Решето Эратосфена.

Главное, что нужно понять и принять учителям математики в наших условиях, – это центральная роль мотивации, интереса учеников. Не к личности педагога. Не к формам проведения занятий. А к самой математике. Для этого есть только один способ – открыть детям математику КАК КРАСОТУ. То есть нужно перерыть все старые и новые книжки по популярной и занимательной математике, творения классиков и современную математическую литературу в поисках красоты. Дело облегчается тем, что в математике очень много красивых примеров, симметричных удивительных преобразований, замечательных графиков и чертежей. Но не вся, конечно, красота нам подходит, а только та, что хоть как-то связана с программой. Поэтому я решаюсь заявить: эстетический критерий должен быть главным при отборе программного материала.

Почему? Да потому что красота – это сконцентрированная математическая гармония. И это уже теперь нельзя игнорировать даже в технике.

Это должно быть доведено от абстракции до практического применения. Поэтому буду приводить примеры.

Возьмем число 142857. Удвоим его. Получилось 285714. Внимательно вглядываемся – числа те же, только в другом порядке! (К тому же это еще и способ актуализировать для ребенка, заметим, разницу между цифрами и числами). Интересно, а если утроить? Учетверить? Получаем последовательно: 428571, 571428, 714285, 857142. Наша закономерность продолжает выполняться. Цифры просто переставляются местами. Красиво.

Но это еще не все. Вглядимся! Порядок цифр остается прежним: если цифры 1, 4, 2, 8, 5, 7 нарисовать по часовой стрелке в круге (образовав своего рода хоровод цифр), то каждое следующее число, начинаясь с какой-то цифры, читается в том же хороводе тоже по часовой стрелке.

Очень удивительный хоровод, не правда ли? Ну а какое следующее число в этом ряду (ведь в хороводе 6 цифр, так что рано или поздно что-то должно повториться). Умножаем 142857 на 7 и получаем… сейчас … 999999!

Как такое чудо получилось? Как это можно объяснить? Объясняется это чудо очень просто. Если 1 разделить на 7, то… Но как делить? Можно ведь просто сразу сказать: 1/7. Нет, не так! Нужно получить ответ в десятичной форме. (Внимание! Актуализируются умения работать с десятичными числами).

Начинаем делить. Получаем цифры очень знакомые: 1, 4, 2, 8, … Деление продолжается, потому что не получается в остатке 0: …, 8, 5, 7, 1, … Снова 1. Это значит – прямо круг какой-то, дальше все будет повторяться точно так же: …1, 4, 2, …

Цикл выделяется скобками, вот так: 0, (124857). Запомним: такие числа называются бесконечными периодическими десятичными дробями. (Конечно, если дети это уже знают, нужно только напомнить).

Разделим теперь 2:7. Получим 0, (285714). Теперь 3 : 7 = 0, (428571). И так далее. Узнаете? Все наши «хороводные числа» так можно получить. Ну это понятно: 2 : 7 в два раза больше 1 : 7, 3 : 7 – в три раза… Получив какую-то цифру в остатке, мы – как белка в колесе! – уже не можем выскочить и прокручиваемся до самого конца, получив соответствующее число – цикл. А остатков всего 6 может быть – от 1 до 6, ведь остаток меньше 7, а 0 не получается никогда (так уж выходит с этой семеркой). Вот и все объяснение. Вот почему 6 цифр в «хороводе» – каждая соответствует определенному остатку.

Ученики проделывают массу примеров на действия с десятичными дробями. Считается, это как гаммы в музыке: скучно, долбежка, но необходимо, чтобы научиться считать. Эти примеры – раскройте любой задачник! – никак друг с другом не связаны, только номерами, которые ученики пишут в дневнике: сделать номера отсюда и досюда. И роспись классного руководителя, на которую накладывает визу строгий родитель.

А вы представьте теперь себе, что ведь все эти «номера», которые мы заставляем проделывать детей, можно логически объединить единой большой и красивой задачей – построение ТАБЛИЦЫ ДЕЛЕНИЯ. Причем результаты должны быть записаны в десятичной форме. Если это таблица 10 х 10, то получается 100 примеров. Если же 20 х 20 (как я и советую), то будет 400 примеров, некоторые из которых вовсе не такие уж простые. Таблица же будет большая настолько, что поместится только на большом листе ватмана. Требуются огромное трудолюбие и аккуратность, чтобы сделать такую таблицу, не допустив ошибки. И все же – вот ведь удивительное детское свойство увлекаться! – делают ребята эту таблицу с большим воодушевлением и удовольствием. Пусть те, кто не чувствует своей силы, сделают таблицу 10 х 10, а те, кто не слаб, – 20 х 20. На выбор, «на слабо». Вот тут-то и покажут они, кто на что способен! А делать изо дня в день эти скучные-прескучные примеры – ох и еще раз ох. И еще одна приманка. А вдруг в процессе вычислений найдется еще один «хоровод»? Скажу по секрету: найдется, обязательно найдется, да и не один!

А вот это уже удивительно даже для настоящего математика-профессионала. При делении ведь ноль может получиться после каждого вычитания, так что «по теории вероятностей» длинные циклы, циклы максимальной длины должны получаться гораздо, гораздо реже. Причина непонятного феномена не ясна.

При создании таблицы деления непроизвольно дети знакомятся с бесконечными периодическими десятичными дробями. Еще буквально один шаг и приходим к утверждению, что любая дробь представима в виде бесконечной периодической десятичной дроби (БПДД). Обратное, правда, в пятом-шестом классе доказать невозможно: нужны пределы.

Наш подросток усвоит разные способы представления рациональных чисел и вплотную приблизится к вопросу, что будет, если цифры в десятичной записи числа не будут повторяться никогда, то есть не будут образовывать цикла. Примером такого числа может быть вот такое: 0,101001000100001… Очевидно, это число не может быть зафиксировано как конечная запись даже со скобками. Если любая дробь дает запись со скобками (БПДД), то такое число не может соответствовать никакой дроби. Это становится понятно развитому в плане логики ребенку уже в шестом-седьмом классе. Значит, без всякого доказательства несоизмеримости диагонали квадрата его стороне можно понять необходимость появления иррациональных чисел.

Математическое мышление – это мышление во многом философское, это шаги к познанию мира, мира чисел, структур, внутренне присущей им гармонии. Было бы совершенно неправильно сказать, что обучение технике счета или преобразования формул есть обучение математике. Скорее, математика – глубинная интроспекция, в которой усматриваются совсем неочевидные взаимосвязи структур. И тогда, значит, обучение математике есть прежде всего обучение такой интроспекции, такому всматриванию в глубину самого разума, в себя, внутрь, в саму подкладку бытия. А научить рассчитывать параметры мотора можно и попугая.

Совет объединять отдельные примеры при вычислении таблиц я предлагаю трактовать очень расширительно. Вот, например, еще одна таблица (а сколько их в курсе математики – надо еще поискать): ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. Составляется с помощью так называемого Решета Эратосфена. Вспомним, все числа выписываются в квадратной таблице (например 10 х 10) и дальше зачеркиваются те, что делятся на 2, на 3, на 5 (т.к. те, что делятся на 4, уже зачеркнуты, раз они делятся на 2), на 7 (так как те, что делятся на 6, зачеркнуты, четные) и… все. Действует теорема, что больше зачеркивать ничего не нужно – оставшиеся числа все сплошь простые.

Это называется, как уже сказано, Решето Эратосфена. Эратосфен – древний математик (желательно тут вспомнить годы его жизни: 276-194 до нашей эры, и то, что заведовал сей великий математик Александрийской библиотекой и что заложил основы математической географии, вычислив с большой точностью величину земного шара).

А почему решето? Объясняют так: мы зачеркиваем числа, потом зачеркиваем еще числа, то, что остается, как бы напоминает то, что ОСТАЕТСЯ В РЕШЕТЕ. На самом деле все, что мы делаем, еще больше напоминает решето. Дело в том, что вычеркиваемые числа находятся на прямых линиях, а настоящее решето состоит из нитей, которые в натянутом виде тоже прямые. И эта мысль толкает нас к тому, чтобы построить решето весьма своеобразным способом: не вычисляя, а только лишь ПРОВОДЯ ЛИНИИ по линейке. Получается что-то вроде… решета…

Те немногие числа, которые остались незачеркнутыми, – простые (а также 2, 3, 5 и 7): 11, 13, 17 и т.д. Итак, Решето Эратосфена работает как своего рода аналоговая вычислительная машина. И, значит, вот что изобрел великий грек: он изобрел СЧЕТНУЮ МАШИНУ. А ведь для простых чисел не существует даже формулы, по которой их можно вычислить все. Нет такой формулы, а Решето есть. Простые числа располагаются на числовом ряду весьма причудливым образом, но, создав Решето Эратосфена достаточно большого размера, мы отсеем (построим) их ВСЕ без исключения. Все они окажутся в дырках совершенно правильного геометрически Решета! Так «правильно» ли их расположение или «неправильно»? Никто не может сказать.

Есть какая-то трудновысказываемая странность в этих простых числах. Вроде бы в Решете Эратосфена нет никаких случайностей и должна получаться точная и легко записываемая формулой последовательность. Но – как ни странно – ничего подобного: формулы нет! Сколько столетий уже искали – нет!

В это настолько не верится, что дети начинают искать несуществующую формулу. Но эти поиски не заканчиваются успехом…

Евгений Беляков