О чем не знал аль-Хорезми. Мастерская квадратных уравнений. Статья 1

Материал статьи можно использовать для самостоятельного изучения квадратных уравнений или для того, чтобы вспомнить забытое. Главное – достигнуть глубокого понимания темы.

Уравнения вида:ax2+bx+c=0 (причем a0)называются квадратными. Это общая формула, где a, b, c – параметры (переменные, которым в конкретной задаче даются численные значения), а х – неизвестная. С уравнениями такого типа связан также график квадратичной функции. Это очень простые уравнения, чуть сложнее линейных. Однако разобраться в их «устройстве» очень важно, и не только для решения задач, но и потому что это первый шаг по пути изучения уравнений произвольной степени.Впервые полная формула решения квадратного уравнения была найдена в IX веке средневековой Индии, где работали выдающиеся математики того времени Магавира, Бхаскара, Ариабхата…Почти одновременно квадратными уравнениями занялись арабы и европейцы. Но в отличие от индийских математиков, они не умели работать с отрицательными числами, поэтому общее решение разбивалось на множество частных случаев.В своем знаменитом произведении «Краткая книга об исчислении ал-джабра и ал-мукабала» великий арабский математик Мухамед ал-Хорезми приводит 6 вариантов. Например, ax2+bx=c рассматривалось отдельно от ax2+c=bx из-за того, что b и с были положительными числами. Но даже и это сочинение, попав в Европу, настолько поразило европейских математиков, которые ни о чем подобном даже и не подозревали, что заговорили о новой науке алгебре, названной по созвучию с «ал-джабра» из трактата Мухаммеда аль-Хорезми. Так возникла алгебра.Путаница продолжалась до тех пор, пока не «открыли», как соединить разрозненные варианты, применить отрицательные числа. А в Индии это было известно уже задолго до того. В те века Восток обгонял Запад. Стремительное развитие западной науки началось только в эпоху Возрождения.Заглянем сначала в книгу аль-Хорезми. Обоснования решений там на древнегреческий манер – геометрические. Вот как, например, объясняется решение уравнения x2+10x=39. Пристроим к двум сторонам квадрата, закрашенного серым цветом, со стороной х два прямоугольника, со сторонами х и 5 (10 пополам). Тогда получившуюся фигуру, площадь которой x2+2·5x=39, до полного квадрата следует дополнить только одним квадратом со стороной, равной 5. Площадь большого квадрата 39+25=64, сторона его 8=x+5, тогда х=3.Красиво, не правда ли? Неудивительно, что небольшая, в 60 страниц, книжечка аль-Хорезми, полная такими изящными доказательствами, оказала огромное влияние на развитие математики.Как мы уже говорили выше, аль-Хорезми и другие арабские математики не применяли отрицательных чисел. Однако мы-то уже умеем с ними работать. Так вот, попробуем применить эту идею к действительным (то есть к положительным и отрицательным) числам. Тогда мы получим уравнениеx2+10x-39=0.Левая часть этого уравнения похожа на левую часть формулы квадрата суммы: x2+2·5x+52=(x+5)2.То, что мы сейчас попытаемся сделать, называется «выделение полного квадрата». Это своего рода искусственный прием, во многом аналогичный тому, что аль-Хорезми делал с чертежом. Мы начнем писать наше уравнение так:x2+2·5x+52…«Эй! – скажете вы. – Но ведь мы должны написать не 52 =25, а -39!» Хорошо. Мы прибавили 52, давайте это и вычтем, чтобы ничего не изменилось, а потом напишем -39:x2+2·5x+52-52-39=0.Хитро? Теперь – преобразуем:(x+5)2-64=0.В результате простых преобразований мы получили, что (x+5)2=64. Практически мы сделали почти то же самое, что и аль-Хорезми, только с формулами. Но что же дальше? В отличие от великого хорезмийца, мы теперь можем утверждать, что x+5=±8. (Потому что если квадрат числа равен 64, то это либо 8, либо -8, так как (-8)2 тоже равно (-8)(-8)=64). То есть кроме корня х=3 должен быть еще корень -13=-8-5, о котором аль-Хорезми ничего не знал.Рассказывают такую легенду. Однажды знаменитый багдадский купец Синдбад-Мореход хотел взять шелковую ткань в кредит у ткача. Тот поинтересовался, насколько богат Синдбад и сможет ли он отдать долг. Купец ответил:- Если количество мешков с золотыми монетами, которыми я владею, возвести в квадрат и к получившемуся прибавить удесятеренное число мешков, которыми я владею, то получится 39 мешков. Клянусь жизнью, что это истина, достопочтенный ткач.Ткач провел вычисления точно по трактату аль-Хорезми и узнал, что Синдбад владеет тремя мешками золотых монет.«Богатый человек», – подумал ткач и отпустил Синдбаду товаров в кредит.А вечером, беседуя с друзьями в чайхане, ткач узнал, что Синдбад не только не имеет ничего за душой, но и должен всем и каждому. Тогда ткач потребовал арестовать Синдбада.- Ты поклялся жизнью, что твои слова – истина. Поэтому я требую, чтобы тебе отрубили голову на главной площади Багдада.- Давай посчитаем, – сказал Синдбад. – В сумме я должен 13 мешков золота. Возведем 13 в квадрат и получим 169. А как утверждают все математики, например Диофант в своей книге «Арифметика», перемножение двух долгов, то есть отрицательных чисел, дает положительное число. Теперь умножим долг в 13 мешков на 10, получим долг в 130 мешков – верно?- Верно, большой долг, – подтвердил ткач.- А теперь прибавим к 169 мешкам долг в 130 мешков, то есть вычтем 130 из 169. Получим… 39 мешков, как я тебе и сказал!Пересчитав все это еще раз, ткач убедился, что Синдбад был совершенно прав.- Вот теперь я вижу, что ты поистине честный человек, – сказал ткач.Они пожали друг другу руки и разошлись. Вот и вся история.Формулы, которые в школе изучают за пару уроков, в действительности создавались десятилетиями и даже веками, и людям потребовалось много выдумки и творческих усилий, поисков и открытий, чтобы продвинуться в понимании, казалось бы, даже несложных проблем.