Старый друг лучше новых двух “Элементарная алгебра” Киселева – захватывающее чтение для любого преподавателя математики

Учебники математики Андрея Петровича Киселева (1852-1940) составили целую эпоху в математическом образовании нескольких поколений граждан нашей страны. Превосходно написанные, они представляют интерес и в начале ХХI века. Но если “Элементарная геометрия” в качестве книги для учителя была переиздана в 1980 году тиражом в 150 тысяч экземпляров, то другие учебники как бы остались в тени. А ведь они тоже обладают большими методическими достоинствами: строгость и одновременно доходчивость изложения материала; большая информационная насыщенность; хорошо подобранные примеры, иллюстрирующие теорию; ясный и лаконичный языковой стиль. Поэтому перелистаем вместе “Элементарную алгебру”, двадцатое издание которой вышло в 1908 году. Учебник предназначен для гимназий, реальных училищ, духовных семинарий, коммерческих училищ и кадетских корпусов. Книга невелика – 347 страниц обычного формата, но содержит весьма много сведений по алгебре. Остановимся прежде всего на наиболее трудных вопросах, а также на тех, которые остались за страницами современных учебников алгебры для массовой школы. Приводимый материал интересен для учителя сам по себе, а также может быть использован в преподавании.
Первый отдел “Предварительные понятия” играет роль “Введения”.
Во втором отделе “Первые четыре алгебраических действия” представляет интерес деление многочленов “углом”. Изучается теорема Безу. Выводятся формулы:

хm – am = (x – a)(xm-1 + axm-2 + a2xm-3 + … + am-1);

xm – am = (x + a)(xm-1 – axm-2 + a2xm-3 – … – am-1); (при m четном);

xm + am = (x + a)(xm-1 – axm-2 + a2xm-3 – … + am-1); (при m нечетном).

В третьем отделе “Уравнения первой степени” подробно рассмотрены линейные уравнения с одним неизвестным, а также системы линейных уравнений: двух с двумя неизвестными и трех с тремя. Хотя понятие определителя явно не вводится, автор подходит к нему вплотную при решении в общем виде указанных систем.
В четвертом отделе “Степени и корни” отметим теорему о квадрате многочлена и хорошо подобранные примеры на освобождение от иррациональности в знаменателе.
Наиболее интересен пятый отдел “Уравнения степени выше первой”. Он содержит главу “Комплексные числа”, которые более двадцати лет в школе не изучаются. А ведь без знакомства с комплексными числами даже среднее математическое образование трудно считать завершенным. Показано применение комплексных чисел в действительной области, а именно с их помощью доказываются тождества:

(a2 – в2)2 + (2ав)2 = (а2 + в2)2,

(а2 + в2)(а12 + в12) = (аа1 + вв1)2 +
(а1в – ав1)2.

Выводится формула “сложного” радикала:

Изучаются не только биквадратные (ах4 + вх2 + с = 0), трехчленные (ах2n + вхn + с = 0), двучленные (ахm + в = 0) уравнения, но и возвратные (ах4 + вх3 + сх2 + вх + а = 0) уравнения четвертой степени, и даже более общие уравнения вида
ах4 + вх3 + сх2 + dх + е = 0,
коэффициенты которых удовлетворяют пропорции а : е = в2 : d2.
Как решить последнее уравнение? Предоставим слово автору учебника: “В самом деле, из этой пропорции находим е = аd2/в2, и, следовательно, уравнение принимает вид:

ах4 + вх3 + сх2 + dх + аd2/в2 = 0.

Разделив все члены на х2, можем уравнение представить так:

а(х2 + d2/(в2х2)) + в(х + (d/вх)) + с = 0.

Если положим, что х + d/(вх) = у, то х2 + d2/(в2х2) = у2 – 2d/в, и уравнение превращается в квадратное:

а(у2 – 2d/в) + ву + с = 0.

Найдя у, легко определим потом и х”.
Дается общий метод решения системы двух уравнений, из которых каждое второй степени:

ах2 + вху + су2 + dх + еу + f = 0
а’х2 + в’ху + с’у2 + d’х + е’у + f’ = 0.

“Умножим первое уравнение на с1, а второе на с и вычтем почленно одно из другого; тогда исключится у2 и уравнение примет вид:

mх2 + nxу + рх + qу + r = 0, или
mх2 + (nх + q) у + рх + r = 0.

Откуда
у = – (mх2 + рх + r) /(nх + q).

Вставив это значение в одно из данных уравнений и освободив полученное уравнение от знаменателей, будем иметь в окончательном результате полное уравнение 4-й степени, которое в общем виде элементарными способами не разрешается”.
Шестой отдел называется “Неравенства и неопределенные уравнения”. Неравенства рассматриваются линейные и квадратные, а неопределенные уравнения имеют вид

ах + ву = с,

где а, в, с, х, у – целые числа. Изложение начинается с естественно поставленной задачи: “Сколько нужно взять монет в 2 коп. и в 3 коп., чтобы составилась сумма 25 коп.?” В конце отдела показывается, что система диофантовых уравнений

а1х + в1у + с1z = d1
а2х + в2у + с2z = d2

сводится к двукратному решению одного уравнения с двумя неизвестными.
Маленький седьмой отдел “Обобщение понятия о показателе” посвящен введению дробного и иррационального показателя степени.
Содержание восьмого отдела “Прогрессии и логарифмы” отражено в его заглавии. Весьма подробно рассмотрены сложные проценты в силу их важности в банковских расчетах.
Завершается книга девятым отделом “Дополнения”. Названия его глав:
1. Соединения
2. Бином Ньютона
3. Одно из применений бинома Ньютона
4. Непрерывные дроби
5. Некоторые приложения непрерывных дробей
6. Наибольшее и наименьшее значение трехчлена второй степени.
В третьей главе показано применение бинома Ньютона к нахождению суммы одинаковых степеней членов арифметической прогрессии, в частности выведены формулы:

S1 = 1 + 2 + 3 + … + n = (n (n + 1))/2.
S2 = 12 + 22 + 32 + … + n2 = (n(n+1)(2n+1))/6.
S3 = 13 + 23 + 33 + … + n3 =
(n(n+1)/2)2 = S12.

В пятой главе с помощью непрерывных дробей находятся приближения числа p Архимеда (22/7) и Меция (355/113), извлекаются квадратные корни, находятся решения неопределенных уравнений из шестого отдела и даже вычисляются логарифмы.

Виктор ДРОЗДОВ,
заведующий Рязанским УКП Калужского коммунально-строительного техникума