На чтение: ≈ 14 мин.Учебная задача: открыть и научиться применять метод (формулу) подсчета суммы нескольких слагаемых, являющихся членами арифметической прогрессии.
Цели урока
Воспитательные: осознание учениками ценности освоения принципа суммирования большого количества слагаемых, представляющих собой арифметическую прогрессию; понимание важности данного метода в математических расчетах на основе связи с формированием статистических данных.
Развивающая: открытие общего способа подсчета суммы нескольких слагаемых, являющихся членами арифметической прогрессии.
Образовательная – освоение умений:
распознавать задачи на принцип суммирования большого количества слагаемых;
применять полученную формулу для подсчета суммы нескольких слагаемых, являющихся членами арифметической прогрессии;
находить неизвестные элементы полученной формулы.
Оборудование: кодоскоп, кодопозитивы, учебник «Алгебра-9», карточки с цифрами 1, 2, 3, 4.
Вид урока: работа в группах постоянного состава.
Тип урока: урок изучения нового материала. Моделирование и преобразование модели.
Предварительные комментарии
Ученики хорошо знакомы с понятием арифметической прогрессии, умеют находить неизвестные величины, входящие в формулу n-члена арифметической прогрессии, исходя из условий задачи, а также осуществлять самоконтроль решения с помощью обратных задач.
На предыдущих уроках ребята познакомились с понятием числового ряда, поняли, что при решении некоторых задач надо находить суммы нескольких членов числового ряда. Но решение таких задач не проводилось.
Отрабатывался навык выделения в задачах первого и последнего членов арифметической прогрессии, нахождения разности арифметической прогрессии, номера известного члена арифметической прогрессии.
Ход урока
1. Мотивационно-ориентировочная часть
Учитель: Здравствуйте, ребята! Прежде чем начать урок, я хочу рассказать вам одну удивительную историю.
Очень давно, еще до нашей эры, в Древней Греции один правитель задал Эвклиду вопрос: «Сколько времени нужно, чтобы изучить математику?» На это ученый ответил, что понадобится не год и не два, а целая жизнь. Правитель воскликнул: «Но я же не обычный смертный, я царь!» И тогда Эвклид произнес одну из своих знаменитых фраз. Он сказал: «Нет царского пути в математику!»
Итак, царского, быстрого пути в математику нет. Но есть другой путь, следуя по которому, можно постигать эту науку в течение всей жизни. Вы изучаете математику уже несколько лет. Не кажется ли вам, что вы без всяких ориентиров блуждаете по стране математики? Но если не видеть дороги, придешь ли когда-нибудь к цели?
Ученики: Мы не блуждаем без дороги, мы всегда знаем, куда идем.
Учитель: Я что-то не очень разделяю вашу уверенность, может быть, вы попробуете убедить меня?
Ученики: Мы всегда знаем, что, зачем и когда делать, мы составляем план действий, и мы всегда сами ставим цель нашего учения. Мы знаем, куда и зачем идем.
Учитель: Тогда скажите мне, куда и зачем вы идете и каких успехов уже достигли.
Ученики: Наша большая цель, к которой мы стремимся уже несколько уроков, – научиться решать все виды задач на арифметическую прогрессию. Мы уже научились работать с условием задачи, определять величину, которую нужно принимать за неизвестную, устанавливать зависимость между известными и неизвестными величинами и находить их. На этом уроке мы планировали найти общий метод подсчета суммы нескольких членов арифметической прогрессии.
Учитель: Хорошо. Значит, мы можем записать тему сегодняшнего урока: «Нахождение общего способа подсчета суммы нескольких членов арифметической прогрессии».
Сейчас вы выступите в роли учеников XVIII века, которым похожую задачу поставил неизвестный учитель математики. В том классе три века назад находились прекрасные ученики, которые впоследствии впишут свои имена в историю математики. Среди них был Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855), сын садовника, который славился искусством быстро и легко считать. Отец говорил о сыне позднее, что он «умел считать раньше, чем говорить». В 14 лет Гаусс, ученик гимназии, часто бывал во дворце герцога Брауншвейгского, развлекая придворных искусством счета. В 1795 году герцог помог Гауссу поступить в Геттингентский университет. Но первый успех пришел к Гауссу в 9 лет. Тот самый школьный учитель, о котором я сказал в начале, велел ученикам найти сумму всех натуральных чисел от одного до сорока. Он рассчитывал надолго занять учеников этой задачей. Но Гаусс мгновенно сообразил, как сгруппировать слагаемые, и выдал ответ. Как ему это удалось?
Ученики: Наверное, он что-то придумал взамен обычного подсчета слагаемых.
Учитель: Что же?
Ученики: Мы думаем, что вы не просто так назвали способ группировки слагаемых.
Учитель: Вы на правильном пути. Запишите эту сумму в тетрадях и попробуйте найти решение Гауссовой задачи.
Ученики: Если сгруппировать по парам первое и последнее слагаемое, затем второе и предпоследнее и так далее, то у нас получится в каждой группе слагаемых одинаковая сумма!
Учитель: Молодцы! Сколько же таких сумм?
Ученики: Сумм получится в два раза меньше, чем слагаемых. Ответ на задачу: 41×20 = 820.
Учитель раздает ученикам карточки:
Группа А: Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.
Группа Б: Найдите сумму четных трехзначных натуральных чисел.
Дети работают в группах, сверяя полученные ответы. Затем вписывают в листочки решения задачи.
Учитель предлагает ученикам сделать на доске краткую запись одной из задач и сформулировать решение этих задач полностью либо сам под диктовку детей выписывает условия задач на доску (в этом случае работа фронтальная).
Решение данных задач необходимо в данном случае для создания ситуации успеха. Кроме того, на основе этих же задач в дальнейшем по ходу урока будет разворачиваться моделирование. Ученики выполняют знакомые действия, поэтому данный этап урока должен пройти быстро (не более 10 минут). Ребята работают в группах или в парах.
Ученики: Эти задачи решаются одинаковым способом группировки слагаемых, а отличаются количеством слагаемых.
Учитель: Всегда ли известно это количество?
Ученики группы А: Да.
Ученики группы Б: Нет. Мы дополнительно искали количество слагаемых по изученной формуле n-члена.
Дети озвучивают полученные ответы.
Учитель: Молодцы, вы справились с задачами XVIII века, давайте двигаться в теории дальше, ведь на дворе XXI век.
2. Операционно-исполнительный этап. Работа в группах
Группа А переходит к решению задачи, предложенной несколько минут назад группе Б («Найдите сумму четных трехзначных натуральных чисел»).
Учитель: Нам необходимо записать общую формулу для нахождения суммы любого количества слагаемых для произвольно заданной арифметической прогрессии. Как мы обычно действуем?
Группа Б выдвигает варианты шагов по достижению цели (выведение общей формулы суммы). Учитель выписывает их на доске, в процессе обсуждения некоторые из них вычеркиваются, некоторые объединяются, выстраиваются в определенном порядке. В результате появляется примерно такой план действий:
1. Записать слагаемые в виде общих членов арифметической прогрессии: а1, а2, а3, ……., аn.
2. Сгруппировать слагаемые «гауссовым» способом:
(а1 + аn) + (а2 + аn-1) +…….+ (аn/2 + аn/2+1) – для четного количества слагаемых;
(а1 + аn) + (а2 + аn-1) +…….+ а(n+1)/2 – для нечетного количества слагаемых.
3. Найти сумму: (а1 + аn) х n/2. Ребята убеждаются, что и для нечетного количества слагаемых верна полученная формула.
Учитель записывает на доске полученную формулу, дает задания для первичного закрепления материала, проверяет правильность решения задачи группой А, знакомит с общей полученной формулой.
3. Первичное закрепление материала. Работа в группах
К окончанию этапа изучения нового материала учитель указывает группе А на приготовленный список заданий из учебника для первичного закрепления, один ученик выполняет задания у доски. Предложенные для первичного закрепления задания в группе А опираются на базовые требования к математической подготовке учащихся. Больше внимания и учебного времени необходимо уделить качественному формированию первичных навыков, закреплению знаний и умений самостоятельно действовать по образцу, четкому использованию изученной формулы.
Группа А выполняет у доски (демонстрация на первом уроке для данной группы обязательна) №390(1), 391, 393 (1).
В освободившееся время учитель проверяет полученные формулы и ответы на вопросы для группы Б. Ученики группы Б сами проверяют ответы. Если возникают противоречия, учитель им помогает. Педагог и ученики обсуждают выведенные формулы, сравнивая с данными в учебнике, делают выводы, начинают решать приготовленные в плане урока задания для своей группы.
На доске задания: №396, №397. Это базовый (50%) и продвинутый уровни сложности. В эту часть работы с учителем входит обсуждение и составление схемы решения заданий, оформление и решение ребята выполняют самостоятельно в группе.
Дети обсуждают полученные решения внутри группы, при необходимости для получения помощи обращаются к учителю.
4. Анализ домашнего задания
Домашнее задание дифференцированное. Для слабых учеников это четные номера из уже выполненных упражнений в классе. Последние послужат им образцом для выполнения домашней работы. Для ребят продвинутого уровня на первом уроке даю задания, связанные с самостоятельным изучением методов решений, образцы которых предложены в учебнике, в изученном на уроке параграфе.
Учитель: Домашним заданием для ребят группы А будут упражнения, идентичные выполненным вами на уроке, посмотрите на них, задайте вопросы.
Домашним заданием для ребят группы Б будет самостоятельный вывод вспомогательной формулы нахождения суммы n-первых членов арифметической последовательности с помощью первого члена и разности арифметической прогрессии.
Группа А: §29, №390(2), №392.
Группа Б: §29, №399, №402, №405* (по желанию).
5. Проверка результатов усвоения знаний (тест)
Найдите сумму первых десяти натуральных чисел:
1) 45
2) 55
3) 550
4) 11
Ответ: 2.
Сумма двадцати четных положительных чисел, начиная с 10, записывается так:
1) S20 = (10 +20) х 20 / 2
2) S20 = (10 + 40) х 20 / 2
3) S20 = (10 +38) х 20 / 2
4) S20 = (20 – 2 х 19) х 20 / 2
Ответ: 3 или 4.
Сумма двенадцати чисел, кратных пяти, начиная с 10, записывается так:
1) S12 = (10 +70) х 12 / 2
2) S12 = (10 + 65) х 12 / 2
3) S12 = (10 – 50) х 12 / 2
4) S12 = (10 – 45) х 12 / 2
Ответ: 2 и 4.
Итог урока
При подведении итогов учитель вспоминает наиболее удавшиеся моменты урока, отмечает достижения каждого ученика, знакомит ребят с темой следующего урока.
Эдуард САЛИН, учитель математики Крюковской основной школы, финалист конкурса «Учитель года России-2008», Нижегородская область
Выбор читателей
Комментарии