От кубиков до матанализа Роль визуализации в процессе обучения математике

Визуализация в обучении математике – одна из “вечных” проблем математического образования. Она была актуальна еще в 1957 г., когда Пьер Ван Хиель впервые представил модель обучения геометрии с опорой на развитие визуального мышления учащихся. Необычайно популярна эта тема и сегодня. В 2001 г. Национальный совет учителей математики США целиком посвятил свой очередной ежегодник проблеме представления знаний в обучении школьной математике.

Попытаемся рассмотреть взаимодействие визуального и других способов представления информации. Можно выделить следующие уровни взаимодействия:
1. Динамическое визуальное представление
реальный процесс;
виртуальная реальность;
видеоизображение.
2. Статическое визуальное представление
реальный объект;
фотография;
иллюстрация/рисунок/картина.
3. Абстрактное визуальное представление
образ/график/чертеж;
концептуальная карта/схема;
абстрактный знак/обозначение.
4. Символическое/вербальное представление
определение/описание;
название/ярлык;
класс/род.
Английский психолог Р.Скемп в своей книге “Психология учения математике” описывает следующую ситуацию, подтолкнувшую его к изучению проблемы визуализации и разработке теории схемы.
Однажды коллега пригласил его посетить школу, в которой впоследствии тому предстояло работать. По телефону Скемп получил инструкцию (вербальный маршрут) о том, как доехать до школы: “После въезда в город по автомобильной магистрали А45 надо повернуть налево, затем на следующем переулке повернуть опять налево, на следующем светофоре – снова налево, далее через два светофора – направо, прямо проехать парковую зону и, наконец, повернуть налево к зданию школы”. Поскольку по ходу телефонного разговора Р.Скемп пытался записать основные пункты маршрута, то в блокноте у него осталась следующая запись:

А45
налево
налево
налево
направо
прямо
налево
школа

Нетрудно догадаться, что Скемп заблудился тут же после въезда в город. Ему пришлось купить карту города и по ней сориентироваться, как добраться до школы.
Очевидно, что в некоторых случаях вербальная модель представления информации дает заведомо ошибочную картину для решения задачи.
Концептуальное знание во многих случаях связано с визуальным представлением знаний, в то время как процедурное – с числовым, абстрактным и символическим представлением учебной информации. Например, концептуальное понимание того факта, что дроби 3/4 и 9/12 эквивалентны, предполагает визуализацию этого равенства. В этом случае ученик видит, что обе дроби выражают одно и то же число (рис.1). Для процедурного понимания указанного факта учащийся должен знать вычислительную процедуру: как из одной дроби получить другую – умножением/делением числителя и знаменателя дроби на одно и то же число 3.
3/4 = 3х3/4х3 = 9/12
или 9/12 = 9:3/12:3 = 3/4.
3/4 = 9/12

Рис.1. Визуальное представление эквивалентности дробей 3/4 и 9/12.

В процессе обучения математике важны оба типа знания: и концептуальное, и процедурное. Игнорирование одного из них приводит к существенным пробелам в математической подготовке школьников.
В отечественной психологии математики проблема соотношения визуального и других способов представления информации достаточно подробно рассмотрена в известной работе В.А. Крутецкого “Психология математических способностей школьников” на примере аналитического, геометрического и гармонического типов склада математического ума школьников. Так, ученики с преобладающим аналитическим типом математического мышления имеют очень сильно развитые словесно-логические способности и не нуждаются в использовании наглядно-образных опор в процессе решения математических задач и доказательства теорем. Дети с геометрическим типом мышления, напротив, имеют слабые словесно-логические, но очень сильно развитые наглядно-образные способности, что мотивирует их использовать наглядные опоры в решении задач. У учащихся гармонического типа, которых в экспериментах В.А. Крутецкого оказалось большинство, наблюдается равновесие в развитии словесно-логической и наглядно-образной составляющих математического мышления.
Место и роль визуализации в процессе обучения математике, в частности геометрии, были предметом масштабного исследования супругов Пьера и Дины (Гелдоф) Ван Хиель. Они построили модель обучения геометрии, согласно которой существует определенная зависимость между уровнем обучения геометрии и уровнями развития геометрического мышления школьников.
В соответствии с данной моделью для успешного изучения геометрии необходимо последовательно пройти цепочку: фигуры – свойства – доказательства – аксиоматический метод. Это помогает спроектировать сквозной курс геометрии, проходящий через все ступени школы: начиная с изучения геометрических форм в начальной школе, далее к изучению свойств геометрических фигур на средней ступени школы, затем к осмыслению строгости, доказательности в геометрических рассуждениях и, наконец, к аксиоматическому методу построения геометрии в старших классах. В связи с этим выделяются следующие уровни развития геометрического мышления школьников.
Нулевой уровень – визуализация. Ученик умеет распознавать различные геометрические формы, знает названия различных геометрических фигур, различает фигуры на плоскости и в пространстве.
Первый уровень – анализ. Ребенок способен распознавать отдельные элементы геометрических фигур, понимать взаимоотношения между элементами, усваивать свойства отдельных элементов и геометрических фигур в целом, готов к первичному восприятию методов геометрических преобразований.
Второй уровень – неформальная дедукция. Этот уровень характеризуется способностью школьника к классификации геометрических фигур по различным признакам и свойствам, к построению простейших умозаключений, а также готовностью к усвоению предложенных учителем доказательств элементарных геометрических теорем. Однако ученик пока еще не способен конструировать свои собственные доказательства.
Третий уровень – дедукция. Принципиальное качественное отличие данного уровня от предыдущего заключается в том, что учащийся способен самостоятельно решать задачи на доказательство, строить доказательства теорем, устанавливать взаимоотношения между различными теоремами курса геометрии, а также владеть различными методами доказательства.
Четвертый уровень – аксиоматика. На данном уровне ученик способен воспринимать различные аксиоматические модели построения геометрии как науки. Он также готов к неформальному переносу идеи аксиоматического метода в другие области знания.
Исходя из этого П. Ван Хиель предлагает начинать обучение геометрии с самого раннего возраста, ибо даже малыши в старших группах детского сада способны распознавать простейшие геометрические формы и фигуры (квадратики, кубики, кружки, шарики, треугольники, пирамидки и т.д.).
Начало 90-х годов в математическом образовании многих англоязычных стран (в частности, США) ознаменовалось движением по реформированию обучения другой математической дисциплине – математическому анализу, а точнее, его части, которую американцы называют Calculus, что в переводе означает “исчисление” (имеются в виду элементы дифференциального и интегрального исчисления).
Фундаментальной работой в этом направлении явилась книга “Визуализация в обучении математике”, изданная в 1990 г. Математической ассоциацией Америки (МАА). В этом сборнике статей видных педагогов-математиков убедительно доказан тот факт, что многие проблемы в обучении математике, и в частности началам анализа, связаны с недостаточной визуальной поддержкой абстрактных научных понятий. Так, лишь только 5,4% учащихся (из выборки – 937 испытуемых), прошедших курс начал анализа, смогли правильно вычислить следующий интеграл:
3S-3 /x+2/dx.
Одной из причин такого низкого результата при вычислении достаточно элементарного интеграла, как показали результаты эксперимента, является оторванность аналитических процедур от визуальных (геометрических).

Норма ПРЕСМЕГ, доктор философии, профессор Иллинойского государственного университета;
Мурат ЧОШАНОВ, доктор педагогических наук, профессор Техасского государственного университета, США