В отсутствие простоты все сложно. Что мешает развитию воображения и мыслительных способностей

В настоящий момент можно утверждать, что провалились абсолютно все попытки универсального развития мыслительных способностей человека в процессе обучения той форме знания, которую принято считать научной. Последним, по-видимому, официальным свидетельством этого было сообщение “The New York Times” 14 ноября 2006 года о провале соответствующей программы обучения математике, принятой в США в 1991 году (http://lenta.ru/news/2006/11/14/math/). Задолго до этого провалились все попытки «развивающего» обучения в СССР, но основания для отказа от такой формы обучения одинаковы. Это – рекламации родителей. «У американских школьников отсутствуют элементарные базовые математические знания, а родители вынуждены в массовом порядке прибегать к помощи частных репетиторов, чтобы научить своих детей делить на многочлен. По словам матери одного из учашихся, в школах этому не учат, так как деление в столбик якобы ущемляет творческие способности ребенка». Причина провала кроется в самом устройстве «научного знания». Это устройство не только не располагает к развитию свободомыслия человека, оно, напротив, всячески сковывает его, загоняет в цивилизационную колею. Чтобы несколько прояснить это «чудовищное» утверждение, хочу обратить внимание на следующие обстоятельства.

Полностью публикация приведена в формате PDF:Скачать/Просмотреть(Для просмотра необходима программа Adobe Reader или ее произвольный аналог).

Причина провала кроется в самом устройстве «научного знания». Оно не только не располагает к развитию свободомыслия человека, а, напротив, всячески сковывает его, загоняет в цивилизационную колею.

Чтобы прояснить это «чудовищное» утверждение, хочу обратить внимание на следующие обстоятельства.

Улыбка Евклида

Известно, что Артур Шопенгауэр всей мудрости мира предпочитал любую, даже совсем еще незрелую, самостоятельную мысль. Научно-образовательный этос с ним, разумеется, никогда не соглашался и не согласится, но существенно другое. В юности ни способности, ни тяга к свободе познания не защитили его.

В знаменитом чертеже Евклида, доказывающем теорему Пифагора, он всю жизнь видел только «ходули» (в русской традиции – равные на все стороны «штаны») и осуждал Евклида за надуманный, как ему казалось, характер доказательства, справедливо полагая, что смысл определяется «созерцательной необходимостью», а доказательства придумываются после. В «ходулях» никакой «созерцательной необходимости» он не видел.

Но было ли это виной Евклида?

Александрийский математик честно изобразил пару квадратных «стаканов», склоненных над третьим и «сливающих» в него свое пространство. Простенькая бытовая процедура сравнения, выполненная геометрическими средствами. Вся первая книга «Элементов» посвящена организации «перетекания» плоского пространства с помощью циркуля и линейки. Никаких чисел! Только пластика, и только «созерцательная необходимость»: «ходули» или «штаны» суть промежуточные фазы перетекания.

Европейцы предпочли числа (площади и длины) и утратили Евклидову пластику. Картина простого бытового сравнения и, следовательно, «созерцательная необходимость» исчезли. Виновны в этом содержание с приматом числа и коммуникативная стратегия немецкого обучения, кодирующие восприятие… и еще неспособность сопротивляться «знаньевому» насилию.

Опыт показал, что студенты-гуманитарии без каких-либо математических способностей, поупражнявшись немного с детской операцией «перекройки» прямоугольника в параллелограмм, легко «сливают» катетные квадраты в квадрат гипотенузы, как с помощью ножниц, так и прокладывая циркулем и линейкой самые разнообразные трассы перемещения этих пространств и получая различные чертежи, доказывающие теорему Пифагора. С таким видением они легко приходят к ее обобщению для любых, сколь угодно заковыристых фигур, открывая при этом свойство (или отношение) подобия.

С другой стороны, без пластического опыта «слить» квадраты не могут ни студенты Мехмата, ни их преподаватели. Что позволяет считать задачу сложной.

Простоту и глубину понимания результатов привносят операция «перекройки» и навык «переливания». Они доступны всем. Не случайно свойства этой операции Евклид представил в своих аксиомах. Она основа пластической алгебры. Европейцы же оперировали не пластикой, а готовыми утверждениями и доказывающими их чертежами. Естественно, что аксиомами стали Евклидовы постулаты, необходимые для построения чертежей, но никак не связанные с бытовой операцией сравнения. Созерцательной необходимости, так нужной Шопенгауэру и другим стремящимся к пониманию людям, не стало.

В отсутствие простоты все сложно. Банальность! А на деле вместо простой и интересной игры в сравнение фигур возникает трудный, возможно, даже самый трудный учебный предмет – геометрия. Из-за чего ее так настойчиво и пытаются удалить из школы.

А.П. Чехов смеется

В точности по той же причине – утрате источников простоты, делающих посильными для большинства самостоятельные умственные построения, – трудность представляют так называемые арифметические задачи на соображение. Причем для кого?

В своей известной работе по поводу этих задач А.Я. Хинчин – известный советский математик и педагог – утверждает, что «большая часть наших ученых математиков, как правило, становится в тупик перед задачами из элементарной арифметики». В недавно опубликованном письме Н.Н. Лузин, создатель «Лузитании» – математической школы, куда входили и Хинчин, и Колмогоров, и многие другие, – говорит о себе точно то же.

Беды в этом членкор АН СССР не видит. Он считает, что задачи на соображение в курсе арифметики средней школы «представляют собой в подавляющем большинстве случаев алгебраические задачи на составление уравнений, которые лишь весьма искусственным путем могут быть решаемы без помощи алгебраического анализа, в некоторых же случаях – задачи-головоломки, требующие для своего решения прямого логического изобретательства и, значит, соответствующих специальных способностей».

Было время, когда я соглашался с аргументами Хинчина. Но сопоставим сказанное им с другим фактом.

Задача Антона Павловича о покупке сукна двух видов, когда известны цены за аршин, стоимость всей покупки и полная длина купленного сукна, не самый простой вариант задачи на составление уравнений. Задача Евклида об осле, муле и мешках зерна, когда переброска одного мешка с мула на осла сравнивает их количества, а с осла на мула делает груз мула вдвое большим, чуть проще.

Не так давно на довольно продолжительной конференции по математике и математическому образованию удалось задать вопрос о движениях, которые «по-неученому», «без алгебры» выполнил на счетах отставной губернский секретарь. Подтвердилась правота Хинчина: никто не смог их найти. С алгеброй же… даже говорить смешно. Простое для немолодого губернского секретаря последней трети XIX в., который, конечно, не специализировался на решении таких задач, стало непосильно для специалистов начала XXI столетия и «неподъемно» как учебный предмет.

По Хинчину, следует признать наличие у г. Удодова, во-первых, «специальных способностей», а во-вторых, склонность к позерству – «по-нашему, по-неученому», – в ситуации, не располагающей к позе. Не вернее ли предположить, что за прошедшее время утрачено нечто, привносившее в подобные задачи ту самую «созерцательную необходимость», которой не хватало Шопенгауэру и, очевидно, не хватает Хинчину и другим, но которая делает доступным мгновенное решение таких задач для многих… на счетах или на бумажке! Одно ясно сразу: утраченное должно относиться к простейшему, доступному уже в детском саду бытовому моделированию задачной ситуации, как, например, сравнение емкостей переливанием.

Опытный учитель арифметики, подобный тем, что возражали Хинчину, сказал бы, что задачу Чехова разрешает простенькая логическая цепочка. Допустим, что все сукно одинаково дорого, тогда разница в стоимости покупки возникает только за счет дешевого сукна. Разница в цене известна. Отсюда получается количество дешевого сукна; его вычитание из общего количества дает длину дорогого.

И опять прав Хинчин: несмотря на кажущуюся простоту логической цепочки, догадаться до исходного пункта – допустим – очень трудно… если нет «созерцательной необходимости», т.е. картинки, из которой он очевиден. Без нее это по силам только тем, кто способен высказывать и проверять всяческие гипотезы, какими бы нелепыми они ни казались, пока не напорется на что-нибудь осмысленное. Метод проб и ошибок. Так и пытался решать задачу чеховский репетитор, но не вышло. В действительности это мало кому удается – слишком уж велик океан гипотетической чепухи, большинству нужна картинка. Более того, именно для нее, своей картинки, эти задачи и были придуманы – никому ведь не нужно знание, сколько сукна унес с базара купчина. Нужно совсем другое – то, что происходит с мозгом.

Сегодня психофизиологи это знают: неразрешимое имеющимися нейронными структурами «внутреннее рассогласование» вызывает экспрессию генов, производящих морфологическую перестройку мозга. Так закладываются структуры, способные к образному моделированию. Судя по всему, именно от них зависят и богатство воображения, и широта восприятия.

Восприятие же А.Я. Хинчина, нерядового математика, по-видимому, оказалось скованным мощью и эстетикой функционально-символических форм математики. Мозг привычно искал решение в ее символьно-числовой логике, где материала для прямого конструирования условия задачи нет, зато есть простая и давно ставшая обыденной почва для составления уравнений. Неудивительно, что он предлагал избавить население от такого «излишка», как образное моделирование, – есть алгоритм, зачем же думать, напрягаться?

Ну а может быть, образного материала для построения картинок, разрешающих задачи на соображение, просто нет? Их не видел маститый математик, не видят их и в школе при «обучении» решению таких задач.

Однако такой пластический материал есть всегда. Более того, на него указывает условие задачи. Нужно лишь увидеть его образ. Так, если составить в линию столбики рублевых монет, нужных для покупки каждого аршина (трехмонетные для дешевого сукна и пятимонетные для дорогого), получится «частокол», высота которого в начале 3 монетки, а потом 5. Одного взгляда на него достаточно, чтобы все стало ясно. Сделать это можно мысленно, а можно нарисовать картинку или сложить модель условия, используя камешки вместо монет. Далее – счеты или простенькие вычисления на бумаге.

Нелишне напомнить, что слово «исчисление» – calculus – происходит опять-таки от греческого «кхалк» – галька.

Выводы

Хинчин не прав. Натурное, пластическое моделирование условия задачи не является имитацией решения алгебраического. Наоборот: на натурных операциях основана пластика Евклида, из которой получается подобие алгебры. Первична картина, а не формальные операции «восстановления» и «сопоставления» (аль-джебр в’аль мукабала), от которого возникло слово «алгебра». Будучи своей, она рождает «созерцательную необходимость», из которой (прав Шопенгауэр) всегда исходили творцы знания и которая только и способна привнести творческую самостоятельность в изучение предмета и, как следствие, культивировать навыки универсального, не скованного ложной научностью свободомыслия.

В рамках принятой формы представления научного знания это не удается весьма одаренным и познавательно мотивированным людям. Что же говорить о других, которых к тому же жестко ориентируют лишь на достижение внешнего карьерного успеха, угнетая этим природную же потребность понимать? Такое обучение прививает иной навык – привычку рабского, потребительского отношения к общепринятой форме знания, воспитывает рабов обстоятельств, не способных быть творцами нового, тем более в нестандартных сферах деятельности.

Сергей ШЕХОВЦОВ, директор учебно-научного Центра разработки информационно-образовательных проектов РГГУ