На чтение: ≈ 36 мин.ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ
Изучение математики в основной школе направлено на достижение следующих целей:
╥ овладение математическими знаниями, необходимыми для применения в повседневной жизни, изучения смежных дисциплин, продолжения обучения в профилированной старшей школе или иных формах среднего образования;
╥ интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем;
╥ формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества;
╥ приобретение сообразной возрасту компетентности в сфере математики:
Практическая математическая компетентность предполагает, что выпускник основной школы:
– имеет твердые навыки выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений (точных и приближенных);
– владеет символическим языком алгебры, а также развитой техникой тождественных преобразований рациональных выражений, свободно применяет полученные навыки в ходе решения задач;
– владеет приемами решения линейных и квадратных уравнений, линейных неравенств, а также приводимых к ним уравнений, неравенств, систем; научится применять графические представления для решения и исследования уравнений, систем, неравенств; уверенно применяет полученные умения для решения задач из математики, смежных предметов, практики;
– владеет системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, использует функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей; изучит функции, предусмотренные минимумом содержания обучения, их свойства и графики;
– владеет геометрическим языком и научится использовать его для описания предметов окружающего мира;
– имеет первичные пространственные представления и изобразительные умения, навыки геометрических построений и измерений;
– применяет систематические знания о плоских фигурах и их свойствах, а также о простейших пространственных телах к решению практических задач геометрического содержания;
– владеет основными способами представления и анализа статистических данных;
– умеет устанавливать вероятность событий, доступных для анализа на полученном уровне математических знаний, прогнозировать наступление событий на основе статистики и вероятности;
– применяет изученные понятия, результаты и методы при решении задач из различных разделов курса, в том числе задач, не сводящихся к непосредственному применению известных алгоритмов.
Социально-личностная компетентность предполагает, что выпускник основной школы:
– овладевает стилем мышления, характерным для математики, его абстрактностью, доказательностью, строгостью;
– умеет логически обосновывать суждения, выдвигать гипотезы и понимать необходимость их проверки;
– умеет ясно, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) и свободно переходить с языка на язык для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
– умеет использовать математические подходы для решения задач, возникающих в окружающем его мире;
– понимает, что реальный мир подчиняется не только детерминированным, но и статистическим закономерностям;
– умеет осуществлять поиск, отбор, анализ, систематизацию и классификацию информации;
– умеет использовать разнообразные информационные источники и самостоятельно составлять базы данных; интегрировать в личный опыт новую, в том числе самостоятельно полученную информацию;
– умеет проектировать и осуществлять алгоритмическую и эвристическую деятельность, проверять и оценивать результаты деятельности, в том числе соотнося их с поставленными целями и личным жизненным опытом.
Общекультурная компетентность предполагает, что выпускник основной школы:
– понимает, что математика является неотъемлемой частью общечеловеческой культуры, воздействует на иные области культуры, влияя на совершенствование человека;
– понимает, что математика как наука возникла из потребностей человеческой практики и развивается, исходя из этих, а также собственных внутренних закономерностей;
– понимает, что формальный математический аппарат создает возможности для решения задач, возникающих в повседневной практической деятельности человека;
– понимает, что математическая символика и формулы математики позволяют описывать общие свойства объектов практики и науки и отношения между ними, что математический аппарат развивается и совершенствуется в целях создания возможностей для постановки, исследования и решения проблем, возникающих в процессе развития различных естественных и гуманитарных наук, совершенствования техники и технологий.
Реализация указанных целей и формирование названных компетентностей достигается в результате освоения следующего содержания образования.
АРИФМЕТИКА
Натуральные числа. Натуральные числа. Натуральный ряд. Запись натуральных чисел. Десятичная система счисления. Римская нумерация как пример непозиционной системы счисления. Системы счисления. Переместительный, сочетательный и распределительный законы1 . Свойства нуля и единицы. Степень с натуральным показателем. Числовые выражения и порядок действий. Вычисление значений числовых выражений. Преобразование числовых выражений.
Делимость натуральных чисел: делители и кратные; свойства делимости; признаки делимости. Простые и составные числа. Применение простых и составных чисел для разложения числа на множители. Существование и единственность разложения числа на простые множители. Деление с остатком.
Обыкновенные и десятичные дроби. Обыкновенные дроби. Доли и дроби. Основное свойство дроби и его применение к преобразованиям дробей. Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Нахождение части от целого и целого по его части.
Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной и обыкновенной в виде десятичной. Критерий представимости обыкновенной дроби в виде десятичной. Запись чисел в стандартном виде.
Рациональные числа. Отрицательные числа. Целые числа. Положительные числа. Рациональные числа. Противоположные числа. Модуль (абсолютная величина) числа. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами.
Действительные числа. Квадратный корень из числа. Символ . Нахождение приближенного значения квадратного корня с помощью калькулятора. Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа . Корень третьей степени из числа. Корень натуральной степени выше третьей.
Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение действительных чисел. Арифметические действия с действительными числами. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. Перевод обыкновенной дроби в бесконечную десятичную дробь. Перевод периодической бесконечной десятичной дроби в обыкновенную. Иррациональные числа как непериодические бесконечные десятичные дроби.
Величины и числа. Примеры величин. Единицы измерения. Зависимости между величинами, их запись с помощью формул. Вычисления по формулам.
Проценты. Нахождение процента от величины, величины по ее проценту. Нахождение отношения величин в процентах. Пропорция. Основное свойство пропорции. Пропорциональные и обратно пропорциональные величины.
Приближенное значение величины. Погрешность приближения. Относительная погрешность. Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений. Вычисления на калькуляторе.
Текстовые задачи. Арифметические (логические) приемы решения текстовых задач.
Алгебра
Начала алгебры. Буквы в алгебре. Переменная. Буква как имя числа и как переменная. Выражения с переменными. Подстановка числовых значений в выражения с переменными. Числовое значение выражения. Подстановка выражений вместо переменных.
Равенство выражений, тождество. Переместительный, сочетательный и распределительный законы алгебры, свойства нуля и единицы. Преобразование выражений.
Алгебраические выражения. Многочлены. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и разности, произведение суммы на разность. Многочлены с одной переменной. Корни многочлена. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
Алгебраические дроби. Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей. Целые и рациональные выражения. Область определения выражения. Преобразование рациональных выражений.
Степени и корни. Степень с целым показателем и ее свойства. Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях и преобразованиях.
Уравнения и неравенства. Числовые равенства и их свойства. Уравнение с одной переменной. Корень уравнения.
Линейное уравнение с одной переменной. Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение рациональных уравнений.
Уравнение с двумя переменными. Решение уравнения с двумя переменными. Понятие системы уравнений. Решение системы уравнений. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными; решение методом подстановки и алгебраического сложения. Примеры решения систем, содержащих нелинейные уравнения.
Числовые неравенства и их свойства. Неравенство с одной переменной; решение неравенства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Конечные и бесконечные числовые промежутки. Пересечение и объединение числовых промежутков.
Решение текстовых задач с помощью уравнений и систем.
Декартовы координаты. Координатная прямая. Формула расстояния между точками координатной прямой.
Прямоугольная система координат на плоскости. Координаты точки плоскости. Формула расстояния между точками координатной плоскости. Координаты середины отрезка.
График уравнения с двумя переменными. Уравнение прямой. Угловой коэффициент прямой. Уравнение окружности. Графическая интерпретация системы уравнений с двумя переменными. Использование графиков при решении уравнений и систем уравнений.
Функции. Числовая последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий. Формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий.
Числовая функция. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции. График функции.
Возрастание и убывание функции. Промежутки знакопостоянства функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Чтение графиков функций.
Свойства и графики функций: прямой и обратной пропорциональности, функций y= x2 и y= x3, линейной функции, квадратичной функции, функции y= и y= |x|
Геометрия
Начальные понятия геометрии. Точки, прямые и кривые, плоскости и поверхности, геометрические фигуры и тела.
Геометрические фигуры и их свойства.
Параллельные и пересекающиеся прямые. Перпендикулярные прямые. Теоремы о параллельных и перпендикулярных прямых. Перпендикуляр и наклонная к прямой. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку.
Углы. Вертикальные углы. Смежные углы. Углы, образованные двумя прямыми и секущей. Биссектриса угла и ее свойство. Треугольник. Высота, медиана, биссектриса треугольника. Средняя линия треугольника. Прямоугольные, тупоугольные и остроугольные треугольники. Равнобедренные и равносторонние треугольники. Свойства и признаки равнобедренного и равностороннего треугольника. Сумма углов треугольника. Соответствие между величинами сторон и углов треугольника.
Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, квадрат и ромб; их свойства и признаки. Трапеция. Средняя линия трапеции. Равнобедренная и прямоугольная трапеции.
Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника. Сумма внешних углов треугольника. Правильные многоугольники.
Окружность и круг. Радиус, диаметр, хорда. Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы.
Вписанная и описанная окружности многоугольника. Вписанная и описанная окружности треугольника.
Поверхности и тела в пространстве. Прямоугольный параллелепипед и куб, пирамида, призма. Шар, сфера. Цилиндр, конус. Случаи взаимного расположения прямых и плоскостей на моделях пространственных тел и в окружающем мире. Развертки пространственных тел. Правильные многогранники.
Равенство и подобие фигур. Геометрические преобразования. Равенство фигур. Признаки равенства треугольников. Понятие о гомотетии. Подобие фигур. Признаки подобия треугольников. Теорема Фалеса.
Симметричные фигуры. Осевая симметрия. Центральная симметрия. Симметрия в пространстве. Зеркальная симметрия.
Параллельный перенос. Поворот.
Измерение геометрических величин. Расстояние между точками, длина отрезка. Свойства длины. Неравенство треугольника. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.
Длина окружности. Длина дуги окружности.
Величина угла и ее свойства. Градусная мера угла. Градусная мера дуги окружности.
Площадь фигуры. Свойства площади. Измерение площадей. Равносоставленные и равновеликие фигуры. Площадь треугольника. Площадь параллелограмма, прямоугольника, квадрата и ромба. Площадь круга. Площадь сектора и сегмента. Площади подобных фигур.
Объем тела. Объем прямоугольного параллелепипеда, куба, цилиндра.
Геометрические построения. Построения отрезков и углов заданной величины, параллельных и перпендикулярных прямых с помощью чертежных инструментов (линейки, транспортира, угольника).
Простейшие задачи на построение с помощью циркуля и линейки: деление отрезка пополам, построение угла, равного данному, построение треугольника по трем сторонам, построение перпендикуляра к прямой; деление отрезка на n равных частей, построение биссектрисы угла,
Элементы тригонометрии. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30╟, 45╟, 60╟. Решение прямоугольных треугольников.
Элементы статистики и вероятность
Основы комбинаторики. Решение комбинаторных задач: перебор, дерево вариантов, правило умножения.
Анализ данных. Сбор и представление данных. Таблицы, диаграммы и графики как формы представления информации. Круговые, столбчатые, линейные диаграммы. Среднее арифметическое, медиана, мода, размах. Генеральная совокупность, выборка.
Вероятность и статистика. Случайные события. Невозможное и достоверное события. Статистический эксперимент. Частота события. Частота и вероятность.
Классическая модель вероятности. Геометрическая вероятность.
Основы логики
Высказывание. Общие утверждения и утверждения о существовании, их доказательство и опровержение. Отрицание утверждения. Контрпример.
Определение. Теорема. Обратная теорема. Контрапозиция. Доказательство. Доказательство от противного.
Свойства и признаки. Необходимые и достаточные условия.
ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
В результате изучения математики ученик должен
Арифметика
Знать и понимать:
╥ что введение новых чисел в ходе развития человечества было обусловлено потребностями практики, а также внутренними потребностями математики;
╥ особенности и преимущества позиционной системы записи чисел;
╥ соотношения между основными числовыми множествами: натуральных, целых, рациональных, действительных чисел;
╥ связь между множеством действительных чисел и точками координатной прямой.
Уметь (владеть способами познавательной деятельности):
╥ владеть терминологией, связанной с различными видами чисел и способами их записи: целое, дробное, рациональное, иррациональное, положительное, отрицательное число, обыкновенная дробь, десятичная дробь; терминологией, связанной с делимостью натуральных чисел: делители, кратные, простое число, составное число, деление с остатком, признаки делимости;
╥ переходить от одной формы записи чисел к другой, выбирая наиболее подходящую в зависимости от конкретной ситуации: представлять десятичную дробь в виде обыкновенной и в простейших случаях обыкновенную в виде десятичной, проценты – в виде дроби и дробь – в виде процентов;
╥ сравнивать рациональные числа, упорядочивать наборы чисел;
╥ изображать числа точками на координатной прямой;
╥ выполнять сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, положительных и отрицательных чисел;
╥ находить значения степеней с натуральным и целым показателями;
╥ выполнять вычисления с рациональными числами, сочетая при вычислениях устные и письменные приемы, применение калькулятора;
╥ пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объема, выражать в несложных случаях более крупные единицы через более мелкие и наоборот;
╥ составлять и решать пропорции, решать задачи, связанные с отношением и с пропорциональностью величин;
╥ решать основные задачи на дроби и на проценты;
╥ округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближение по недостатку и по избытку; определять границы приближенного значения величины, зная точность приближения, определять границы суммы и произведения двух величин по заданным границам каждой из них;
╥ применять стандартный вид числа для записи больших и маленьких чисел, выполнять вычисления с числами, записанными в стандартном виде;
╥ находить значения и целые границы квадратных корней и корней степени n, находить приближенные значения квадратных корней, при необходимости используя калькулятор;
╥ сравнивать числа, записанные с помощью квадратных радикалов, показывать их примерное расположение на координатной прямой.
Применять полученные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:
╥ решать несложные практические расчетные задачи, извлекая при необходимости информацию из справочных материалов;
╥ интерпретировать результаты решения задач и проверять их на соответствие исходным данным;
╥ разрабатывать и выполнять процедуры вычислений, выбирая подходящие для данного случая способы вычисления – устные, письменные, с применением калькулятора или компьютера;
╥ производить прикидку и оценку результата вычислений; проверять результат вычисления на правдоподобие, используя различные приемы.
Алгебра
Знать и понимать:
╥ что буквенное исчисление – это формально-оперативный аппарат математики, что буквы применяются для обозначения неизвестных и переменных при записи выражений, формул, уравнений, общих утверждений; понимать достоинства символического языка;
╥ что в основе преобразований буквенных выражений лежат свойства арифметических действий;
╥ что уравнения – это математический аппарат решения разнообразных задач реальной практики.
Уметь (владеть способами познавательной деятельности):
╥ владеть терминологией буквенного исчисления – “выражение”, “тождество”, “тождественное преобразование” и связанными с ними понятиями и терминами; терминологией, связанной с уравнениями: “уравнение”, “неравенство”, “система”, “корень уравнения”, “решение системы”, “решение неравенства”; составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач;
╥ осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления;
╥ выражать из формул одни переменные через другие;
╥ выполнять основные действия со степенями с натуральным и целым показателями;
╥ выполнять сложение, вычитание, умножение многочленов;
╥ выполнять разложение многочленов на множители вынесением общего множителя за скобки, применением формул сокращенного умножения;
╥ сокращать алгебраические дроби, выполнять сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей;
╥ выполнять несложные тождественные преобразования рациональных выражений;
╥ применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований несложных числовых выражений, содержащих квадратные корни;
╥ решать линейные, квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения, сводящиеся к ним;
╥ решать линейные системы уравнений с двумя переменными и простейшие нелинейные системы;
╥ решать линейные неравенства с одной переменной и их системы;
╥ записывать условия различных задач на языке уравнений; решать текстовые задачи алгебраическим методом;
╥ определять координаты точки в координатной плоскости, строить точки с заданными координатами;
╥ изображать в координатной плоскости различные соотношения, связывающие две переменные: графики некоторых стандартных уравнений (прямые, гиперболы, параболы), области, задаваемые линейными неравенствами;
╥ использовать для описания математических ситуаций графический и алгебраический языки, применять геометрические представления при решении уравнений, систем, неравенств.
Применять полученные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:
╥ работать с реальными формулами: понимать формулу как алгоритм вычисления; составлять несложные формулы, выражающие зависимости между реальными величинами; выполнять расчеты по формулам, при необходимости находя нужную формулу в справочных материалах;
╥ переводить условия реальных задач на математический язык, использовать аппарат алгебры (выражения, уравнения) для исследования несложной практической ситуации;
╥ иметь представление об использовании координат в различных областях жизни.
Функции
Знать и понимать:
╥ что функция – это математическое понятие, позволяющее описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций (прямая и обратная пропорциональности, линейная, квадратичная функции) описывают большое разнообразие реальных зависимостей;
Уметь (владеть способами познавательной деятельности):
╥ владеть: функциональными понятиями и терминами: “функция”, “аргумент”, “значение функции”, “график функции”, “область определения”, “область значений”, “возрастающая функция” и др., функциональной символикой; различными способами задания функций – таблицей, формулой, графиком, словесной характеристикой; терминологией и символикой, связанными с последовательностями и способами их задания;
╥ находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком, соответствующие конкретным значениям аргумента;
╥ указывать по графику функции промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения, нули функции;
╥ строить графики линейной функции, прямой и обратной пропорциональности, квадратичной функции и отвечать на вопросы, касающиеся их свойств;
╥ распознавать и конструировать арифметическую и геометрическую прогрессии; решать несложные задачи с применением формул n-го члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий.
Применять полученные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:
╥ интерпретировать содержательно графики реальных зависимостей между величинами;
╥ переводить на функциональный язык и исследовать несложные реальные зависимости;
╥ распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии в практических ситуациях и выполнять требуемые вычисления с использованием соответствующих формул;
╥ проводить расчеты, связанные с вычислением простых и сложных процентов.
Геометрия
Знать и понимать:
╥ что геометрические формы являются идеализированными образами реальных объектов.
Уметь (владеть способами познавательной деятельности):
╥ пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира, приводить примеры применения геометрии в быту, науке, технике, искусстве;
╥ владеть практическими навыками использования геометрических инструментов для изображения фигур, а также для измерения длин отрезков и величин углов; знаниями о плоских фигурах, простейших пространственных телах на уровне, позволяющем применять их для решения геометрических и практических задач;
╥ владеть методами доказательств как математическим аппаратом, применяемом при доказательстве теорем и решении задач; алгоритмами решения основных задач на построение;
╥ правильно употреблять геометрические термины, использовать их в устной и письменной речи;
╥ распознавать на чертежах и моделях геометрические фигуры (отрезки; углы; треугольники и их частные виды; четырехугольники и их частные виды; многоугольники; окружность; круг) и пространственные тела (параллелепипеды, призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, шары).
Применять полученные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:
╥ изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задачи;
╥ использовать циркуль, линейку, угольник, транспортир для изображения фигур, а также для нахождения длин отрезков и величин углов;
╥ решать несложные задачи на вычисление геометрических величин (длин, углов, площадей);
╥ применять изученные свойства фигур и формулы, проводить аргументацию и доказательные рассуждения в ходе решения задач.
Статистика и вероятность
Знать и понимать:
╥ что статистические закономерности проявляются в массовых и многократно повторяющихся явлениях и процессах;
╥ что свойство статистической устойчивости частоты можно использовать для оценки вероятности наступления случайного события;
╥ вероятностный характер предложений типа: “каждый десятый билет в лотерее – выигрышный”.
Уметь (владеть способами познавательной деятельности):
╥ владеть языком и терминологией, связанными с элементарными вероятностными понятиями: “случайное событие”, “достоверное” и “невозможное” события, “частота”, “вероятность”;
╥ извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, на графиках;
╥ представлять статистическую информацию в виде таблиц, диаграмм, графиков;
╥ находить моду, медиану, среднее арифметическое, размах ряда данных;
╥ сравнивать шансы наступления случайных событий по их частоте;
╥ находить в простейших случаях вероятности в классической схеме;
╥ решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения.
Применять полученные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:
╥ проводить наблюдения и делать выводы в ходе проведения несложных экспериментов с большим числом испытаний;
╥ анализировать реальные числовые данные, представленные в средствах массовой информации в виде диаграмм, графиков;
╥ оценивать вероятность наступления случайного события в несложных практических ситуациях, сопоставлять решение вероятностной задачи с реальной ситуацией.
Выбор читателей
Комментарии