Сон Рене Декарта. Мастерская квадратных уравнений. Статья 3

Рядом с Виетом существовал и мыслил великий человек, который, признавая роль формул, стремился найти также способы подключения геометрической интуиции в математике, но уже на принципиально новом уровне… Об этом человеке мы теперь и поговорим.

Однажды в XVII веке по дороге из Парижа в Нейбург вечером одинокий путник зашел на постоялый двор. По кривой скрипучей лестнице он поднялся на второй этаж бедной гостиницы. Зашел в полутемный номер, снял шпагу и плащ, отпустил слугу, зажег свечу и сел за дубовый стол. Из дорожной сумки он достал бумагу и гусиное перо с чернильницей. Через какое-то время бумага покрылась таинственными знаками. Скажу по секрету: наш путник был математиком и философом, то есть человеком, любящим мудрость.Но в этот день ему не везло.Формулы, как назло, не сходились, задача не решалась, несмотря на все старания. Никакой из известных приемов не подходил. Наконец под утро, отчаявшись, он лег на жесткую кровать, заснул и увидел сон.Но это был такой сон, который невозможно рассказать, так как в нем не было никакого сюжета. Просто море, огромные волны бились о берег. И вдруг эти волны остановились. Время как будто замерло. Все вокруг, и сами волны, и морская пена, и облака, быстро бежавшие по небу, вдруг оказалось охвачено некоей сетью и в один момент застыло, словно замерзло… И можно было бродить вдоль этой замерзшей волны и видеть там замерзших рыб, неподвижные водоросли. И можно было все это рассматривать и изучать.Путник проснулся с каким-то удивительно легким и приятным чувством открытия. Он подошел к столу, взял перо и нарисовал нечто подобное сетке из линий. Взглянул на календарь: 10 ноября 1619 года. Открытие состоялось. Путника звали Рене Декарт, он открыл систему координат, которую в дальнейшем стали называть декартовой. Следующее рассуждение мы проведем в духе Декарта.Что такое система координат, вы, конечно, знаете. Изобразим две оси: ось абсцисс и ось ординат. И рассмотрим, например, уравнение x2 – 4x + 3 = 0.С ним неразрывно связана функция y = x2 – 4x + 3. В том случае, когда уравнение имеет корни, у = 0, то есть график функции пересекает ось абсцисс. Если мы узнаем эти точки, мы фактически решим уравнение. Поэтому есть смысл построить график.Начнем с графика y = x2. Это парабола, ветви которой указывают вверх. Саму кривую легко построить по точкам. Парабола симметрична, так как x2 = (-x)2. Мы знаем также, что замена x на x+m сдвинет график влево на m, тогда как замена у на у+n приведет к опусканию графика вниз на n. Иными словами, график функции y = (x + m)2 + n будет той же параболой, но сдвинутой на m влево и на n вверх.Вернемся к функции y = x2 – 4x + 3 и ее графику. Одну точку этого графика мы точно знаем. При х = 0  у = 3 (достаточно подставить х = 0 в формулу y = x2 – 4x + 3). Так что можно сразу отметить точку у=3 на оси ординат.Попробуем построить еще какие-нибудь точки. Идея! Построим точку на графике, симметричную только что построенной (относительно оси симметрии параболы). Мы знаем о такой точке, что она лежит на той же высоте у = 3. Поэтому зададим у = 3:3 = x2 – 4x + 3Упрощая, получаем:x (x – 4) = 0Это уравнение имеет два корня х = 0 (это уже построенная нами точка) и х = 4. То есть мы можем нанести еще одну точку х = 4, у = 3.Ось симметрии будет лежать посередине между этими точками и задаваться прямой х = 2. И теперь нам будет несложно найти третью точку – самую нижнюю точку параболы (ее вершину, которую в данном случае естественнее назвать низиной), для чего нужно подставить 2 в y = x2 – 4x + 3. Получим у = -1. Итак, строим третью точку х = 2, у = -1. Теперь можно построить эскиз графика.Ничто не мешает провести эти рассуждения в общем виде для уравнения x2+px+q=0. И тогда координаты первых двух точек будут следующими: (0, q), (-p, q). А третью точку получим, если подставим в y = x2 + px + q значение -р/2. .Значит, координаты этой точки будут .Ну хорошо. График мы построили. Но ведь мы так и не научились определять корни, то есть абсциссы точек, где кривая пересекает ось абсцисс. Будем действовать так. Сдвинем построенную нами параболу y = x2 – 4x + 3 на 2 влево, чтобы ее ось симметрии совпала с осью ординат. Можно обойтись без подстановок, итак ясно: график этой кривой будет той же параболой y = x2, но опущенной вниз на 1. То есть это будет функция y = x2 – 1. Ее корни найти легко: . Теперь, чтобы найти корни заданной функции, нужно просто сдвинуть эти точки назад, вправо, то есть увеличить их на 2. Получаем x1=1, x2=3.В общем виде.Сдвигая график функции на -p/2 «влево» (а куда он реально сдвинется, зависит от значения p), получаем функцию . Чтобы найти ее точки пересечения с осью абсцисс, решаем уравнение . Получаем . Сдвигая корни обратно («вправо») на -p/2 (для чего нужно прибавить это число к х1 и х2), получаем наконец  хорошо известную нам формулу решения приведенного квадратного уравнения .Интересно, что если координаты вершины параболы  обозначить через (v1, v2), то эта формула записывается очень коротко: . И становится ясно, почему величина  «сигналит» о наличии корней – ведь это же просто ордината вершины параболы. А так как в случае приведенного квадратного уравнения ветви параболы всегда направлены вверх, то от ее значения зависит, пересечется парабола с осью абсцисс или нет.Итак, мы вывели эту формулу три раза (см. статьи 1 и 2). Методом выделения полного квадрата, опирающегося на геометрическую интуицию, где число выступает и как длина, и как площадь, как это делали в Средние века. Методом Виета, то есть с помощью манипуляции формулами без обращения к геометрическим образам. И наконец, методом Декарта, с помощью системы координат и графиков. В нашем случае даже трудно сказать, какой вариант лучше или проще. Но сила этих методов различна. Два последних гораздо эффективнее в более сложных случаях. И мне хотелось показать вам на этом примере характерные особенности квадратных уравнений.Я думаю, что современная математика в основном пользуется формальными методами Виета. Не раз были попытки вообще избавиться от чертежей. Последняя такая попытка была совершена группой французских математиков под псевдонимом Никола Бурбаки. Но постепенно мы видим, как в процессе даже наиболее абстрактных вычислений современные математики все чаще пользуются представлением своих результатов в графической форме, следуя Декарту. Прошли те времена, когда даже толстые учебники геометрии могли не содержать ни одного чертежа. И даже в трудах по алгебре можно ныне изредка встретить систему координат с графиками. Методы Декарта и Виета переплетаются и имеют огромную познавательную силу. Именно об этой математике великий философ Иммануил Кант сказал, что в каждой науке столько науки, сколько в ней математики.