Понимание требует времени

Сразу после новогодних праздников неожиданно для себя я стал вести уроки математики в частной начальной школе. У меня второй и третий классы.

В третьем классе учатся дюжина мальчишек и девчонок. Уроки математики проходят четыре раза в неделю по программе, разработанной под руководством Людмилы Георгиевны Петерсон.

На наших уроках мы в первую очередь учились умножать и делить столбиком многозначные числа на однозначное число.

Чтобы это изучение проходило отлично, каждый ребенок должен хорошо знать таблицу умножения и немного умножать и делить за пределами этой таблицы. Как можно помочь каждому ребенку ее закрепить?

Все мы умеем считать: один, два, три, четыре, пять… Это счет единицами, где каждое следующее число мы получаем путем прибавления единицы к предыдущему. Но считать можно не только единицами, но и парами: два, четыре, шесть, восемь, десять… А можно считать тройками: три, шесть, девять, двенадцать, пятнадцать, восемнадцать… Также осуществляется счет четверками: четыре, восемь, двенадцать, шестнадцать, двадцать, двадцать четыре, двадцать восемь, тридцать два… Подобный счет пятерками, шестерками, семерками, восьмерками и девятками способствует знакомству с составом таблицы умножения и немного с ее сутью: умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых, где результат умножения – это результат сложения одинаковых слагаемых. И считать так можно не только однозначными числами, но и дюжинами, и даже чертовыми дюжинами. Кстати, а ваши второклас­сники и третьеклассники знают, что такое чертова дюжина?

Другой способ закрепить таблицу умножения – это тренажеры и соревнования с их использованием. Один из них я могу порекомендовать: https://sunandstuff.com/multiply/.

Если с этими же детьми вы изучаете программирование, то можно сделать тренажер самостоятельно: https://scratch.mit.edu/projects/194074582/fullscreen/.
Все ли мои третьеклассники отлично знают таблицу умножения? Пока нет, поэтому в следующем учебном модуле нам есть чему учиться.

Учусь быть веселым

Главная идея, которая заложена Людмилой Георгиевной Петерсон в уроки математики, – это осознанные действия, понимание ребенком того, как действовать, изучая новое, закрепляя уже изученное, самостоятельно проверяя свою собственную работу. При этом подходе я учу не только, например, умножению и делению, но и тому, как учиться. Здесь очень важны вопросы, обращенные к детям: «Что значит учиться? Как строится урок, когда вы узнаете новое? С чего начнем? Что я вам сейчас предложу?
Почему возникло затруднение? Сформулируйте цель дальнейшей работы. Сформулируйте тему урока». Каждый этап работы должен быть отрефлексирован ребенком, тогда он не просто выучит то, что ему предлагают, но и научится учиться. В методических материалах, используемых мной при подготовке к уроку, ясно прослеживается тот самый современный системно-деятельностный подход.

Но на уроке у меня разные дети. С некоторыми мне бы еще закреплять таблицу умножения, знания их нетвердые, они медленно считают, производя табличное умножение, поэтому умножение в столбик тоже вызывает затруднение: нужно умножать трехзначные, четырехзначные, пятизначные числа, а это значит, что умножение нужно произвести три, четыре, пять раз, да еще удерживать в голове (или хотя бы верно записывать перенос разрядов), не путать умножение и сложение. Есть дети, которые за время, отведенное на решение с объяснением одного примера, могут выполнить пять-шесть, а каждый решенный пример нуждается в проверке. Должны ли ученик или ученица, способные считать быстро, ждать тех, кто считает медленно? Что могут делать ученики, сидя за партой, пока у доски решают пример с объяснением, который (пока объясняют) кажется таким понятным, что не стоит затрачивать ни внимание на его решение, ни усилия для запоминания формулировок объяснения (отдельных этапов алгоритма)? Как организовать самостоятельную работу для разных детей, учитывая уровень сложности заданий и способности самих детей?
На вопросы, которые задаю себе, я сам не могу ответить раз и навсегда. Каждый раз я учусь быть учителем: учусь быть интересным, понятным, добрым, веселым, учусь учить, пока мои ученики учатся учиться.

Вот, кажется, все умеют безошибочно умножать столбиком многозначные числа на однозначные: кто-то быстро, а кто-то медленно, кто-то четырехзначные, пятизначные и шестизначные числа, а кто-то пока только двузначные и трехзначные, а где-то рядом мы повторяем порядок действий, единицы измерения длины и массы, решение уравнений и задач.

В классе девочек на четыре человека меньше, чем мальчиков. Всего в классе двадцать пять человек. Сколько в классе девочек и сколько в классе мальчиков?
https://scratch.mit.edu/projects/648550991/fullscreen/

Папа с Мишей ходили на рыбалку. Папа поймал на семь рыб больше, чем Миша. Когда папа и Миша посчитали свой улов, то оказалось, что вместе они поймали сорок две рыбы. Сколько рыб поймал Миша и сколько рыб поймал папа?

https://scratch.mit.edu/projects/648558055/fullscreen/

На математическом празднике ученики двух классов решали разные задачи. Ученики 3‑го «А» решили на 11 задач больше, чем ученики 3‑го «Б». Напоминаю, что ученики 3‑го «А» решали одни задачи, а ученики 3‑го «Б» – другие, все задачи были различны. Сколько задач решили ученики 3‑го «А» и сколько задач решили ученики 3‑го «Б», если все вместе они решили 37 задач?

Деление с остатком

Понимание требует времени. У меня есть ученица, которая предложила два способа решения одной из задач. Но нужно ли сейчас, чтобы каждый понимал эти два способа? Думаю, что умения решать задачу хотя бы одним способом уже достаточно. А вот научить умению искать эти способы самостоятельно у меня пока не получилось. Может быть, не только детям, но и мне самому нужно время?

Умения умножать и делить связаны между собой. Сколько раз нужно взять одинаковые слагаемые? Это умножение. На сколько одинаковых частей можно разложить целое? Это деление. А если при разложении целого на одинаковые части остается часть, которая меньше слагаемого, то этот остаток мы оставляем. Это деление с остатком.

Как быстро дети умеют делить с остатком? Умеют ли они делать проверку деления с остатком? Наряду со знанием таблицы умножения эти вопросы нуждаются в ответах «умеют делать» и «умеют быстро». Одно дело – 56 разделить на 8 или даже 59 разделить на 8, а другое – 584 разделить на 8, тем более 700 на 9 или 53900 на 70.

Наблюдая за тем, как получается у детей научиться, проговаривая вслух, работая самостоятельно, я сам решаю, какой материал учебника и рабочей тетради им помогает, а какой отвлекает от главной цели, поставленной мной на этом этапе: научить делить столбиком. Очень важно привлечь для формирования навыка все доступные средства. Учить делить столбиком мне помогали не только учебник и рабочая тетрадь, которые разработала команда под руководством Людмилы Георгиевны Петерсон, но и учебные материалы образовательных платформ Учи.ру (https://uchi.ru/) и Яндекс.Учебник (https://education.yandex.ru/).

Чему я учил детей в третьем классе? Умножать и делить столбиком, решать задачи и уравнения? Учил ли я тому, что если приложить усилия, то можно научиться? В том числе научиться умножать и делить столбиком, находить число, которое скрывается за иксом, игреком и другими буквами латинского алфавита, понимать условие задачи, как бы оно ни было запутанно? Учил ли я тому, что мне, взрослому, было интересно на уроке математики, или тому, что математика может быть интересна и мне, и тебе – моему любимому ученику?

Задачи на сложение и вычитание

Уроки во втором классе проходили по программе, разработанной под руководством Марии Игнатьевны Моро.

Мы учились складывать и вычитать в столбик, делать проверку сложения и вычитания, находить неизвестное слагаемое, уменьшаемое и вычитаемое, решать задачи на сложение и вычитание, а также ознакомились с видами углов, учились определять их виды в четырехугольнике, называть четырехугольник, у которого все углы прямые, прямоугольником, впервые узнали, что квадрат – это тоже прямоугольник, но только прямо­угольник с равными сторонами.

Очень интересные задачи содержатся за пределами учебника в поурочных планах:

Когда цапля стоит на одной ноге, она весит 12 кг. Сколько она будет весить, если встанет на обе ноги?
https://scratch.mit.edu/projects/648065341/fullscreen/

На двух руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 8 руках?
https://scratch.mit.edu/projects/648075570/fullscreen/

Винни-Пуху подарили бочонок с медом массой 7 кг. Когда Винни-Пух съел половину меда, то бочонок с оставшимся медом стал весить 4 кг. Сколько килограммов меда было первоначально в бочонке?
https://scratch.mit.edu/projects/648083325/fullscreen/

Петя дал младшему брату половину своих яблок и еще одно яблоко, после этого у него не осталось ни одного яблока. Сколько яблок было у Пети?
https://scratch.mit.edu/projects/648093025/fullscreen/

Аня купила 1 десяток пуговиц, 2 пары пуговиц она пришила на платье. Сколько пуговиц у нее осталось?
https://scratch.mit.edu/projects/648097995/fullscreen/

Ручка, карандаш и резинка стоят 25 рублей. Ручка и карандаш стоят 23 рубля, а карандаш и резинка – 5 рублей. Сколько стоит каждый предмет?

Эти задачи помогают задуматься, а не приступать сразу к вычислениям. Очень важно быть внимательным к жизненному опыту детей. Были дети, которые спросили о значении слова «бочонок», были дети, которым их жизненный опыт говорил, что одна половина бывает больше другой, и я рассказывал, что поделить пополам и поделить на двоих поровну – это одно и то же, что одна половина всегда равна другой, а в реальной жизни обладание одной половиной вызывает зависть и чувство несправедливости, потому что другая, чужая, половина кажется больше. А в задаче про ручку, карандаш и резинку надо при подготовке к уроку актуализировать цены:
Ручка, карандаш и ластик стоят 75 рубля. Ручка и карандаш стоят 53 рубля, а карандаш и ластик – 30 рублей. Сколько стоит каждый предмет?
https://scratch.mit.edu/projects/648108009/fullscreen/

В лицах детей нас зовет будущее

Изучение математики под руководством Марии Игнатьевны Моро напоминает подход, который принято называть традиционным. Здесь очень бросается в глаза основательное изучение от простого к сложному без спешки, сообразно интеллектуальному развитию большинства детей.

Вот мы складываем двузначные числа. Десятки с десятками, единицы с единицами без перехода в следующий разряд: 73 + 21; 34 + 45; 82 + 15.

Вот мы вычитаем двузначные числа. Десятки из десятков, единицы из единиц без заимствования десятка, когда недостает единиц: 68 – 34; 75 – 52; 87 – 45.

Мы закрепляем умения складывать и вычитать и учимся проверять сложение вычитанием, а вычитание – сложением. Мы решаем задачи на сложение и вычитание:
Осенью около школы решили посадить 30 деревьев. После осенних посадок осталось посадить еще 8 деревьев. Сколько деревьев посадили осенью?

Из посаженных в парке 75 саженцев зимой вымерзли 10. Сколько саженцев прижилось?

Мы заполняем таблицы, чтобы научиться находить не только сумму и разность, но и неизвестные слагаемые, уменьшаемое и вычитаемое (см. таблицы).
Неизвестный компонент сложения или неизвестный компонент вычитания заменяем буквой и учимся решать уравнения:

9 + х = 17; 30 + х = 38; х + 20 = 28; х + 60 = 64;

38 – х = 5; х – 12 = 6; 45 – х = 30; х – 8 = 7; 14 – х = 6.

Мы мастерим из бумаги модель прямого угла, учимся сравнивать: угол больше нашей модели, значит, угол тупой, а если угол меньше нашей модели, то это угол острый.
Учимся строить углы с помощью карандаша и линейки; сравнивать с прямым углом, пользуясь угольником.

Угольником учимся определять виды углов в четырехугольниках. Узнаем, что четырехугольник, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.
Медленно, из урока в урок появляются знания, закрепляются умения, вырабатываются навыки.

Мы пишем столбиком двузначные числа: десятки под десятками, единицы под единицами. Складываем, начиная с единиц, получив при сложении единиц двузначное число, единицы пишем под единицами, а десятки переносим в разряд десятков и начинаем складывать десятки.

Вычитаем столбиком двузначные числа, записывая десятки под десятками, единицы под единицами. Мы вычитаем, начиная с единиц, но если не можем этого сделать, то занимаем один десяток в разряде десятков, о чем предусмотрительно ставим точку: десятков стало на один меньше, а единиц стало на десять больше. Теперь уже можно вычесть сначала единицы, записывая ответ в разряд единиц. А вычитая десятки, мы смотрим на точку, вспоминаем, что занимали один десяток, их теперь на один меньше, помня об этом, мы вычитаем из десятков десятки, записывая ответ в разряд десятков.

И так много примеров решаем из учебника, в рабочей тетради, закрепляем на образовательной платформе Яндекса.

А также мы решаем много задач:

Дети сделали 10 фонариков и 6 хлопушек. Сколько всего елочных игрушек они сделали?

Маме 32 года, а бабушке 56 лет. На сколько лет бабушка старше мамы?

У лодочной станции было 15 яхт. Когда несколько яхт вышло в море, осталось 8 яхт. Сколько яхт вышло в море?

Когда Оля прочитала 40 страниц книги, ей осталось прочитать на 5 страниц меньше, чем она прочитала. Сколько всего страниц в книге?

В ателье сшили 26 платьев, костюмов на 4 больше, чем платьев, а брюк на 10 меньше, чем костюмов. Сколько брюк сшили в ателье?

Задачи мы учимся читать вслух, делать краткую запись, схему. В текстах учимся видеть условие и вопрос. Нам, взрослым, кажется, что это очень легко, но это пока вы на свою просьбу прочитать условие задачи не услышите встречную просьбу ученицы: «Дмитрий Михайлович, я не знаю, что такое условие». Эти и подобные реплики о незнании, непонимании помогают мне, учителю, не спешить, а терпеливо объяснять одно за другим простыми словами, ясно и отчетливо, чтобы в ответ услышать: «О! Я поняла!» или «Я понял, это легко!»

Мы вместе считали примеры, решали задачи и читали главы из книги «Три дня в Карликании». И я снова повторю, что когда мы учимся, то учитель – это больше, чем учебник, чем рабочая тетрадь, чем поурочные планы. Мы те, кто может вести и от простого к сложному, и от трудного к еще более трудному. Мы можем вести за собой, а можем следовать туда, куда в лицах наших детей нас зовет будущее.

Дмитрий НОВИКОВ, лауреат Всероссийского конкурса «Учитель года России»-2013, ЯНАО