На чтение: ≈ 12 мин.Есть понятие «элементарная математика». Оно, как счастье, каждым трактуется по-своему. Тем не менее есть один факт, который весь этот разброд мнений упорядочивает, а именно – вся элементарная алгебра есть описание (с разных сторон, разными способами) одной-единственной функции: еz, где z – комплексное число. Конечно, нового здесь ничего не открываю. Но обычно в этот решающий факт мало кто вдумывается.
– это тоже одна из самых фундаментальных функций в природе. Посмотрите, я напомню ее график: оказалась на верхушке башни школьной алгебры. Каждый раз, изучая какую-то частную элементарную функцию, мы даже не задумывались, что изучаем все время одного и того же «слона», являющегося нам под разными обличиями. Ради этой функции наши дети учатся 11 лет! А откройте учебник алгебры: много ли места уделено там еz?
Публикация приведена в формате PDF:Скачать/Просмотреть(Для просмотра необходима программа Adobe Reader или ее произвольный аналог).
Пишут «Алгебра и элементарные функции», хотя, по сути, есть только одна функция. Ее бы надо было писать в единственном числе, и она, кроме всего прочего, совсем не элементарна. В принципе логично было бы написать «Алгебра, или Изучение еz».
Но если уж сложилась такая традиция, что элементарные функции рассматриваются по отдельности, можно было бы в конце или в середине курса провести урок, во время которого весь материал об этой функции – а он очень красивый – собрать воедино. Ниже я привожу вкратце то, что можно было бы при этом рассказать.
Вспоминаем из тригонометрии
Есть синусы и косинусы. Чтобы их определить, обычно рисуют тригонометрический круг. Но при таком (стандартном) определении конкретное вычисление значений этих функций затруднительно. Например, раньше (еще до появления калькуляторов) пользовались таблицами. Некоторые чудаки и сейчас заглядывают в «четырехзначные таблицы Брадиса» (поднимите руки – кто. Среди вас нет?).
Если полистать эти таблицы, в конце можно найти формулы, по которым Брадис вычислял синусы и косинусы. По таким же формулам работает и калькулятор, так что я их выписываю:
sin(x)= x – x3/3! + x5/5! – x7/7!… (1)
Степени х нечетные, делим на те же нечетные числа, знаки чередуем. Ряд бесконечен. Я надеюсь, вы знаете, что означает знак «!» в математике. Это факториал: N! = 1*2*3*…·N.
Ряд бесконечен. Чем больше слагаемых подсчитано, тем точнее значение функции. Свойства бесконечных рядов четко описаны в математике, но нам это не понадобится. Теперь косинус:
cos(x)= 1 + x – x2/2! +x4/4! – x6/6! +… (2)
Первое слагаемое тут 1=1/0!, почему-то считается, что 0!=1.
Синус и косинус – фундаментальные функции. Они встречаются всюду. Рябь на воде и электромагнитные волны: радиоволны, видимый свет, рентген, звуковые колебания и многое другое. График нам всем до боли знаком, вспоминаются слова известной песенки: «Напрасно старушка ждет сына домой, науки без жертв не бывает, а синуса график волна за волной по оси абсцисс убегает…»
Синус и косинус дают формулу круга: х=sin t, y=cos t, где t – параметр, например, время. Меняем t, и точка с координатами (x,y) описывает единичную окружность. Внимание! Это нам еще понадобится.
Показательная функция
в виде ряда
Аналогично есть ряд и для показательной функции. Вот он (мы возьмем за основание число е, такая функция называется экспонента):
ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! +… (3)
Почему мы выбрали е в качестве основания? Просто потому, что это очень «хорошее» число, упрощающее все выкладки. Например, ищешь производную от экспоненты, получаешь ту же экспоненту, строишь первообразную – опять ничего не изменилось!
Задание на скорость. Вычислить за 5 минут без калькулятора с максимальной точностью число e. Победителю – тут же пятерка. Время пошло!
Показательная функция – это тоже одна из самых фундаментальных функций в природе. Посмотрите, я напомню ее график:
По этому графику идет рост в природе и в обществе.
Функция коварна. Сначала изменения идут медленно, потом – взрывообразный скачок. На первом этапе ее можно перепутать с линейной функцией. Обычно так и происходит. Проводят прямую линию… и успокаиваются. В реальности именно эти процессы называют нелинейными. И когда человек с ними встречается, он постоянно трагически ошибается.
Внимание! На первый взгляд тригонометрические синус и косинус ничем на эту кривую не похожи. Но я повторяю, по большому счету мы здесь видим одно и то же. Как в известной притче о слоне, которого в темноте путники воспринимали то как колонны, то как змею, то как веревку…
Да уж и теперь, сравнив формулы (1), (2) и (3), мы замечаем какую-то странную их близость. Если сложить две первые формулы, то будет что-то близкое к третьей… Только вот знаки мешают, а куда их деть-то? Но потерпите немного.
Логарифмическая спираль
Существует некая геометрическая фигура. Чтобы ее уменьшить, ее нужно всего лишь повернуть. Не верите? Скоро мы с такой встретимся…
Есть одна деталь, сближающая тригонометрические функции и экспоненту. Как выше было сказано, тригонометрические функции, если их рассматривать как параметрическое задание кривой, дают круг. А вот из экспоненты можно сделать логарифмическую спираль, если задать ее в так называемых полярных координатах.
Кривую в полярных координатах рисует конец вектора длиной r, начало которого закреплено в начале координат. Вектор поворачивается на угол j, а длина r постоянно меняется. То есть вместо двух букв х и у работают r и j. Если r и j связаны соотношением r = еj, то конец вектора нарисует логарифмическую спираль:
Эта замечательная кривая обладает удивительными свойствами. Например, если ее уменьшить или увеличить, то она остается все той же логарифмической кривой, только повернутой. Иными словами, чтобы ее уменьшить, нужно ее всего лишь повернуть!
По логарифмическим спиралям закручены раковины улиток и древних аммонитов, галактики на небе и облачные вихри в атмосфере Земли… Обо всем этом можно много рассказывать, и, возможно, мы когда-нибудь вернемся к этой теме. А сейчас – вперед.
Комплексные числа
В наше время найдется много фильмов о параллельной реальности. То, что невозможно в нашем мире, может оказаться выполнимым в ином, нужно только найти ключи, проникнуть в этот волшебный мир и не забыть волшебного слова, чтобы вернуться.
Поэтому возникает такая вот интересная мысль: если в нашем мире формулы (1) и (2) в сумме не дают формулы (3), то, может быть, это окажется реальным в каком-нибудь расширенном математическом мире? А ведь нам известен такой мир – это комплексные числа!
Об этих числах впервые сказал итальянец Кардано в XVI веке. В своем труде «Великое искусство» он написал, что они не пригодны ни для чего. С тех пор мнение об этих числах несколько изменилось.
Обычное уравнение 2-й степени может иметь или не иметь корней. Может иметь, например, 1 или 2 корня (не больше). Мы умеем считать дискриминант и все это выяснять, но определенности особой нет.
Да и вообще, почему в математике нельзя извлекать корень из отрицательного числа? Сделаем так. Назовем корень из -1 числом i (мнимая единица). Составим все суммы и произведения числа i с действительными числами. Получим новое множество чисел вида z = х + iy. Это и есть комплексные числа.
«Комплекс» получается из действительной части х и мнимой части iy. Действительная часть обозначается Re, а мнимая Im. Re(z) = х, а Im(z)=iy.
Можно показать, что такое множество «замкнуто», то есть произведение и сумма двух таких чисел есть опять-таки такое число. А также рассказать, что из любого комплексного числа можно извлечь корень любой степени. Однако результат не однозначен: будет 2 корня второй степени и n корней n-й степени.
Комплексная экспонента
Мы получили какое-то новое и непонятное множество чисел…
Давайте рассуждать, как положено математикам – с формулами и четкими выводами. Вот, например, одна очень простая формула, не требующая даже доказательства:
i 2 = -1 (4)
Теперь если составить сумму cos (x) + i sin(x) и расписать по формулам (1) и (2) с применением (4), то получится правая часть формулы (3), если x заменить там всюду на ix:
e ix = cos (x) + i sin(x) (5)
К чему мы и стремились. Мнимая единица дала нам возможность разделаться со всеми несовпадениями знаков. Все совпало тютелька в тютельку. Великая формула! Автор ее – знаменитый Эйлер.
Теперь:
sin (х) = Im(ez).
cos(x) = Re(ez).
Остальные тригонометрические функции получаются легко из этих.
eх – это частный случай еz при у=0.
Логарифмическая функция – это обратная к показательной.
Фактически оказывается: все элементарные функции – это «ракурсы» и частные случаи комплексной экспоненты!
Комплексная экспонента оказалась на верхушке башни школьной алгебры. Каждый раз, изучая какую-то частную элементарную функцию, мы даже не задумывались, что изучаем все время одного и того же «слона», являющегося нам под разными обличиями. Ради этой функции наши дети учатся 11 лет! А откройте учебник алгебры: много ли места уделено там еz?
Евгений БЕЛЯКОВ
Выбор читателей
Комментарии