Погружаемся в мир формул. Мастерская квадратных уравнений. Статья 2

Сегодня мы будем говорить о теореме Виета. Попутно надо сказать, что главное открытие Франсуа Виета вовсе не теорема Виета, а сама наука алгебра. Дело в том, что алгебру открывали дважды. Первый раз (и мы уже говорили об этом) – Мухаммед аль-Хорезми. Но и после аль-Хорезми формул в алгебре еще не было. Как так не было? А вот так: общие формулы выражали словами. Помните, как вы заучивали, например, формулу квадрата суммы? Квадрат первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго. Вот примерно так же. Только сейчас, изучая формулу, мы можем ее записать буквами, а тогда буквенной записи не было вообще!

Смешно, но факт: записывать формулы буквами придумал только Виет – и вот это-то и было его главным открытием. А ведь Виет был современником королевы Марго. Посмотрим даты его жизни: он родился в 1540 году и умер в 1603-м. Всего за 8 лет до рождения знаменитого Д’Артаньяна – да это же почти наше время! Столько понадобилось человечеству, чтобы догадаться о такой «простой» вещи, как буквенная запись формул (хотя по поводу ее простоты могут быть сомнения).Итак, вот что придумал Виет.Предположим, есть приведенное (то есть с первым коэффициентом, равным 1) квадратное уравнение x2+3x-29=0. Можно его решать, а можно рассматривать в общем виде: x2+px+q=0                (1) Виет стал использовать буквы как параметры, превращающие конкретную формулу в целый класс формул (то, что мы выражаем словами «в общем виде»). Поэтому следующее рассмотрение будем вести именно по Виету – в общем виде. Рассуждения о формулах непривычны и для начинающих математиков, а подчас и для опытных непросты. Поэтому выдающийся современный математик Пенроуз дает такой совет: сначала, при первом чтении, текст читать подряд, минуя формулы, и ухватить только общий смысл, так как смысл формул объясняется в тексте словами (и таким образом, добавлю я, нас возвращают к математике до Виета). Если этого общего понимания достаточно, то к тексту уже можно не возвращаться. Если же требуется полное понимание, то надо вернуться, внимательно и медленно разобраться. Итак, дано приведенное квадратное уравнение (1), и мы заранее знаем, что оно имеет два различных корня x1, x2. Это означает, что верны равенства: x12+px1+q=0                  (2)иx22+px2+q=0                 (3)Почленно вычитая из (2) (3), получаем: (x12 – x22) + p (x1 – x2) = 0. Затем раскладываем квадрат разности в левой части и делим на (x1 – x2):p = – (x1 + x2)                 (4)Теперь подставим это в (1) и получим: x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0, откуда q = x1 x2                  (5) Эти две формулы (4) и (5), выражающие коэффициенты p и q через значения корней, и есть теорема Виета. Напомню, что мы сейчас рассмотрели тот случай, когда корней два, причем различных. Можно доказать, что трех корней в квадратном уравнении не бывает. Ведь в этом случае, например, p = – (x1 + x2) = – (x1 + x3), т.е. x2 = x3. Дальше. Пусть в приведенном квадратном уравнении есть два корня (равные или разные; в случае равенства мы говорим также об одном корне). Рассмотрим выражение (x1-x2)2. Оно равно:(x1-x2)2=x12-2x1x2+x22=(x1+x2)2-4x1x2=(-p)2-4c=p2-4c               (6) Поэтому равенство нулю выражения p2 – 4c «сигнализирует» нам о количестве корней. Если p2 – 4c = 0, то (x1 – x2)2 = 0 и х1=х2 – корень один. И наоборот, если корень один, то х1=х2 и p2 – 4c = 0.Если уравнение имеет всего один корень х1, то формулы (4) и (5) дают: p=-2×1 и q=x12. Верно это в общем случае или нет? «Сигнал», что имеется один корень – равенство p2-4q=0. Выразим q из p2-4q=0 и подставим в исходное уравнение (1). Получим:  . То есть  . Это уравнение имеет один корень                 (7) Отсюда сразу получаем p=-2×1 и  . То есть формулы (5) и (6) работают верно, и теорема Виета распространяется и на случай двух совпадающих корней.Теперь еще один способ вывести формулу для решения квадратных уравнений.Будем считать, что , ведь мы вправе выбирать, какому корню дать какой индекс. Согласны ли вы, что выполняется такая формула?             (8)Естественно – да, достаточно раскрыть скобки с плюсом и с минусом.Мы нашли формулу для решения квадратного уравнения в случае… если мы заранее знаем это решение! Но не спешите: давайте воспользуемся плодами теоремы Виета.Т. к.  , выполняется равенство , и это можно подставить в формулу (8). Получим И теперь применим формулы (6) и (4):            (9) Получается обычная формула решения приведенного квадратного уравнения. При положительном p2 – 4q она дает два корня, при p2 – 4q = =0 – один. При отрицательном p2-4q корней нет, т. к. при этом , то есть , чего не может быть. Формула (9) выведена чисто алгебраическим способом, без обращения к геометрической интуиции. Только логика. Вот почему эта страница может показаться сложной. На самом деле это не сложно, а, скорее, непривычно. Со временем математики научились преобразовывать головоломные формулы, пользуясь определенным набором правил и не очень-то задаваясь вопросом о том, что все это означает.Первым же был Франсуа Виет. Это феноменальная личность. Будучи сыном прокурора маленького городка на юге Франции, он стал главным помощником короля (сначала Генриха III, потом Генриха IV). Он разгадал сложнейший шифр, которым пользовались в переписке испанский и нидерландский короли. Он мог работать по трое суток без сна! И все-таки делом его жизни была математическая книга, своеобразный набор трактатов по формальной математике. Ведь на самом деле он был первым математиком в современном смысле слова, то есть преобразователем формул. В математике было не так много абсолютно звездных мгновений. Одно из них – открытие аксиоматического метода (принадлежит Евклиду или Евдоксу). Второе – открытие возможностей мыслить с помощью игры формул. И это открытие принадлежит Виету.Формальный аппарат – это великолепный инструмент. Это своего рода игра с заданными правилами. Мы погружаемся в мир формул, изучаем их, комбинируем, выводим одни из других, причем совершенно забыв подчас, что они означают: все равно результат оказывается правильный, даже если дорога к нему была пройдена с завязанными глазами. Отсюда все трудности в понимании. Со временем, однако, вы научитесь действовать по правилам, «отключив» геометрическую интуицию, и откроете неожиданные новые возможности формального метода мышления. Часто с помощью быстрого и оригинального «шахматного хода» в преобразованиях формул результат может быть достигнут во много раз быстрее, чем при блуждании впотьмах при попытках решить ту или иную задачу с помощью простых или хитрых рассуждений. Кстати, с этим вы уже много раз сталкивались при решении задач «на уравнения».