Прямой угол равен тупому Еще раз о математических софизмах

1. Через точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые, параллельные данной прямой.
Дана прямая MN и вне ее точка А. Проведем через точку А прямую АВ, параллельную прямой MN. Возьмем на MN некоторую точку С. На отрезке АС, как на диаметре, построим полуокружность. Пусть D – точка пересечения этой полуокружности с перпендикуляром к прямой MN, проходящим через точку С. Через точки А и D проведем прямую. Так как угол CDA прямой, a CDМN, то AD – прямая, параллельная MN. Следовательно, через точку А проходят две прямые, параллельные прямой MN. (Рис. 1)

В чем ошибка?
2. Прямой угол равен тупому. Попытаемся доказать, что прямой угол равен тупому. Для этого выполним следующее построение. Возьмем некоторый отрезок АВ и при концах его А и В построим прямой угол и тупой. (Рис. 2)

На сторонах этих углов от вершин их отложим равные отрезки AD = ВС. Отрезки АВ и DC разделим пополам и через точки деления проведем к этим отрезкам перпендикуляры. Так как АВ и DC непараллельны, то эти перпендикуляры пересекутся в некоторой точке О. Соединим точку О с точками А, В, С, D . Получившиеся треугольники AOD и ВОС равны, так как АО = OB, AD = ВС, DO = СО. Значит, OAD = ОВС, но ЕАО = ЕВО, поэтому DAE = СВЕ, т. е. прямой угол равен тупому. Аналогично могут быть рассмотрены случаи, когда точка О лежит на АВ и ниже АВ. (Рис. 3)

Вывод и в этих случаях будет такой же: прямой угол равен тупому. В чем же ошибка?
3. Всякий треугольник – равнобедренный. Пусть АВС (рис. 4) произвольный треугольник.

Проведем биссектрису угла А и перпендикуляр к стороне ВС, проходящий через ее середину D. Может оказаться так, что точка пересечения биссектрисы и перпендикуляра (К) будет лежать внутри треугольника АВС. Опустим из точки К перпендикуляры КЕ и KF на стороны АС и АВ. Имеем АЕК = АFК, а значит, КЕ = KF и АЕ = AF. Треугольники BKD и CKD также равны, а поэтому KB = КС. Остается рассмотреть прямоугольные треугольники BKF и СКЕ. Они равны, так как КЕ = KF и KB = КС. Из равенства этих треугольников вытекает, что ЕС = FB. Возьмем два равенства: АЕ = AF и СЕ = BF. Сложив их по частям, получаем AС = AВ. Аналогично можно провести рассуждения в случае, если точка К будет лежать вне треугольника AВС (рис. 5).

Рассуждения в случае, если точка К будет лежать на стороне ВС (совпадет с D), также несложны (проведи их сам). Во всех этих случаях приходим к выводу, что треугольник АВС – равнобедренный. Значит, любой треугольник – равнобедренный. Где ошибка?
4. Всякая окружность имеет два центра. Построим острый угол АВС (рис.6).

На сторонах его возьмем точки D и Е и через них проведем перпендикуляры к сторонам угла. Пусть эти перпендикуляры пересекаются в точке F. Через три точки, D, F и Е, проведем окружность. Эта окружность пересечет стороны угла в точках М и N. Отрезки МF и NF должны быть диаметрами построенной окружности, так как на них опираются вписанные в эту окружность прямые углы MDF и NEF. Середины отрезков MF и NF должны быть центрами построенной окружности. Следовательно, окружность имеет два центра. Где ошибка?
5. Внешний угол треугольника равен внутреннему, с ним не смежному. Рассмотрим четырехугольник АВСD, в котором сумма углов A и С равна 180╟ (рис. 7).

Через вершины D, А и В проведем окружность. Пусть эта окружность пересечет сторону DC в точке E. Соединим точку Е с точкой В отрезком прямой линии. Тогда С = 180╟ – А (по построению), BED = 180╟- А (так как четырехугольник ABED – вписанный, значит, сумма противоположных углов его BED и BAD равна 180╟). Следовательно, С = BED, но BED – внеш ний угол треугольника СВЕ, а С – не смежный с ним внутренний угол этого треугольника. Найди ошибку!
6. Хорда, не проходящая через центр, равна диаметру. Пусть в окружности проведен диаметр AВ. Через точку В проведем какую-либо хорду ВС, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АЕ. Наконец точки Е и С соединим отрезком прямой (рис.8).

Рассмотрим ABD и EDC. В этих треугольниках BD = DC (по построению), А = C (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, BDA = EDC (как вертикальные).
Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит, BDA = EDC, а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Поэтому АВ = ЕС. Где ошибка?
7. 64 = 65. Квадрат со стороной, равной 8 единицам длины, разрезан на 4 части, как показано это на чертеже (рис.9).

Из этих частей сложен прямоугольник. Основание этого прямоугольника оказалось равным 13 единицам длины, а высота – 5 единицам. Площадь исходного квадрата равна 64 квадратным единицам, а получившегося из него прямоугольника – 65 квадратным единицам. Значит, 64 = 65. В чем тут дело?
Из книги Ф.Нагибина
“Математическая шкатулка