совпадают. Какие свойства прямоугольника и ромба совпадают? (Ответ: противолежащие стороны равны и параллельны; противолежащие углы равны; диагонали пересекаются в одной точке и в точке пересечения делятся пополам; диагональ ромба делит ромб на два равных треугольника). Мои стороны подчиняются еще одному условию. (Вопрос: какое условие необходимо выполнить, чтобы параллелограмм был ромбом? Ответ: у ромба все стороны равны). Мои диагонали подчиняются еще более жесткому условию, чем у прямоугольника и параллелограмма. (Вопрос: каким свойством обладают диагонали ромба? Ответ: диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов). Мне кажется, и я перечислил все свои свойства”.
Квадрат: “Я не хочу быть хвастливым, но думаю, что все-таки у меня есть еще свойство, которым я отличаюсь от вас всех. Я очень внимательно слушал отца Параллелограмма и братьев Ромба и Прямоугольника и заметил, что об одном свойстве все почему-то забыли. (Вопрос: какое свойство забыли назвать предыдущие фигуры? Ответ: Прямоугольник, Параллелограмм и Ромб имеют центр симметрии).
Я заметил, что, хотя мы все братья и все мы параллелограммы, одним свойством мы отличаемся от своего отца. Чего нет у параллелограмма, но есть у прямоугольника, ромба и квадрата? (Ответ: осей симметрии). У моих братьев одинаковое количество осей симметрии. (Вопрос: сколько осей симметрии у прямоугольника и ромба? Ответ: У прямоугольника и ромба по две оси симметрии). У меня же их больше. (Вопрос: сколько осей симметрии у квадрата? Ответ: у квадрата четыре оси симметрии). А в остальном я ничем не отличаюсь от своих братьев, потому что подчиняюсь тем же законам и обладаю теми же свойствами. Решать тебе, отец, кому оставить государство”.
Задумался король. Трудная задача из достойных выбрать самого достойного. Думал он, думал и принял такое решение: пусть каждый сын правит государством равное число лет. И сыновьям не обидно, и королю спокойно. Как вы считаете, верное решение принял король?
А теперь порешаем задачи.

Задачи к уроку
Задача N1: Периметр параллелограмма равен 48 см. Чему равны его стороны, если одна в два раза больше другой?

Решение.
Дано:
ABCD – параллелограмм.
AD = 2 AB.
P = 48 см.
Найти: AB и AD.
Решение:
P = 2AB + 2AD (т.к. у параллелограмма противолежащие стороны равны).
48 = 2AB + 2(2AB) = 2AB + 4AB = 6AB (по условию).
AB = 48 : 6 = 8 см, AD = 2 ╥ 8 = 16 см.
Ответ: 8 см и 16 см.

Задача N 2: Один из углов параллелограмма в пять раз больше другого. Найти углы параллелограмма.

Решение:
Дано:
ABCD – параллелограмм.
РA = x,
РD = 5x.
Найти: РA и РD.
Решение:
Т.к. BC II CD (как противолежащие стороны параллелограмма),
то РA + РD = 1800 (сумма односторонних углов).
x + 5x = 1800, 6x = 1800, х = 1800: 6, х = 300 (РA).
РD = 300 ╥ 5 = 1500.
Ответ: 300 и 1500.

Задача N 3: Середины сторон параллелограмма соединили последовательно. Определить вид полученного четырехугольника.

Решение:
Дано:
ABCD – параллелограмм.
M, N, P, K – середины сторон.
Определить вид четырехугольника.
Решение:
Рассм. ABC и ACD. MN и KP –
средние линии треугольников ABC и ACD.
AC – общая, поэтому MN = KP. Мы знаем, что MN II AC и КР II АС.
Рассм. ВСD и BAD. MK и NP – средние линии ВCD и BAD. BD – общая, поэтому NP = MK. Мы знаем, что NP II BD и МК II BD. Четырехугольник MNPK – параллелограмм, т.к. его противолежащие стороны равны и параллельны.

Задача N 4: Меньшая диагональ ромба равна его стороне. Найти острый угол ромба.

Решение:
Дано:
ABCD – ромб.
BD = AD
Найти РA
Рассм. ABD. AB = AD (как стороны ромба), т.к. BD равна стороне ромба, то ABD – равносторонний. РA = 600, т.к. у равносторонних треугольников все углы равны 600.
Ответ: угол А = 600.

Задача N 5: Обладает ли трапеция свойствами параллелограмма?
Ответ. Нет. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны и называются основаниями, а две другие – нет. Из определения трапеции следует, что те свойства параллелограмма, которые связаны со сторонами и углами, нельзя применить к трапеции. То же самое можно сказать о диагоналях трапеции. Несмотря на то, что диагонали трапеции пересекаются, они только в частном случае могут делиться пополам.

Задача N 6: Средняя линия трапеции равна 24 см, а меньшее основание в 3 раза меньше большего основания. Найти основания трапеции.

Решение:
Дано:
ABCD – трапеция.
MN – средняя линия.
MN = 24 см.
AD и BC – основания.
AD = 3 BC.
Найти: BC и AD.
Решение:
MN = (BC + AD)/2 = (BC + 3BC)/2 = 4 BC/2 = 2 BC.
24 = 2 BC, BC = 12 см, AD = 3 ╥ 12 = 36 см.
Ответ: 12 см и 36 см.
Таисия БАТАЕВА,
учитель математики
Юрьевской средней школы
село Юрьевка,
Губкинский район,
Белгородская область