Зачем математику мыльные пузыри? Нестандартный подход к решению олимпиадных задач

Когда-то геометрия олицетворяла всю математику. Но наука не стоит на месте. Многое изменилось с тех пор. К сожалению, многие интересные темы убираются из школьного курса математики или значительно сокращаются, однако они присутствуют в математических олимпиадах.Олимпиада – это состязание, которое призвано укрепить веру ученика в себя и зажечь в нем научный энтузиазм. Готовя учащихся к участию в школьных и городских олимпиадах, я обратила свое внимание на то, что последнее время в них обязательно присутствуют геометрические задачи с использованием понятия «радикальная ось». Мне захотелось изучить это понятие и использовать при решении задач.

Если посмотреть на мыльный пузырь сверху, то будет видна просто окружность (рис. 1). Сталкиваясь, мыльные пузыри «слипаются», временно образуя «двойной пузырь». Если пузыри имеют одинаковый размер, общая для них стенка будет плоской, если исходные пузыри разных размеров, стенка будет иметь форму сегмента сферы (рис. 2).Вы можете спросить: при чем здесь мыльные пузыри? Такой подход к решению олимпиадных задач, на мой взгляд, заинтересовывает учащихся, помогает изучить понятие «радикальная ось»  и научиться использовать эти объекты при решении задач.Дадим определение степени точки относительно окружности.Определение 1. Степенью точки М относительно окружности  будем называть число  deg(M,w)=MO2-R2 (рис. 3).Как видно из определения, степень точки положительна, если она лежит вне окружности, равна нулю, если точка лежит на окружности, и отрицательна, если точка лежит внутри окружности.Даны две окружности  и  . Рассмотрим и исследуем множество точек, имеющих относительно этих окружностей одинаковую степень. Для этого дадим определение.Определение 2. Радикальной осью двух окружностей называется множество точек, степени которых относительно этих окружностей равны:deg(M,w1)= deg(M,w2) (рис. 4).Свойство радикальной оси: для любых двух неконцентрических окружностей существует радикальная ось, которая является прямой, перпендикулярной к линии центров этих окружностей. Определение 3. Радикальным центром трех окружностей называется точка, степень которой относительно этих окружностей одинакова:deg(M,w1)= deg(M,w2)=deg(M,w3).Задача 1. Три окружности попарно пересекаются в точках А и В, С и D, Е и F. Докажем, что прямые АВ, CD и EF пересекаются в одной точке.И снова нам помогут мыльные пузыри. В качестве иллюстрации к этому решению можно привести три примыкающих друг к другу пузыря (рис. 5).Доказательство. Прямая АВ – общая хорда окружностей с центрами и , поэтому является их радикальной осью. Аналогично для хорд CD и EF. Таким образом, все  три  хорды являются радикальными осями, которые пересекаются в одной точке – радикальном центре трех окружностей. Что и требовалось доказать (рис. 6).Это решение можно пересказать, используя не понятие степени, а теорему об отрезках двух секущих (рис. 7)Вывод. Из данной задачи можно сформулировать теорему: если центры трех окружностей не лежат на одной прямой, тогда их радикальные оси пересекаются в одной точке. Эту точку называют радикальным центром трех окружностей.Задача 2. (Математическая олимпиада США, 1997 год)На сторонах треугольника АВС во внешнюю границу построены равнобедренные треугольники ВСD, CAE и ABF. Докажите, что прямые, проходящие через точки А, В и С перпендикулярно EF, FD и DE, соответственно пересекаются в одной точке. Доказательство. У нас есть три прямые, которые должны пересекаться в одной точке. В задаче 1 эти прямые являются радикальными осями окружностей, а тут ни слова про окружности нет. Но если присмотреться, то окружности есть, и центры этих окружностей – точки F, D и E – являются вершинами равнобедренных треугольников, а FA, DB и EC – радиусами этих окружностей (рис. 8).Теперь решение задачи становится очевидным. Прямая AH является радикальной осью окружностей с центрами в точках F и Е, так как отрезок FE соединяет центры окружностей и по условию задачи AHFE. Аналогично прямые BL и CN также являются радикальными осями, тогда по теореме о радикальном центре трех окружностей эти три прямые пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать. Выводы и рекомендации. Доказательство задачи 2 позволяет понять, каким образом была придумана эта задача. Понятие «радикальная ось» позволяет взглянуть на знакомые объекты под новым углом и найти новые свойства. Порой решить любую сложную задачу можно в один «прыжок».Список литературыКВАНТ №2. – 2010. – С. 37-39.Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Доп. главы к учебнику 8, 9 классы. Коваль С. От развлечения к знаниям. Материал из Википедии – свободной интернет-энциклопедии.Мендель В.В. Геометрия окружности. Нелли МАРГИЕВА, учитель математики Республиканского физико-математического лицея-интерната города Владикавказа, учитель года Республики Северная Осетия – Алания-2013