Поэма о самой точной и красивой из наук

Татьяна Борисовна ИВАНОВА – выпускница математического факультета Московского педагогического государственного университета, педагогический стаж более двадцати лет. Увлекается театром, путешествиями, ландшафтным дизайном, садоводством.

Пусть учитель сейчас не в моде

Представление опыта Татьяна Иванова начала в образе миссис «Икс», и даже ария была соответствующей:

Снова туда, в любимый мой класс,

Каждое утро спешу в ранний час.

Там правит бал царица наук

И встречу с ней режиссирую вдруг.

Любимой науке служу много лет,

С ней засыпаю и встречаю рассвет.

Логики строгой и мысли полет –

Вот что меня к ней влечет.

Пусть учитель сейчас не в моде,

Арлекин или шут он вроде,

Математика многих предметов мудрей,

Игры разума правят в ней.

Каскады чисел и симфония симметрий

Меня пленяют и вдохновляют.

Дождем лучистым посылают озаренье.

Урок окончен, а сил уж нет,

Но от детей идет поддержки свет.

Улыбок море окрыляет меня

И мысли свет в их глазах и умах.

Сквозь тернии к звездам их вести мне дано.

Закон Вселенной им познать суждено.

Открытий чудных много ждет на пути

И каждый может счастье здесь обрести.

Живу надеждой, что все это игра,

Всегда быть в форме – судьба моя.

Паруса могут быть не только алыми. Но и умными

Татьяна Иванова убеждена, что корабль жизни может нести в счастливое будущее только того, кто овладел знаниями. Сделать все, чтобы попутный ветер помогал достичь успеха каждому ученику, по ее мнению, задача учителя.

– С чего начинается каждый раз закладка нового судна? Конечно, она начинается с интереса и желания.

«Я хочу учиться!» – говорит восьмиклассник, который приходит в первый раз в восьмой класс нашего лицея, и я хочу, чтобы это желание у него осталось на всю жизнь.

Я хочу, чтобы развитие моих подопечных начиналось именно с интереса и желания.

А с чего все начинается? С математических игр, конкурсов, эстафет, со знакомства с математическими парадоксами и удивления перед математическими софизмами.

На занятиях в кружках и на спецкурсах мы начинаем проходить уже очень трудный материал, готовимся к будущему олимпийскому математическому движению. Мы участвуем в московских математических регатах и международных математических боях, которые проходят между математическими школами. В последний раз такая встреча у нас была с французами.

Основным мотивом развития становится: «Я решил самую трудную задачу!», и поднимается новый парус на нашем судне.

Но одного интереса и желания мало, известно, что гений состоит только из одного процента вдохновения, остальное – труд.

Моя главная задача – научить ребят трудиться и самостоятельно мыслить. Через что же это все решается? У меня есть специальная система дидактических материалов, рассчитанная на зону ближайшего развития ребенка, специальные упражнения, на которые я трачу уйму времени, разрабатывая их для классной, домашней, самостоятельной, контрольной работ. Затраты времени оправданы – ветер наполняет новый парус: «Я много умею и много знаю, а еще больше стремлюсь узнать!»

Рейтинговая система оценки, коллоквиумы, зачеты – неплохой стимул для овладения математикой на дальнейшем этапе.

Конец учебного года – это большой праздник – общественный смотр знаний, на который приглашают преподавателей кафедр математики, физики, информатики, старшеклассников, выпускников школы и, самое главное, родителей. Успехи, которых достигли наши дети, они демонстрируют всем, и в итоге выходят очень довольными и дети, и родители. Получается праздник для всех. Эти достигнутые успехи в дальнейшем укрепляют мотивацию, и это, пожалуй, тот этап – главный, переломный, который помогает понять: вот она – очередная вершина. Дети уже чувствуют вкус к победам, они познали первый успех. И мы им предлагаем участие в конкурсах, олимпиадах, в математических регатах и математических боях. Практически сто процентов моих учеников проходят через эти увлекательные состязания, получают призы и награды. Лучше награды никто больше ничего не придумал для поддержания мотивации. Тут поднимается новый парус: «Я – победитель олимпиады!»

За последние три года, по подсчетам коллег, мои дети взяли 88 призов на разных соревнованиях, начиная с окружных и заканчивая всероссийскими олимпиадами.

Но время идет, и, после того как дети уже почувствовали вкус удачи и успеха, втянулись в процесс познания математики, они по символическому корабельному трапу, по корабельным канатам поднимаются все выше и уже готовы к работе над очень серьезными проектами по математике, физике, программированию. Один из наших проектов в этом году победил на конкурсе «Шаг в будущее», пять ребят-одиннадцатиклассников стали победителями научно-исследовательской конференции «Шаг в будущее» и студентами МГТУ имени Н.Э.Баумана.

На главную палубу нашего корабля выходят успешные творческие личности. Творческие потому, что, если в школе ученик не научился сам ничего творить, то в жизни он может только подражать, только копировать. Учеба – это труд, а труд – это когда трудно.

20 минут на то,

что дается обычно

за 13 часов

На конкурсном мастер-классе Татьяна Иванова предложила своим ученикам поговорить о множествах. Основная трудность для нее заключалась в том, что на сцене в качестве учеников сидели и те педагоги, которые далеки от точных наук, поскольку преподают гуманитарные. Но все с заданиями справились, может быть, потому, что у них был такой замечательный учитель.

Все началось с определения того, что такое лето. Ученики сказали, что это тепло, счастье, отдых, удовольствие и так далее. Ко всему этому множеству красивых эпитетов учитель присоединила свои и объявила тему урока «Элементы теории множеств». Дальше пошел разговор о том, что же такое множества, как их складывать, умножать. Учитель сказала, что они даже выведут законы множеств, что совсем непросто.

На самом деле мир вокруг нас наполнен множествами. Это множество дней недели, множество учеников на уроках, множество учителей, которые работают в московских школах, множество поэтов, книг, эмоций и так далее.

Наблюдая мир, мы наблюдаем множества. Одним словом множества можно определить как совокупность, собрание, ансамбль, группа, семейство, набор, коллекция и так далее.

В математике как в особо точной науке не раз ученые пытались определить, что такое множество, но никому так и не удалось это сделать, потому что, давая определение, мы обычно делаем это через более общее понятие, а более общего понятия, чем множество, не нашлось.

Но Татьяне Ивановой очень понравилось описание множества, данное немецким математиком, основоположником теории множеств Георгием Кантором: множество есть многое, мыслимое нами как единое.

После признания в этом Татьяна Борисовна предложила группам своих взрослых учеников ровно за одну минуту из разных красных фигурок по группам сложить квадрат, а из желтых – прямоугольник. Таким образом, им нужно было реализовать на практике определение Кантора: из многого собрать единое. Задание было выполнено, хотя сделать это было не так уж и просто. Георгий Кантор, отметила Татьяна Борисовна, был бы результатами работы доволен.

Теория множеств, как и любая другая теория, обладает своей символикой. Поэтому дальше разговор пошел о математической записи множеств, о задании множеств и о многих других очень важных вопросах. Решая предложенные задачи, ученики даже смогли определить из пяти слов то, которое в данное множество не входит, поскольку не имеет таких свойств, которые имеют остальные элементы множества. (По иронии судьбы, лишним оказалось слово «оклад», которое в жизни учителя отнюдь не лишнее.) А затем все составляли слова из данного учителем множества букв. Это была комбинаторная задача, поскольку все составляли подмножества из множества. И тут учитель дал определение того, что такое подмножество и чем оно отличается от множества.

Все так освоили тему урока, что уже могли найти ошибки в предлагаемых множествах и сравнить эти множества, прочитать математическое высказывание и дать ответ, верно это высказывание или нет. Когда ученица, в жизни учитель литературы, сказала: «Высказывание «Множество Игрек – подмножество множества Зет» – верное» и обосновала правильность вывода тем, что «все элементы множества Игрек принадлежат множеству Зет», это было настоящей кульминацией урока.

А учитель предложила своим ученикам такую поучительную историю: «В октябре 1887 года знаменитому сыщику Шерлоку Холмсу понадобилось выяснить название одного парусного судна, он знал, что в таком-то году судно находилось в одном порту, в таком-то году – в другом порту, а в настоящий момент – в Лондонском. Шерлоку Холмсу потребовалось всего лишь несколько секунд, чтобы раскрыть дело и найти это судно. Для этого он сравнил три множества: множество парусников, стоявших в одном порту, с множеством парусников, стоявших в другом порту, и множеством парусников, стоящих в Лондонском порту. Оказалось, что только одно судно под американским флагом «Одинокая звезда» находилось во всех трех портах. Поскольку преступник, как предполагал сыщик, был американцем, дело было раскрыто». В результате на уроке был сделан вывод, что так оперировать множествами полезно не только сыщику, но и вообще всем людям, желающим получить информацию и найти ответ на тот или иной вопрос.

Дальше шла задача: «По итогам анкетирования учеников были получены следующее данные: из восьми человек шесть мечтают после конкурса отправиться в Париж, три из них хотят поправить свою нервную систему на Сейшелах. Известно, что каждый из них обязательно хотел бы побывать или там, или там. Вопрос, есть ли среди них мечтатель, который хотел бы оказаться и в Париже, и в США?» Ученики посчитали, что такой человек есть. Учитель, как выяснилось, клонила к проблеме пересечения множеств, а потому предложила закрасить на бумаге пересечение трех множеств, что сумели правильно сделать все. А уж с задачей «Два сына, два отца, а вместе – три человека» справились просто играючи и перешли к обсуждению темы сложения, объединения множеств.

В итоге ученики узнали на уроке, что такое множество, подмножество, какие действия можно выполнять с множествами и многое другое, а в конце урока получили маленькие оригами-суденышки, которые должны принести им удачу в жизни.

Жюри желает знать

Татьяне Ивановой члены жюри задавали больше вопросов, чем остальным конкурсантам, и это симптом. Когда умудренные судьи хотят знать о работе оцениваемого ими многое, значит, его работа их заинтересовала.

– Татьяна Борисовна, на уроках математики обычно «западает» ее связь с историей, в частности с историей математики. Какую долю урока вы отводите роли личности в математике?

– Вообще по ходу дела практически каждая новая тема на моем уроке начинается именно с этого, потому что теорема Ферма и другие теоремы, формулы тесно связаны с именами ученых. Но в этом плане большую инициативу проявляют сами дети. Когда они вырастают, то упоминают великих математиков в своих проектных работах. А когда они еще маленькие, то делают это в рефератах, в выступлениях на математических праздниках.

– В презентации опыта работы вы упомянули, что большое внимание уделяете конкурсным и олимпиадным задачам, которые требуют специфического подхода. Кроме того, при подготовке к математическим боям, конкурсам, как все мы знаем, всегда используется много самого разного материала, для которого на уроках в рамках программы времени не отводится вовсе. Как вы находите для этого время?

– Я нахожусь в привилегированном положении – у меня 8 часов математики, но, кроме того, я веду еще спецкурсы в разных классах. Например, мы изучаем множества более глубоко, красиво на богатом иллюстративном материале в рамках спецкурса. Конечно, я ввожу с 8-го класса исследовательские задачи, от этого никуда не деться, и различные олимпиадные задачи логического плана, но это на спецкурсах и в кружках. Честно говоря, я стараюсь на уроках или для домашней работы предложить такую задачу, для решения которой нужно знать больше, чем, допустим, предполагает программный материал. Когда мы готовимся к математическим регатам, ребята вытаскивают из интернета прошлые задания, собирается папочка задач, которые можно решать, потому что это им интересно.

– Как много ваших учеников идут потом в математические вузы?

– В этом году одна из моих выпускниц поступала на лингвистику в МГУ, где сдавала математику. Остальные поступали в технические вузы. У нас ведь учебное заведение, спрофилированное на МГТУ имени Н.Э.Баумана, МИЭМ, Текстильный. Сейчас нас очень полюбила Академия ФСБ, преподаватели приходят и «вербуют» выпускников.

– У нас сейчас есть много учебников по математике. Учителя порой ведут уроки по трем-четырем учебникам, находя в каждом нужное только им. Скажите, по каким принципам вы выбираете учебники для своих учеников?

– Физико-математические классы, к сожалению, обделены хорошей учебной литературой. Тот учебник Виленкина, который есть, достаточно устарел, он не отражает потребности нашего времени. Я ориентируюсь, честно говоря, на Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, есть такая подборочка Вавилова – его трехтомник «Алгебра», «Неравенства» и «Математический анализ». Это мои главные три книги. Еще Литвиненко – «Геометрия» и «Алгебра». Все это учебники очень высокого уровня. Почему я сказала на презентации опыта, что много времени трачу на подготовку дидактических материалов, причем каждый год приходится готовить новые? Потому что дети растут, у них проявляются разные интересы, я же нахожу новые и новые подходы подчас к уже наработанным темам. Для этого нужны учебники повышенного уровня.

– Есть такое мнение, что на уроке математики ученикам должно быть трудно, и если не на всем уроке, то во всяком случае на каких-то фрагментах урока уж точно. Вы разделяете это мнение?

– Для моих учеников на уроках всегда есть трудности, потому что на этих уроках они всегда трудятся.

– Как вы сами растете?

– Вместе с детьми в процессе обучения. До этого повышала квалификацию в МГТУ имени Н.Э.Баумана.

– А как бы и где хотели поучиться?

– У меня мечта попасть на курсы в Физтех, но они платные, и денег у меня на это нет. Почему туда? Потому что там очень интересный подход к решению задач с помощью координатно-векторного метода. Жутко хотелось бы посмотреть, как они там это делают. Некоторые наши выпускники, когда приходили туда на курсы, приносили задачки, и я с интересом их анализировала.

Я вызываю к барьеру всех тех, кто против математики

Лекция Татьяны Борисовны была не просто лекцией, а участием в ток-шоу «К барьеру». Она вызвала на поединок незримого, но очень критически настроенного по отношению к математике и математикам оппонента и спорила с ним от всей души, находя весомые аргументы в защиту любимого предмета. Итак:

– Я, Татьяна Иванова, преподаю математику и считаю, что она должна быть основой элитарного образования. Поэтому я готова отразить все доводы скептика. Например, такой: «Зачем углубляться в математику среднестатистическому ученику, которому в жизни не понадобятся все эти интегралы, пределы, область определения функций, секансы, экстремумы и масса других бесполезных определений, за которыми для взрослого человека, имеющего семью, работу, ничего не стоит?»

Часто слышу такие слова и считаю это опасной точкой зрения.

Во-первых, хорошее математическое образование полезно представителям самых разных специальностей, в том числе и весьма далеких от математики. Тот, кто хорошо знает математику, смог добиться в жизни существенных успехов, сделать карьеру. Например, Борис Грызлов, спикер Госдумы РФ, в 1973 году окончил Ленинградской электротехнический институт связи; Анатолий Чубайс, руководитель РАО ЕЭС, в 1977 году завершил учебу в Ленинградском инженерно-экономическом институте имени Пальмиро Тольятти; Михаил Фрадков, премьер-министр РФ, выпускник Московского станкоинструментального института, Михаил Фридман, председатель совета директоров ОАО «Альфа-Банк», – Московского института стали и сплавов, а Олег Дерипаска, президент АО «Русский алюминий», – физического факультета МГУ.

Во-вторых, невозможно на школьной скамье определить, кто войдет в будущую элиту, а кто – нет. Даже ставить такую задачу безнравственно.

В-третьих, если представить систему математического образования в виде горы, вершина которой соответствует элите, то, чтобы эта вершина находилась на высоте, соответствуя современным требованиям, необходимо правильно выстроить эту гору. Опуская подножие горы, мы опускаем и ее вершину.

Но скептика, пожалуй, сразу не удовлетворит мое объяснение. Он снова задаст вопрос: «А как же тогда объяснить высочайший уровень развития производства и жизни в США, где далеко не самое лучшее в мире математическое образование?»

Отвечаю, что его недоумение по этому поводу мне понятно. В странах со стабильной и высокоразвитой экономикой, с высоким уровнем жизни большей части населения важнейшая задача образования – воспроизводство социальной системы. При этом сам уровень образования может и не быть высоким, а общая образованность, необходимая в производстве, может поддерживаться за счет импорта специалистов. В странах же менее развитых экономически, с низким уровнем жизни, ставящих своей целью социально-экономическое развитие общества, едва ли не единственным способом осуществлять такое развитие за счет лишь внутренних резервов становится путь развития системы образования. Принятию этого постулата так называемой отечественной элите мешают наши природные ресурсы. Именно отсутствие этих ресурсов вынудило Китай развивать именно систему образования.

Чтобы развивать современное производство, современные технологии, управлять этим производством и принимать верные социально-политические и экономические решения, необходимы не только глубокие математические знания, но и в первую очередь владение математическими методами.

И тут скептик использует запрещенный прием: «А если бы уважаемый господин Фрадков спросил, зачем вообще нужно математическое образование, если математики-теоретики далеки от практических проблем, как бы вы его стали переубеждать?»

Я бы сказала Михаилу Ефимовичу, что в нашем государстве нужны очень умные, глубоко мыслящие люди, способные разрешить труднейшие проблемы, которые стоят перед нашей страной. Очень хорошо, если таких людей удастся найти именно среди математиков. В 1952 году к очень мудрому человеку, выдающемуся математику, академику, ректору МГУ в 1952-1974 годах Ивану Георгиевичу Петровскому обратился отец всех народов Иосиф Виссарионович Сталин. Великий вождь хотел создать великую атомную бомбу, он понимал, что нужно создавать новую вычислительную технику, космическую навигацию и прочее, поэтому и спросил академика, где найти таких людей, которые смогут это сделать. Петровский сказал: возьмите студентов и выпускников мехмата.

На мехмате МГУ учили не только решать прикладные задачи, но, главным образом, учили мыслить, и это дало возможность огромной массе людей выполнить все поставленные задачи. Это было результатом работы первоклассных университетов Москвы, Ленинграда, Харькова, Киева и Новосибирска.

«Но когда это было? – вопрошает скептик. – А сейчас математическое образование переживает кризис, умирает; в таком состоянии как оно может способствовать развитию цивилизации?»

Странно, что скептик не понимает элементарного: людям необходимо иметь модель, при которой человечество будет существовать, а создание такой модели требует огромного количества интеллектуальной силы. Для этого и нужно элитарное, возвышенное образование, которое без математики невозможно.

А скептик не унимается: «Но ведь что-то случилось с математическим образованием в нашей стране, когда-то мы были лучшими, а сейчас земля Российская оскудевает талантами?»

Есть парадокс, которому я не устаю изумляться. Тоталитарное государство, к сожалению, рождает хорошее математическое образование. Согласно всяческим международным исследованиям страны тоталитарного духа дают высокое математическое образование, потому что только в тоталитарной схеме можно заставить людей в десятилетнем возрасте три месяца подряд складывать дроби с разными знаменателями. С другой стороны, математика в тоталитарном обществе – это дополнительная степень свободы и даже некое диссидентство. В СССР математик не обязательно должен был вступать в партию. Если уж ты занимался общественными науками, тебе не отвертеться, а в математике можно было двигаться вперед в своей ученой карьере и без партийного билета. Тот же Иван Петровский был единственным беспартийным ректором МГУ. Это был момент диссидентства, момент внутренней свободы. Свободы, которая давала математикам возможность усомниться, возможность требовать доказательств!

Почему сегодня кризис в математическом образовании? Потому что налицо утечка мозгов, потому что сегодня просто так выучивать формулы корней квадратного уравнения ребенок не хочет, и его нужно обучать так, чтобы ребенок ощущал развитие, получая удовольствие от ощущения, что он преодолевает трудности обучения для своего развития.

И тут скептик заставляет меня долго объяснять, «что, собственно, могут дать духовному и культурному развитию тяжелые повседневные занятия математикой не только на уроке, но и дома ребенку, который хочет погулять, сходить в театр и кино, почитать книжку?»

Но разве математика – не существенный элемент культуры? Я рисую радугу и предлагаю поискать в различных областях влияние математики на гармоничное развитие ребенка.

Математика вообще и геометрия в частности – феномены общечеловеческой культуры.

Математика возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека. С точки зрения многих религий и религиозных культов мира математическое знание имеет высшее божественное происхождение. Духовно развитый человек должен иметь достаточное математическое образование.

Математическое знание теории, методы и факты образуют удивительно ценный, гармоничный и непротиворечивый мир, заполненный удивительными творениями человеческого гения, способный развиваться эстетически.

В основе математических знаний лежит принцип доказательности, один из самых нравственных принципов, созданных мыслящим человеком. Занятие математикой, по мнению Льва Николаевича Толстого, развивает добродетель. А если говорить об идеалах демократии, то мы вправе утверждать, что именно в математическом сообществе эти идеалы реализуются с наибольшей полнотой и именно благодаря принципу доказательности, регулирующему взаимоотношения в этом обществе.

Процесс занятия математикой способствует развитию интуиции и воображения, и это ярче всего проявляется в геометрии.

То, что именно математика среди всех учебных предметов наиболее способствует интеллектуальному развитию учащегося, общепризнанно и общеизвестно. Следует добавить, что именно математика обычно используется для измерения интеллектуального развития ученика. Здесь, безусловно, важную роль играют математические знания и математический метод. Уже сам процесс занятий математикой обладает огромным развивающим потенциалом. Для полноценного интеллектуального развития ребенку необходима полноценная интеллектуальная пища. Здесь следует добавить, что математика (и геометрия особенно!) представляет собой экологически чистую интеллектуальную пищу. А это очень важно сегодня, когда окружающая среда, в том числе и образовательная, подвержены всякого рода загрязнениям. Безусловно, важнейшая цель математического образования в школе – приобретение знаний и овладение математическим методом.

Математика, как мы все знаем, развивает такие важнейшие механизмы, как интуиция и воображение, вооружает логическим методом, с помощью которого можно обосновать истинность или ложность любого утверждения.

«А как же быть с тем, что математические числа – холодны, равнодушны, мертвы, – философствует скептик. – Помните, как у Николая Гумилева сказано: «А для низкой жизни были числа, как домашний подъяренный скот?».

А кто сказал, что мнение Гумилева – единственно верное? Ведь на этот счет у литераторов и поэтов были и иные. Например, такое:

Мечтатели, сибиллы и пророки,

Дорогами запретными для мысли,

Проникли – вне сознания – далеко

Туда, где светят царственные числа.

Предчувствие разоблачает тайны,

Проводником нелицемерным светит

Едва откроется намек случайный,

Объемлет нас непересказанный трепет.

Вам поклонюсь, я вас желаю, числа!

Свободные, бесплотные, как тени.

Вы радугой связующей повисли

К раздумиям с вершины вдохновения.

Виктория Молодцова

Эпиграмма и фото автора