На чтение: ≈ 10 мин.Занятие хорошо проводить в виде интеллектуальной игры “Умницы и умники”. Ученики старших классов рассматривают такие уроки, как экзамен на качество знаний. Вопросы к агонам необходимо подбирать по трем уровням, т.к. три дорожки (красная, желтая, зеленая) дают возможность всем ученикам принимать участие в этой игре. Если участвовать в игре изъявили желание слабоуспевающие ученики, то лучше жеребьевку не проводить, а предложить ребятам самим выбрать цветовую дорожку, предварительно объяснив, чем отличаются вопросы для каждой дорожки. Если участник не может ответить на тот или иной вопрос, право ответа предоставляется зрителям (остальным ученикам класса). За каждый правильный ответ вручается орден, и по количеству орденов в конце урока выставляются оценки. За урок у меня успевали отвечать три тройки участников, а на один-два вопроса – почти все “зрители”. К концу урока знания всех учеников можно оценить.
Действующие лица:
Ведущий – учитель математики.
Эрудит (помощник ведущего в интеллектуальном марафоне) – ученик из этого или параллельного класса.
Высокий ареопаг – учителя математики или гости – старшеклассники, хорошо знающие и любящие математику.
Ведущий проводит жеребьевку для агонистов, кто на какой дорожке будет работать. На желтой дорожке допускается одна ошибка, на зеленой – две ошибки, на красной – ни одной. Заранее нужно заготовить ордена в соответствии с количеством вопросов. Ордена окрашены в цвета дорожек.
ВОПРОСЫ К АГОНАМ
Вопросы для красной дорожки
1. Как легче всего запомнить формулы приведения?
(Я для запоминания формул приведения использую следующее:
а) четкое знание знаков тригонометрических функций по четвертям тригонометрического круга; б) запомнить, что, если угол отложен от горизонтального диаметра тригонометрического круга, тригонометрические функции угла не изменяются и ее знаки тоже, например, sin 2/Зp = sin(p – 1/3 p) = sin1/3p. Если угол отложен от вертикального диаметра тригонометрического круга, тригонометрические функции угла изменяются следущим образом: синус угла на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс, а знаки сохраняются как у первоначальной функции, например: cos 3/4p = cos(p/2 + p/4) = – sin3p/4).
2. Какие тригонометрические функции относятся к четным?
(cos x и sec x).
3. Можно ли найти все тригонометрические функции угла, зная значение одной из них?
(Можно, используя основные тригонометрические тождества: sin2a + cos2a = 1, 1 + tg2a = 1/cos2a,
1 + ctg2a = 1/sin2a).
4. Чем тождество отличается от уравнения?
(Уравнение – равенство, содержащее переменную. Равенство выполняется только при определенных значениях переменной. Тождеством мы называем равенство двух выражений, которое выполняется при любых значениях переменной. В уравнении конечное число корней не выше степени уравнения, а тождества могут выполняться при бесчисленном количестве значений переменных).
5. Назовите промежутки возрастания и убывания функции: у = sin x.
(-p/2+2pk; p/2+2pk, keZ) и (p/2+2pk; 3/2p+2pk, keZ).
6. Сформулируйте правило построения графика функции y=f(x/k).
( Для построения графика данной функции надо подвергнуть график функции f(x) растяжению с коэффициентом k вдоль оси абсцисс).
7. Будет ли функция Аf(кх + Т) периодической, если известно, что функция f(x) периодическая?
(Если функция f(x) периодическая и имеет период Т, то функция Af (kx + b), где А, k, b постоянные, а k не равно нулю, также периодична, причем ее период равен T/╫k╫).
8. Докажите, что функция f(x)=3×2+x4 является четной.
(Если f(х)=f(-х), то функция четная. f(-x)= 3╥(-x)2 + (-х)4 = Зх2 + х4).
9. Функция f(х)= х5 cos3x + х4 является четной или нечетной?
(f(-x) = (-x)5cos3(-x) + (-х)4 =
– x5cos3x + х4. Т.к. f(-х) не равно f(x) и f(-x) не равно -f(x), то функция не является ни четной, ни нечетной).
Вопросы для зеленой дорожки
1. Перечислите основные тригонометрические тождества.
(sin2x + cos2x = 1, tgx ╥ ctgx = 1, 1+ tg2x = 1/cos2x, 1+ ctg2x = 1/sin2x).
2. Назовите наибольшее и наименьшее значения тригонометрических функций.
(У синуса и косинуса наибольшее значение равно 1, наименьшее -1, тангенс и котангенс наибольшего и наименьшего значений не имеют).
3. В каких четвертях тригонометрического круга tgx и ctgx имеют положительные знаки?
(В первой и третьей четвертях).
4. На что отображается функция y=sinx?
(На отрезок [-1; 1].
5. Каким словом можно заменить слово “функция”?
(Отображение. Слова “функция” и “отображение” – синонимы).
6. Назовите функции, область определения или область значений которых, а возможно, и оба этих множества не являются числовыми множествами.
(Например: область определения D(y) функции “Площадь многоугольника” при фиксированной единице измерения площадей является множеством многоугольников плоскости. Область значений Е(у) этой функции – множество неотрицательных чисел; площадь 0 (ноль) имеют “вырожденные” многоугольники, например отрезок).
7. Дать определение функции, используя слово “отображение”.
(Функцией с областью определения D и областью значений Е называют отображение множества D на множество Е, при котором каждому элементу множества D соответствует один вполне определенный элемент множества Е, и каждый элемент Е поставлен в соответствие некоторому, хотя бы одному, элементу множества D).
8. Дать определение минимума функции.
(Точка х0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполняется неравенство f(x) f(xo)).
Вопросы для желтой дорожки
1. Являются ли графики тригонометрических функций симметричными?
(Являются. График функции y=cosx симметричен относительно оси ординат на отрезке [-p/2,p/2], а графики функций у = sinx, у = tgx и
у = ctgx симметричны относительно начала координат).
2. Как можно определить, симметрична ли функция?
(Нужно выяснить, является ли функция четной или нечетной. Графики четных функций симметричны относительно оси ординат, а графики нечетных функций симметричны относительно начала координат).
3. Чему равен наименьший положительный период функций y=sinx и y=cosx?
(Наименьший положительный период данных функций равен 2p).
4. Можно ли поведение периодических функций рассматривать только на отрезке, равном наименьшему периоду?
(Можно, например, для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести исследование и построение на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояние nТ вправо и влево вдоль оси Ox, n – натуральное число).
5. Чем отличаются графики функций y=sinx и y=sinx+2?
(График функции y=sinx+2 можно получить переносом графика функции y=sinx на две единицы вверх по оси ординат).
6. В какую фигуру переходит график функции f при растяжении с коэффициентом k вдоль оси ординат?
(Пусть х▓=х, y▓=ky, тогда сразу получаем, что произвольная точка (х; f(x)) графика функции f переходит в точку (х; kf(x)). Отсюда следует, что график f переходит в фигуру, состоящую из всех точек (х; kf(x)) где
xe D(f). Эта фигура является графиком функции у=kf(x)).
7. Сформулируйте правило построения графика функции kf.
(Для построения графика функции y=kf(x) надо растянуть график функции y=f(x) в k раз вдоль оси ординат).
8. Какими формулами задается растяжение вдоль оси Ох с коэффициентом k.
(Растяжение вдоль оси Оx с коэффициентом k задается формулами: х▓=kx, у▓= у).
Таисия БАТАЕВА,
учитель математики Юрьевской средней школы
село Юрьевка,
Губкинский район,
Белгородская область
Выбор читателей
Комментарии