Школьная математика. Какой ей быть?

Перемены в образовании не могут происходить быстро. Медленно они тоже не могут происходить. В реальности изменения происходят, но в неудачные моменты, в неудачных условиях и, как правило, не очень удачные. Ниже рассмотрены возможности позитивных изменений в математическом образовании, сопряженные с перечисленными в подзаголовке процессами.

Профилизация. В середине 1960-х годов в СССР были объявлены школы с углубленным изучением отдельных предметов. Реальностью стали языковые школы как вариант элитного образования и математические школы, оказавшие влияние на формирование интеллектуальной элиты. Математические школы доказали возможность профилизации в математике и элитного школьного образования, не связанного с социальным статусом семей. Их опыт нужно изучать в первую очередь с точки зрения моделей учебного процесса и использовать во всей системе профильного обучения (стандарты, учебники, экономика и т. д.).

Стандарт профильного образования должен предусматривать значительную степень вариативности. Необходимы серьезные усилия для создания элективных курсов и пособий по ним в областях геометрии, математической физики, дискретной математики, алгоритмики и т. д. Нужны исследовательские элективы и на узкие темы, например, по правильным многогранникам и их моделям, визуализации математических объектов, теории графов и т. д. Нужна государственная программа по созданию профильных учебников. Рыночный механизм не работает – такие учебники не выгодны издательствам. Против профилизации работают и новые финансовые механизмы в образовании, нужна их коррекция. Нужны время и нормативная база, чтобы из элективных курсов для трех учеников вырастить всероссийский дистанционный электив для сотен (а потенциально и тысяч) школьников.

Необходимо пробуждение интереса к математике и в более раннем, чем старшая школа, возрасте. Нужны популярная литература (типа «Кванта для младших школьников»), возможность дополнительного математического образования (кружковой работы), создания соответствующих сайтов и турниров в Интернете и т. д.

Информатизация. Информатизация (карманный калькулятор, компьютер на столе бухгалтера и т. д.) изменила характер математической деятельности в современном мире, если исключить школу. «Интеллектуальный калькулятор» уже может решить любое школьное уравнение и неравенство и распечатать подробное решение на бумаге так, что самый дотошный учитель поставит за него честную пятерку по школьным правилам. Повлияет ли информатизация на математическое образование в школе (например, усилит ли внимание к дискретным объектам и процессам за счет ослабления внимания к непрерывным)? Как будет распределяться новое содержание между курсами информатики (с мощной экспериментально-практической поддержкой) и модулями анализа данных, вероятности, статистики, алгоритмики в курсе математики? Как будут использоваться средства визуализации? Будем ли мы данные для статистического анализа в курсе математики брать в физическом эксперименте, в демографической информации, размещенной в Интернете, и т. д.?

Как это сочетается с существующим учителем и школьным урочным укладом? Можно было бы начать применение информационных инструментов в математике с самых слабых учащихся, с коррекционных классов и т. д. Это позволит таким учащимся оставаться «на плаву», не «выключаться» из образовательного процесса. В любом случае, включая технологические инструменты в текущую работу учащихся, мы должны включать их в процессы аттестации.

Стандарты. Стандартизовать нужно не результаты «прохождения» алгебры и начал анализа, геометрии, а общематематическую образованность выпускника. Прикладная математика осваивается массовым школьником в физике, современная дискретная математика – в информатике, в экономике осваиваются важные подходы к математическому моделированию и оптимизации и т. д.

Критическим элементом стандарта является число часов. Существуют бесспорные аргументы в пользу содержания математического образования, в том числе приоритетность для высокотехнологичной экономики, и бесспорная традиционная общеобразовательная значимость, включая важность для других предметов и общеинтеллектуального развития. Заметим, что математика составляет около 15-17% БУПа. В мировой перспективе это несколько выше среднего.

Проблема определения минимальных требований к уровню подготовки выпускников в ближайшие годы будет в соответствии с законом решаться в рамках ЕГЭ. Ключевым элементом станет открытый банк заданий, о котором речь идет ниже.

ЕГЭ. ЕГЭ по математике – один из двух предметов обязательной итоговой аттестации. При этом мы понимаем, что «оптимизация под существующий ЕГЭ» быстро приводит к обеднению математики, фактическому исключению геометрии из старшей школы и т. д.

У ЕГЭ по разным предметам есть общие проблемы, в том числе и неспецифически российские. Не касаясь этих общих проблем и подходов к их решению, мы предлагаем подход к ЕГЭ по математике, устраняющий ряд имеющихся недостатков экзамена. Этот подход поддержан Минобрнауки России и Рособрнадзором и начал реализовываться.

Один из компонентов нашего подхода – это открытый банк заданий, покрывающих весь школьный спектр трудности – от твердой тройки до хорошей пятерки и всю школьную тематику, включая тематику приложений математики. Этот банк будет служить инструментом коррекции содержания, не сужения, а обогащения его, использоваться при оценке качества образования при текущей аттестации, аттестации за 9-й класс и т. д. Существенна возможность быстрого поиска и просмотра по различным параметрам, а не только тренировки на решение «вариантов». Через банки Московского института открытого образования и Московского центра непрерывного математического образования прошло уже более миллиона школьников. Банк по профильной геометрии Р.К.Гордина (57-я школа и МЦНМО) сегодня содержит абсолютное большинство геометрических задач, изобретенных человечеством до сих пор.

Нет причин для наличия в сегодняшнем ЕГЭ по математике задач с выбором ответа. Вот слова якутской учительницы математики: «Дети разучиваются писать и говорить». При расширении содержания ЕГЭ могут появиться и осмысленные задачи с выбором ответа. Определенную пользу может дать и опыт PISA, если обращать внимание не на ошибочные задачи, а на позитивные идеи.

При установлении минимального – первого уровня итоговой аттестации (границы двойки и тройки) можно начать с анализа задач, которые может решать большинство взрослого населения. Это сделает результаты экзамена понятными и приемлемыми для родителей и всего общества. Можно начать с выборки школьных учителей всех предметов или выпускников вузов всех специальностей и т. д.

Первые шаги можно сделать уже сейчас: выделить и радикально упростить школьную часть, дать задания с ясным практическим смыслом, дать каждому выпускнику справочный лист с основными формулами школьной математики и т. д. Демонстрационный вариант нашего ЕГЭ имеется в Интернете. Проведенная апробация наших подходов дает процент двоек много меньший 10%.

Цели отбора для продолжения образования в основной массе вузов требуют второго уровня ЕГЭ – введения отдельного профильного экзамена, вступительного для массовых вузов, где есть реальный конкурс среди абитуриентов, которые способны усвоить курс математики этого вуза.

ЕГЭ начинался с разговоров о нечестности и коррумпированности вузовских экзаменов. Но вуз как корпорация заинтересован в сильных студентах, абитуриенты, принятые по блату, становятся заметными коллегам того, кто их принял, и т. д. Есть ли аналоги таких механизмов в ЕГЭ?

Олимпиады и творческие конкурсы. Олимпиада – это третий уровень, используемый в ситуации значительного конкурса вузами, готовящими математиков или творческих прикладников. Здесь не нужно решить почти все сложные задачи, нужно решить некоторые из числа данных очень сложных. Всероссийская олимпиада развивалась естественным путем. Ее качество, культура и мораль формировались в небольшом кругу энтузиастов по всей стране. Сейчас главное: стабильность, сохранение людей и традиций в процессе «государственного регулирования», постепенное наращивание роли и мощности олимпиад, поддержка Российского совета олимпиад как органа общественного управления, сохранение под его эгидой вне всероссийской олимпиад с многолетними традициями, система олимпиад будет гибко сочетаться с системой дополнительных вступительных испытаний, установленных министерством для сильнейших вузов.

Четвертый уровень – это конкурсы исследовательских работ, где нужно решать не данные очень сложные задачи, а сверхсложные задачи, исследовательские проблемы, которые участник ставит себе сам. Ограничение по времени отсутствует. При всех плюсах такого подхода, реализующего идею «портфолио», популярной в мире альтернативы «стандартизованному» тестированию, мы здесь, как и в ЕГЭ, должны вырастить общественную мораль и соответствующие регламенты, предотвращающие развитие репетиторства и родительской помощи.

Изменения содержания

Разгрузка:

– ослабление линии громоздких формульных преобразований, в том числе в решении уравнений (неравенств, систем);

– снятие требования полноты геометрической линии (покрытия классической геометрии);

– регулируемое использование справочного материала, калькулятора и других инструментов ИКТ наряду с подчеркиванием содержательного смысла и интерпретации преобразований, развитием способности к планированию, оценке и прикидке.

Сохранение. Важнейшие идеи, подходы, методы, которые должны быть освоены абсолютным большинством (можно их назвать «большие идеи», можно и объединить в «фундаментальное ядро»). Среди них, например:

– счет, измерение, дискретизация, система счисления;

– выражение и его значение, преобразование выражений, уравнения, неравенства, системы. Истинность, следствие, доказательство, в том числе геометрическое, формальные языки математики. Поиск: решения, доказательства, опровержения, ошибки;

– зависимости между величинами, функции, скорость изменения, преобразования с геометрическим смыслом и инварианты;

– соответствие между множествами пар и троек чисел и множествами точек на плоскости и в пространстве;

– алгоритмы, в том числе числовые, комбинаторные (включая перебор), алгоритмы геометрического построения, сложность;

– случайность и вероятность;

– соответствие текстового описания, формульной и вычислительной модели реальной ситуации.

Должен сохраниться общий объем интеллектуальной активности и преодоления интеллектуальных трудностей. Учащийся, даже самый слабый, но успешно оканчивающий школу, должен обладать успешным опытом взаимодействия с указанными идеями (или чем-то похожим).

Добавление:

– усиление линии текстовых задач, противодействие тенденции «проглатывания» этапа формализации и концентрации на формальных преобразованиях, фактическое появление линии связи математики с реальностью, с историко-культурным контекстом, освоения математического языка как языка формальных утверждений и рассуждений о реальном мире, усиление линии анализа данных и вероятностных рассуждений, перенос алгоритмов (например, перебора, разделения труда, игровой стратегии) в решение задач реального мира;

– усиление линии самостоятельного установления и подтверждения закономерностей, правил и т. д. опыта самостоятельного доказательства, в том числе определенного числа геометрических утверждений;

– усиление линии совсем простых, но принципиально новых (дополнительных) задач, повышение разнообразия;

– усиление линии компьютерной (информатической, дискретной) математики, включая фундаментальные идеи и теоремы и ряд базовых видов объектов и примеров алгоритмов.

Экспертное сообщество. Все эти изменения должны проходить при тщательном контроле математической и образовательной общественности. Важность этого ясно видна в результатах работы Комиссии РАН по вопросам преподавания математики в средней школе (В.А.Васильев). Контроль со стороны РАН и РАО должен продолжаться. При этом необходимо формирование экспертного сообщества, экспертной квалификации, включая квалификацию взаимодействия экспертов различного уровня. В этом процессе, как и в процессе подготовки педагогов, существенную роль должно играть решение учителем, будущим учителем задач разной сложности. Учительские олимпиады (включающие помимо решения задач и задания на поиск ошибки) возникают сегодня в различных регионах как инициатива «снизу».

Подготовка педагогов. Ключевым фактором рассматриваемых изменений является учитель. Повышение его квалификации, диагностика трудностей, знакомство с нововведениями для работающих учителей осуществляются системой методической поддержки и дополнительного профессионального образования. Педагогические вузы и классические университеты сейчас имеют возможность интегрировать новые элементы и подходы в формирующуюся систему двухуровневой подготовки.

Алексей СЕМЕНОВ, ректор Московского института открытого образования