На чтение: ≈ 13 мин.Тема: “Элементы комбинаторики и теории вероятностей”.
Цель: Сообщение новых знаний, формирование умения решать простейшие комбинаторные задачи и вычислять вероятность событий.
Оборудование: 4 монеты, 4 игральных кубика (от 1 до 6), 1 кубик (от 1 до 3), 4 спичечных коробка пустых, таблица с видами событий, 12 таблиц для занесения результатов испытаний.
Ход занятия.
Сообщение темы занятия и цели.
С некоторыми комбинаторными задачами вы уже знакомы. Например следующие:
1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7 (цифры в числе не повторяются)? (Шесть: 14, 17, 41, 47, 71, 74).
2. Сколько различных 3-значных чисел можно составить из цифр 3, 7 и 8 (цифры не повторяются)? (Тоже шесть: 378, 387, 738, 783, 873, 837).
3. Сколько 4-значных чисел можно составить из 4 цифр? Разбор решения. “На 1-е место в 4-значном числе – 4 варианта, на 2-е – 3 варианта, на 3-е – 2 варианта, на 4-е – 1 вариант”.
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24. 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4.
3! = 1 ∙ 2 ∙ 3.
Вводятся определения факториала и формула для вычисления n перестановок из n числа.
P=n! n! =1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … : (n-2)(n-1) ∙ n
Задачи о подсчете числа возможных комбинаций называются комбинаторными.
Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. Несколько тысячелетий назад в Древнем Китае занимались составлением магических квадратов. С ними мы знакомились в 5-м классе. Простейший магический квадрат 3х3 (он единственный с такими размерами).
Инсценированная задача.
Ребята, представьте, что мы с вами оказались в конце XIX в. на постоялом дворе.
Пассажир ходит, ожидая кучера. Затем появляется кучер и пассажир спрашивает:
– Не пора ли запрягать?
– Что вы! – ответил кучер. – Еще полчаса до отъезда. За это время я успею 20 раз и запрячь, и отпрячь, и опять запрячь. Нам не впервой…
– А сколько в карету впрягается лошадей?
– Пять.
– Сколько времени полагается на запряжку лошадей?
– Да минуты 2, не более.
– Ой ли? – усомнился пассажир. – Пять лошадей запрячь в две минуты… Что-то уж очень скоро!
– И очень просто, – отвечал кучер. – Выведут лошадей в сбруе, постромках с вальками, в вожжах. Остается только накинуть кольца вальков на крюки, приструнить двоих средних лошадей к дышлу, взять вожжи в руки, сесть на козлы и готово… Поезжай!
– Ну хорошо! – заметил пассажир. – Допустим, что таким образом можно запрячь и отпрячь лошадей хоть 20 раз в полчаса. Но если их придется перепрягать одну на место другой, да еще всех, то уж этого не сделать не только в полчаса, но и в два часа.
– Тоже пустячное дело! – расхвастался кучер. – Разве нам не приходится перепрягать! Да какими угодно способами я их всех перепрягу в час, а то и меньше – одну лошадь на место другой поставил, и готово! Минутное дело!
– Нет, ты перепряги их не теми способами, которые мне угодны, – сказал пассажир, – а всеми способами, какими только можно перепрячь 5 лошадей, считая на перепряжку одну минуту, как ты хвастаешь.
Самолюбие кучера было задето.
– Конечно, всех лошадей и всеми способами я перепрягу не более как за час.
– Я дал бы 100 рублей, чтобы посмотреть, как ты сделаешь это за час! – сказал пассажир.
– А я при всей своей бедности заплачу за ваш проезд в карете, если я этого не сделаю, – ответил кучер.
Так и условились.
Итак, ребята, кучер с пассажиром задали нам задачу: “Сколькими способами можно пререпрячь пять лошадей?”
Решают сами. 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5! = 120 (способов), значит, за один час кучер не успеет справиться с заданием.
Определения
В природе, да и в обыденной жизни часто приходится иметь дело с явлениями случайными, т.е. с ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть. Вы покупаете лотерейный билет – можете выиграть, а можете и не выиграть; на выборах может победить один кандидат, а может и другой.
Случайным называется событие, которое может произойти, а может и не произойти.
События бывают:
равновозможными (равновероятными);
маловероятными;
более вероятными;
достоверными;
невозможными.
Определите вид следующих событий:
1. Выпадение “орла” или “решки” при подбрасывании монеты.
2. Зашли в темную комнату, включили свет, загорелась лампочка.
3. Если опрокинуть стакан с водой, вода выльется.
4. В жаркий летний день пошел снег.
5. Приезд президента Уганды в г.Знаменск.
Важно знать, можно ли найти закономерности в мире случайного? Можно ли какими-либо способами оценить шансы наступления интересующего нас случайного события? Ответ на эти вопросы дает наука, которая так и называется – теория вероятностей.
Это наука о вычислении вероятностей случайных событий.
Практика.
Сейчас мы с вами проведем некоторые испытания.
1-й ряд: ученики подбрасывают по 25 раз спичечный коробок.
2-й ряд: по 25 раз подбрасывают монету.
3-й ряд: по 25 раз – игральный кубик.
Заранее раздать следующие таблицы.
1-й ряд
Дается формула для подсчета частоты.
Частота =Число появления событий/Число экспериментов
Подсчитываем частоту наступления вышеперечисленных событий. На доске заполняются аналогичные таблицы.
По частоте события определяют вероятность случайного события. Чем больше испытаний, тем точнее определяется вероятность.
Вероятность события обозначается большой латинской буквой P (от французского probabilite, что в переводе – возможность, вероятность).
Например, P(A) =0,5(вероятность выпадения “орла”).
В XVII в. эксперименты с монетой проводил француз Жорж Луи де Бюффон, у которого “орел” выпал 2048 раз при 4040 испытаниях.
2048/4040 0,51
В начале XX в. английский математик Карл Пирсон провел 24000 экспериментов. “Орел” выпал 12012 раз.
12012/24000 0,50 P(A)= 50%.
Прикладное значение.
Вероятностные оценки широко используются в физике, биологии, социологии, в экономике и политике, в спорте и повседневной жизни человека. Если в прогнозе погоды сообщают, что завтра будет дождь с вероятностью 70%, то это значит, что не обязательно будет дождь, но шансы велики и стоит взять зонтик, выходя из дома. Умение оценивать вероятность наступления событий очень полезно, например, при решении вопроса, стоит ли участвовать в лотерее или вступать в игру.
Мини-сценка.
Руслан предлагает сыграть Саше с ним в игру. Каждый по очереди бросает кубик, на противоположных гранях которого написаны числа 1, 2, 3. Если выпадает нечетное число, то 1 очко получает Руслан; если четное – очко Саше. Выигрывает тот, кто первый наберет 30 очков. Бросают несколько раз.
Саша: Эта игра несправедливая, потому что на 4 гранях написаны нечетные числа, а на 2 – четные.
Частота = 4/6 = 2/3; частота =
2/6 = 1/3.
Руслан, у тебя больше шансов, т.к. вероятность больше.
Рассмотрим другой пример из жизни.
У киоска встречаются Оля и Андрей. Ольга выбирает, какую из 3 видов лотереи купить: “Спортлото”, “Поле чудес”, “Русское лото”.
Андрей: Что хочешь купить? Книгу какую-нибудь с задачами?
Оля: Нет, родители разрешили что-нибудь купить. Вот выбираю, билет какой лотереи купить. Возьму “Спортлото”.
Андрей: Математик, прежде чем купить билеты той или другой лотереи, подсчитает шансы получить выигрыш. Смотри: 49 ∙ 48 ∙ 46 ∙ 47 ∙ 45 ∙ 44 = 10.068.347.520, т.к. порядок нам не важен, то разделим на 6= 720 и получим 13.983.816 способов зачеркивания. Это твой шанс.
Оля: Ладно, билеты этой лотереи брать не буду, возьму “Поле чудес”. Якубович обещает полный ящик денег, если угадаешь победителя в каждой тройке игроков в играх месяца. Это просто.
Андрей: А ты подсчитай, что в течение месяца проходит 4 передачи, в каждой передаче 3 тройки, да еще 4-я из победителей первых 3. Таким образом, надо угадать победителя в 16 тройках. В каждой тройке, естественно, 3 варианта выбрать победителя, а всего 316 вариантов, а это 43.046.721 вариант. Шанс еще меньше.
Оля: Ну а “Русское лото?” Самая популярная лотерея в стране.
Андрей: Да, это надо, чтобы ты закрыла 30 номеров из 90 возможных. Это 19-значное число. За счет того, что в этой игре несколько кругов, то шансы увеличиваются до 56 млн.
Оля: Да, Андрей, и как я до этого раньше не додумалась? Скажи, а как ты так быстро считаешь шансы?
Андрей: Недавно прочитал учебник по теории вероятностей, вот и научился.
Оля: Вот и я такой куплю. Спасибо за совет.
Подведение итогов.
Итак, ребята, сегодня вы познакомились с элементами комбинаторики и теории вероятностей.
Вероятность – это ожидаемая частота того, что какое-то событие произойдет.
Определите, глядя на таблицу, к какому виду можно отнести каждое из следующих событий:
а) выигрыш 3 млн. в лотерее;
б) камень, брошенный в воду, поплыл по реке;
в) выходишь на улицу, а навстречу идет слон;
г) летом у школьников будут каникулы;
д) на этой неделе выпадет снег.
Домашнее задание.
1. Возьмите две пуговицы – “с ножкой” и без нее. Оцените вероятность выпадения на каждую из сторон пуговиц, проведя 100 экспериментов с каждой пуговицей.
2. На 100 батареек попадают 3 бракованные. Какова вероятность купить бракованную батарейку?
Литература:
1. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П.Савин. – М.: Педагогика-Пресс, 1997. – 360 с.
2. Математика. 6-й класс: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений/Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, И.Ф.Шарыгин и др. – М.: Дрофа, 1997.
3. Математика. 6-й класс: Рабочая тетрадь: К учебнику под редакцией Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина “Математика 6”. – М.: Дрофа, 1998. – 112 с.
4. Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Лучшие задачи на смекалку. – М.: Научно-технический центр “Университетский”:АСТ-ПРЕСС, 1999. – 304 с.
5. Фаддеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников. – М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1987. – 336 с.
Елена НАБОКИНА,
учитель математики
ср.школы N 231
Знаменск,
Астраханская область
Выбор читателей
Комментарии