На чтение: ≈ 4 мин.В природе редко встречаются шары и круги. Не связано ли это с иррациональной “привеской” 0,141592… к тройке в числе p? Может быть, природа не любит иррациональностей? Может быть, есть фигура, напоминающая окружность, но как бы чуть-чуть сплюснутая, для которой аналог числа p равен 3 точно? Такое “мировое яйцо” было бы совершеннее окружности. Архитекторов это всегда интересовало.
Однажды я листал старые книги по архитектуре и… да вот же оно – “мировое яйцо”! Его формулу открыл (если, разумеется, она верна) костромской архитектор Иосиф Шевелёв. В 1986-м вышла его книга “Принцип пропорции”.
Шевелёв говорит на языке, привычном архитектору. Мы же взглянем на проблему с точки зрения математики. Пусть … – знаменитое “золотое сечение”. Построим ряд 1, Ф, Ф2, Ф3, … Заметим, что 1 + Ф = Ф2 (да и вообще два соседних члена последовательности в сумме дают следующий). Значит, если из каждого члена данной последовательности извлечь корень, получив новую последовательность 1, Ф1/2, Ф, Ф3/2, … то каждая последовательная тройка членов ее будет “пифагоровой”, то есть из отрезков такой длины можно будет сложить прямоугольные треугольники. Эти треугольники образуют как бы “конструктор”, детали которого удобно прикладываются друг к другу. Их можно сложить, например, в спираль или в виде ромба.
Например, на рисунке изображен ромб, который Шевелёв предлагает рассматривать как своеобразный каркас “мирового яйца”. Если через вершины этого ромба провести кривую, то она, как утверждает архитектор, очертит контуры “мирового яйца”.
Шевелёв не приводит точной формулы этой кривой, но ее легко получить, внимательно анализируя текст книги. Вот эта формула:
x4 + y4 + 2x2y2 = x2 + y2 + 2y + 1.
Довольно просто здесь выразить x через y:
Теперь с помощью компьютерной программы “Математика” можно построить график. Вот он. На графике верхняя половина “мирового яйца”:
Легко представить, как оно выглядит целиком. Шевелёв проводит аналогии с черепом человека, с яблоком, с раковинами и пр. А мне бы хотелось сравнить “мировое яйцо” с сердцем. Дело в том, что “кривая Шевелёва” имеет так называемые особые точки (то есть изломы) при пересечении с осью абсцисс, как те “сердечки”, которые рисуют малыши на партах! Существование особых точек Шевелёв даже не заметил – вот в чем преимущество математического подхода. Нас также должно интересовать главное: разрешена ли “проблема довеска”? Будет ли длина кривой “мирового яйца” точно (или почти точно) делиться на то, что можно было бы назвать его радиусом (т.е. на Ф1/2)?
Можно посчитать, например, его площадь, ведь площадь круга равна pR2, и чтобы определить аналог числа p, надо разделить полученное на Ф. Для этого нужно взять интеграл:
.
А это непростое дело. Среди табличных интегралов такого нет.
Для знатоков – вот проблема, настоящая, серьезная, глубокая, имеющая философский смысл и приложения в архитектурной практике. Проблема, пока еще никем не решенная, – ответов в конце статьи привести не могу.
Евгений БЕЛЯКОВ
Выбор читателей
Комментарии