В сетях магического квадрата

Главная идея этой статьи принадлежит моему другу математику Сергею Берлову. Высказана она была давно, лет двадцать пять назад, а может быть, еще больше. С тех пор я частенько думал над всем этим, но ничего нового так и не придумал. Поэтому расскажу лишь то, что мне известно.
В занимательной математике есть понятие магического квадрата. Это такая квадратная матрица (таблица), в качестве элементов которой взяты первые числа натурального ряда от 1 до n2 (где n – размер матрицы), и сумма чисел во всех строчках и во всех столбцах одна и та же. Вот пример:

Здесь сумма равна 15. Кроме того, сумма чисел, стоящих по диагоналям, тоже равна 15.
В древности “магические квадраты” очень уважали. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Знаменитый художник Дюрер изобразил один из “магических квадратов” на своей гравюре, которая называется “Меланхолия”.
В расположении чисел в нем можно углядеть весьма странные закономерности. Например, на вышеприведенном квадрате числа 4, 5 и 6 расположены по диагонали. Числа 1, 2 и 3 и с другой стороны 7, 8 и 9 образуют симметричные треугольники.
Уже этого было бы достаточно, чтобы удивиться. Но давайте расположим одинаковые “магические квадраты”, как плитки на стене ванной:

Если соединять идущие подряд числа, считая, что после 1 идет 9, то получаются странные зигзаги, покрывающие всю плоскость (у нас нарисован только один). А что будет, если взять другой “магический квадрат”, да еще с другой размерностью? Например, вот такой:

Получившуюся сеть линий я начерчу без цифр: так удобнее изучать ее удивительные закономерности. Самое главное – линии нигде не начинаются и нигде не кончаются. И теперь пора сформулировать наш главный вопрос: ПОЧЕМУ? Ведь “магический квадрат” – всего лишь матрица из чисел, подчиняющихся определенной закономерности. При чем здесь вообще геометрия? При чем здесь топология (свойства, связанные с непрерывностью)?
Стоит задуматься вообще над связью геометрии и чисел. Например, что такое знаменитая теорема Пифагора, как не указание на связь пространства и числа? То же самое – теорема синусов и косинусов. Но в этих случаях речь идет о метрических свойствах пространства (плоскости), и там такой связи никто не удивляется: ведь мы устанавливаем ее сами, прикладывая линейку к отрезку и измеряя его. А геометрические свойства “магических квадратов” – другого типа, они связаны с непрерывностью (или с каким-то ее аналогом) и поэтому, видимо, отражают какие-то гораздо более глубокие и неочевидные закономерности устройства мира. Какие именно? Еще раз, в чем причина возможности построения этих удивительных сетей из линий? Я полагаю, этого НИКТО НЕ ЗНАЕТ.
Мир един и пронизан взаимосвязями. Наука расчленяет его в процессе анализа. Школьная программа отражает эту разобранность мира на части. Но за анализом должен быть синтез, его-то мы и не видим в элементарной математике, как, впрочем, и в высшей. И потому-то я берусь предсказать: в новых открытиях наступившего века синтетическая составляющая будет наиболее существенной. А школьная математика наконец станет единой, не разделенной на алгебру, планиметрию, стереометрию, арифметику, комбинаторику, какой-то непонятный анализ данных и т.д. Мы наконец из всех этих деталей соберем единый школьный предмет. Блажен, кто верует – легко ему на свете.

Евгений БЕЛЯКОВ